第五章剛體的定軸轉(zhuǎn)動

1、 第五章第五章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動5-1 剛體轉(zhuǎn)動的描述剛體轉(zhuǎn)動的描述5-3 轉(zhuǎn)動慣量的計算轉(zhuǎn)動慣量的計算 5-4 轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用5-6 轉(zhuǎn)動中的功和能轉(zhuǎn)動中的功和能5-5 角動量守恒角動量守恒5-7 進動進動5-2 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律一、基本概念一、基本概念剛體：在任何外力作用下不改變大小和形狀的理想物體。是剛體：在任何外力作用下不改變大小和形狀的理想物體。是理想模型。理想模型。平動：當剛體運動時，如果剛體內(nèi)任何一條給定直線，在運平動：當剛體運動時，如果剛體內(nèi)任何一條給定直線，在運動中始終保持它的方向不變，這種運動就叫平動。動中始終保持它的方向不變，這種運動就叫平動。剛體上各質(zhì)元有

2、相同的位移、速度、加速度，用質(zhì)心運動討剛體上各質(zhì)元有相同的位移、速度、加速度，用質(zhì)心運動討論。論。定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動： 剛體上剛體上各點各點都在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作半徑不同的都在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作半徑不同的 圓周運動圓周運動剛體的運動剛體的運動 既有平動又有轉(zhuǎn)動，由運動疊加原理可將剛體既有平動又有轉(zhuǎn)動，由運動疊加原理可將剛體的運動視為：質(zhì)心的平動加繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動。的運動視為：質(zhì)心的平動加繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動。5.1 5.1 剛體轉(zhuǎn)動的描述剛體轉(zhuǎn)動的描述特點：特點：各點在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度。各點在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度。參考平面：與轉(zhuǎn)軸垂直的平面。參考平面：與轉(zhuǎn)軸垂直的平面。角位置角位置 ：任一質(zhì)點的

3、位矢與：任一質(zhì)點的位矢與 oxox 軸夾角。軸夾角。線量與角量的關(guān)系：線量與角量的關(guān)系：rv 剛體剛體, 定軸定軸zmi ir角位移角位移 d d ：角速度角速度 ：tdd 22ddddtt角加速度角加速度 ：各質(zhì)點相同各質(zhì)點相同二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述: :2,rarant-角量角量描述：描述：xo三、剛體作勻變速轉(zhuǎn)動時的運動規(guī)律：三、剛體作勻變速轉(zhuǎn)動時的運動規(guī)律：)(2, ,2102020200tttt = to時：時： = o = = o o角加速度角加速度 =常數(shù)常數(shù)0例例 一飛輪以轉(zhuǎn)速一飛輪以轉(zhuǎn)速n=1500r/min轉(zhuǎn)動，受到制動后均勻的減速，轉(zhuǎn)動，受到制動后均

4、勻的減速，經(jīng)經(jīng)t=50s后靜止。后靜止。求（求（1）角加速度和飛輪從制動開始到靜止所轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)）角加速度和飛輪從制動開始到靜止所轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)N； （2）求制動開始后）求制動開始后t=25s時飛輪的角速度；時飛輪的角速度； （3）設(shè)飛輪半徑為）設(shè)飛輪半徑為1米，求在米，求在t=25s時飛輪邊緣上一點的時飛輪邊緣上一點的 速度和加速度的大小。速度和加速度的大小。解解 （1）設(shè)初角速度為）設(shè)初角速度為 ，方向如圖所示。，方向如圖所示。0rad/s 506015002n20t050st0，代入方程時得得rad/s -3.14s /rad5050t0從開始制動到靜止，飛輪的角位移從開始制動到靜止，飛輪的角

5、位移 及轉(zhuǎn)數(shù)及轉(zhuǎn)數(shù)N分別為分別為rad 1250t21t200轉(zhuǎn)6252N（2）t=25s時飛輪的角速度為時飛輪的角速度為78.5rad/s25)-(50t0相同的方向與0（3）t=25s時飛輪邊緣上一點的速度時飛輪邊緣上一點的速度s/5m.78rv232n2s /m106.16ras /14m. 3ra232n2s/m1016. 6aaa 2iizrmL2.2.剛體定軸剛體定軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動的角動量：的角動量： 2iirmJ 二、剛體定軸二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量：JL 一、剛體一、剛體定軸轉(zhuǎn)動的定軸轉(zhuǎn)動的角動量角動量5.2 5.2 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量1.1.質(zhì)點對軸的質(zhì)點對軸的角動量

6、角動量( (復習）復習） rvmO方向：與角速度方向一致方向：與角速度方向一致大小：大小：Lmrvmr2 剛體剛體, 定軸定軸zmiri 決定轉(zhuǎn)動慣量的因素：決定轉(zhuǎn)動慣量的因素： 剛體的質(zhì)量、剛體的形狀、轉(zhuǎn)軸的位置剛體的質(zhì)量、剛體的形狀、轉(zhuǎn)軸的位置定義：定義：記記三、三、 轉(zhuǎn)動慣量的計算轉(zhuǎn)動慣量的計算 1. 質(zhì)點：質(zhì)點：2mrJ 若：若：dldm dsdm dVdm 質(zhì)量為線分布質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布質(zhì)量為體分布2. 2. 離散分布的剛體離散分布的剛體 2iirmJ3. 3. 連續(xù)分布的剛體連續(xù)分布的剛體 mrdJJd24. 4. 平行軸定理：平行軸定理：2mhJJC

7、B 說明：說明：兩軸平行；兩軸平行；J JC C 為剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量；為剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量；h h 為兩平行軸間距離。為兩平行軸間距離。h hC CB B例例1. 質(zhì)量為質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R的均勻圓環(huán)。的均勻圓環(huán)。 求求: 過圓心并與圓環(huán)平面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。過圓心并與圓環(huán)平面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。解解:dmRdJ2 例例2. 質(zhì)量為質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R、厚為、厚為l 的均勻圓盤。的均勻圓盤。 求求: 通過盤心與盤平面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。通過盤心與盤平面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：解：lORlrdrdm 2drlrdmrdJ322 ROdmlRdrlrdJJR403212 取

8、半徑為取半徑為r寬為寬為dr的薄圓環(huán)的薄圓環(huán),drr dJJ22mR21JlRm 22mRdmR 例例3.求長為求長為L、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的均勻細棒對圖中不同軸的轉(zhuǎn)動慣量。的均勻細棒對圖中不同軸的轉(zhuǎn)動慣量。ABLABL/2L/2Cx解：解：12mLdxxJ22L2L2C/ 思考思考: 實心圓柱對其對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量實心圓柱對其對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量?dxxdmxdJA22 222212141312mLmLmLLmJJAC 取如圖坐標，取如圖坐標，dm= dxxx dx3mLdxxJ2L02A/ dxxdmxdJc22 或：或：2002dmJJ 22221)(5231RLmRmLmJJJooL 2131

9、LmJL 右圖所示右圖所示:剛體對經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)剛體對經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量如何計算？動慣量如何計算？(棒長為棒長為L、球半徑為、球半徑為R） RoLo 21JJJ 252RmJoo RLd 力對定軸的力矩：力對定軸的力矩： FrMz合力矩：合力矩： 21MMM 2211dFdFMzMz 只有兩個方向，可用正、負表示。只有兩個方向，可用正、負表示。一、一、剛體定軸轉(zhuǎn)動時所受的剛體定軸轉(zhuǎn)動時所受的力矩力矩力對定點的力矩：力對定點的力矩：FrM 5.3 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 o odP P F Fz rrFMzsin 大?。捍笮。悍较颍悍较颍?Fr與與 一致一致有效力矩：有效力矩

10、：rF Fd zOirifiFi Fi mi對對 mi用牛頓第二定律：用牛頓第二定律：iiiiamfF fi 證明：證明：JM合外二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律對所有質(zhì)元的同樣的式子求和：對所有質(zhì)元的同樣的式子求和：Fi ri +fi ri = miri2 剛體所受到的對于某一固定轉(zhuǎn)軸剛體所受到的對于某一固定轉(zhuǎn)軸的合外力矩等于剛體對此轉(zhuǎn)軸的的合外力矩等于剛體對此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與剛體在此合外力矩作轉(zhuǎn)動慣量與剛體在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積用下所獲得的角加速度的乘積切向分量式為：切向分量式為：Fi +fi = miai = miri兩邊乘以兩邊乘以ri ,有：有：

11、Fi ri +fi ri = miri2對所有質(zhì)元的同樣的式子求和：對所有質(zhì)元的同樣的式子求和：Fi ri +fi ri = miri2 一對內(nèi)力的力矩之和為零：一對內(nèi)力的力矩之和為零：即即：Fi ri = （ miri2) 令令：M合外合外=Fi ri則有：則有： M合外合外J fij mj mifjirdrjriOiZm反映質(zhì)點的平動慣性，反映質(zhì)點的平動慣性，J反映剛體的轉(zhuǎn)動慣性反映剛體的轉(zhuǎn)動慣性與與 比較比較amF地位相當?shù)匚幌喈攆i ri=0證畢證畢例例1. 一個質(zhì)量為一個質(zhì)量為M，半徑為，半徑為R的定滑輪（當作均勻圓盤）上面的定滑輪（當作均勻圓盤）上面 繞有細繩。繩的一端固定在滑輪邊

12、上，另一端掛一質(zhì)量繞有細繩。繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量 為為m的物體而下垂。忽略軸處摩擦。的物體而下垂。忽略軸處摩擦。求：物體求：物體m由靜止下落由靜止下落h高度時的加速度和此時滑輪的角速度。高度時的加速度和此時滑輪的角速度。 對物體對物體m，沿，沿y方向，有方向，有maTmg 滑輪和物體的運動學關(guān)系為滑輪和物體的運動學關(guān)系為Ra 解：解：5.4 5.4 轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用舉例轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用舉例 h R O 221MRJRT對定滑輪對定滑輪M，由轉(zhuǎn)動定律，由轉(zhuǎn)動定律(對于軸對于軸O): M mg a h R O T T yo隔離物體，作受力分析圖：隔離物體，作受力分析圖：物體下落高度物體下

13、落高度h時的速度為時的速度為Mmmghahv 242這時滑輪轉(zhuǎn)動的角速度為這時滑輪轉(zhuǎn)動的角速度為RMmmghRv 24 以上三式聯(lián)立，可得物體下落的加速度為以上三式聯(lián)立，可得物體下落的加速度為:gMmma2 例例2. 一個飛輪的質(zhì)量為一個飛輪的質(zhì)量為69kg，半徑為，半徑為0.25m,正在以每分正在以每分1000轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動?，F(xiàn)在要制動飛輪，要求在的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動?，F(xiàn)在要制動飛輪，要求在5.0秒內(nèi)使它均勻減秒內(nèi)使它均勻減 速而最后停下來速而最后停下來(設(shè)閘瓦與輪子間的摩擦系數(shù)為設(shè)閘瓦與輪子間的摩擦系數(shù)為0.46)。求求: 閘瓦對輪子的壓力閘瓦對輪子的壓力N為多大？為多大？F0解：解：20rad/

14、s9 .20 s5 , 0 rad/s7 .104min/ r1000t 0 0N Nf fr rt0飛輪制動時有角加速度飛輪制動時有角加速度由轉(zhuǎn)動定律由轉(zhuǎn)動定律:MJ NRRfMr 外力矩是摩擦阻力矩：外力矩是摩擦阻力矩：2mRJ784RmN例例3、一根長為、一根長為l、質(zhì)量為、質(zhì)量為m 的均勻細直棒，其一端有一固定的的均勻細直棒，其一端有一固定的 光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。最初棒靜止光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。最初棒靜止 在水平位置。在水平位置。求：它由此下擺求：它由此下擺 角時的角加速度和角速度。角時的角加速度和角速度。XO CmgxM 重力矩為：重力矩為：當棒處在

15、下擺當棒處在下擺 角時角時，解：解： cosl21xc xcclgmlmglJM2cos331cos212gm dddtddd dlgdcos23 lg sin3 sin23212lg 下擺下擺 角時的角速度角時的角速度?dtdlg2cos3 00cos23ddlgXO xccgm稱為力矩的功稱為力矩的功 21MA drdFrdFAcosd rFd) cos( dM d zx 軸軸rF 一、一、力矩的功力矩的功（有效力的功）（有效力的功）5.5 5.5 轉(zhuǎn)動中的功和能轉(zhuǎn)動中的功和能二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理)d(cosrF rdrddsrd i2iii2iikrm21

16、vm21E)( 221J 1.1.剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能: :2kJ21E 2.2.剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理dtdJM 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律: : ddtdJMd 2121dJMdA合合外外2122J21J21 vi剛體剛體, 定軸定軸zmiriFi三、剛體的重力勢能：三、剛體的重力勢能：12kkEE 上式即為：上式即為：剛體剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理定軸轉(zhuǎn)動的動能定理21222121JJA 合合外外h hh hi ih hc cx xO Om mC C m m一個質(zhì)元：一個質(zhì)元：iighmiiiPhgmE重ciiimghhmg)(整個剛體：整個剛體：質(zhì)心高度質(zhì)心高度

17、mhmhiic四、機械能守恒四、機械能守恒定律定律對于含有剛體的系統(tǒng)對于含有剛體的系統(tǒng): :如果在運動過程中只有保守內(nèi)力如果在運動過程中只有保守內(nèi)力做功做功, ,則此系統(tǒng)的機械能守恒則此系統(tǒng)的機械能守恒。cPmghE )(重重剛體的重力勢能：剛體的重力勢能：例例1.1.一個質(zhì)量為、半徑為的定滑輪（當作均勻圓盤）上面一個質(zhì)量為、半徑為的定滑輪（當作均勻圓盤）上面 繞有細繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為繞有細繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為 的物體而下垂。忽略軸處摩擦的物體而下垂。忽略軸處摩擦. . 求求: :物體由靜止下落高度時的速度和此時滑輪的角速度。物體由靜止下落高度

18、時的速度和此時滑輪的角速度。解：解：Rv 22mv21J21mgh 據(jù)機械能守恒定律：據(jù)機械能守恒定律：Mmmghv 24:可可解解出出 h R O RMmmghRv/24/例例2.已知：均勻直桿質(zhì)量為已知：均勻直桿質(zhì)量為m，長為，長為l，初始水平靜止。軸光滑，初始水平靜止。軸光滑，4/ lAO 求求: 桿下擺到桿下擺到 角時，角速度角時，角速度 ？ 解：解：（桿（桿+地球）系統(tǒng)地球）系統(tǒng): 只有重力作功只有重力作功-保守內(nèi)力保守內(nèi)力 -E守恒。守恒。 lmgJEOsin4212 軸軸OCABl , ml /4 (1)0sin4212 lmgJO選水平位置為重力勢能零點：選水平位置為重力勢能零

19、點：00 Ehlhsin4 2121mlJc (1)、(2)解得：解得：lg7sin62 (2)222487)4(121mllmmlJO 法二）：法二）：研究對象：桿研究對象：桿據(jù)動能定理：據(jù)動能定理：222121oooJJA 重重lmgmghAsin4 重重 (1)0sin4212 lmgJO軸軸OCABl , ml /4h一一、剛體的角動量定理、剛體的角動量定理1 1、微分形式：、微分形式：5.6 5.6 角動量守恒角動量守恒tLdtJdMdd)( 合合外外JL 2 2、積分形式積分形式LLLLddtMtLL12021左邊為對某個固定軸的外力矩的作用在某段時間內(nèi)的積累效左邊為對某個固定軸的

20、外力矩的作用在某段時間內(nèi)的積累效果，稱為果，稱為沖量矩沖量矩；右邊為剛體對同一轉(zhuǎn)動軸的角動量的增量。右邊為剛體對同一轉(zhuǎn)動軸的角動量的增量。1.1.對同一轉(zhuǎn)動軸對同一轉(zhuǎn)動軸而言。而言。說明說明:2.非剛體適用。非剛體適用。二二、角動量守恒定律角動量守恒定律.:, 0常常量量則則若若合合外外 LM系統(tǒng)角動量守恒系統(tǒng)角動量守恒可忽略可忽略，則，則若若外外外外內(nèi)內(nèi)MMM說明說明:M M=0=0的原因，可能的原因，可能F F0 0；r=0;Fr.r=0;Fr.在定軸轉(zhuǎn)動中還有在定軸轉(zhuǎn)動中還有M M00，但它與軸垂直，即但它與軸垂直，即M Mz z=0,=0,對定軸轉(zhuǎn)動沒有作用，則剛體對此軸對定軸轉(zhuǎn)動沒有

21、作用，則剛體對此軸的角動量依然守恒。的角動量依然守恒。茹可夫斯基凳茹可夫斯基凳花樣滑冰花樣滑冰 跳水跳水mm1r2r例例1.如圖所示如圖所示,一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入一靜止懸于頂?shù)淖訌椧运剿俣壬淙胍混o止懸于頂 端長棒的下端端長棒的下端,穿出后速度損失穿出后速度損失3/4.已知棒長為已知棒長為l,質(zhì)量為質(zhì)量為M. 求求: 子彈穿出后棒的角速度子彈穿出后棒的角速度 。v0vmM解解: 思考思考: :1.1.子彈和棒的總動量守恒嗎子彈和棒的總動量守恒嗎? ? 為什么為什么? ?2.2.總角動量守恒嗎總角動量守恒嗎? ?法一）：法一）：子彈子彈+棒棒系統(tǒng)：系統(tǒng)：系統(tǒng)角動量守恒系統(tǒng)角動量

22、守恒可忽略可忽略，重重重重內(nèi)內(nèi)MMM規(guī)定規(guī)定角動量角動量沿軸向沿軸向向外為正向外為正:231MlJ mlvJmlv 0MlmvJlmv494300 0mvmvfdt 子彈對棒的反作用力對棒的沖量子彈對棒的反作用力對棒的沖量矩為：矩為： JdtflMdt以以f 代表棒對子彈的阻力代表棒對子彈的阻力,對子彈有對子彈有:MlmvJlmv494300 因因 :ff 由兩式得由兩式得：Jmlvmlv 0法二）：法二）：規(guī)定向右為正規(guī)定向右為正:v0vmM231MlJ 043vv 解解: :例例2.如圖示如圖示,將單擺和一等長的勻質(zhì)直桿懸掛在同一點，桿的質(zhì)將單擺和一等長的勻質(zhì)直桿懸掛在同一點，桿的質(zhì) 量量m與單擺的擺錘相等。開始時直桿自然下垂，將單擺的與單擺的擺錘相等。開始時直桿自然下垂，將單擺的 擺錘拉到高度擺錘拉到高度ho，令它自靜止狀態(tài)下垂，令它自靜止狀態(tài)下垂,于鉛垂位置和直桿于鉛垂位置和直桿 作彈性碰撞。作彈性碰撞。 求求: 碰撞后直桿下端達到的高度碰撞后直桿下端達到的高度h。00gh2v 碰前單擺擺錘的速度為：碰前單擺擺錘的速度為：mlhola設(shè)：設(shè)：碰后桿的角速度為碰后桿的角速度為 ，擺錘的速度為，擺錘的速度為v v。231mlJ vmlJmlv 0碰撞：角動量守恒：碰撞：角動量守恒：分析：分析：三個過程：下擺、三個過程：下擺、 碰撞碰撞、上擺上擺lvvv23,200解得：解得：