高等數(shù)學空間解析幾何.

1、30 平面曲線弧長(1)曲線： yfxa x bsbf 2x dx1a(2)xxtsx2 ty 2 t dtyty t(3)rrsr 2r 2d例求下類平面曲線的弧長1.曲線 yln 1x 2相應于 0x1 的一段22.心形線 ra 1 cos的全長a 03.擺線 x1cos t0 t2的一拱ytsin t解： 1.y2x1y 21x 21x 21x 211x 2 dxs201x 211121dx01x1x11 1 x 2ln2 1 x 012ln 32. ra sinr 2r 2a22a 2 cosa2 cos2a 2 sin 2d2a 1cos2a cos2S22a cosd022acos

2、 d2dcos02222a2 sin2 sin8a2 024. S22 t y 2 t dt2sin t 21 cos t 2 dtx002t2sindt0222t dtsin02t248cos2040 向變力沿直線作功 , 液體的水壓力P137空間解析幾何10 向量及其線性運算P149P152向量的坐標表達式及其運算P153P15420 向量的數(shù)量積的向量積aa x ia y ja zkax ,a y ,az(1) 向量積a ba b cos a, bbb x ib y jb zkbx ,b y ,b za b ab a baa2xa 2ya2z性質(zhì)： P155a ba xb xay b y

3、az b za b應用：（i ）a barccos（ ii ） a a a a 2（iii） a ba b0例 1、習題 4， 1 選擇題（ 1）（ 2）（3） 2 填空題（ 3）（ 4）（5）例 2、設 a5, b2,a b, 則 2a3b2 193解： 2a 3b23b2a3b 4a 22a b9b2762a 2a 3b 2 19(2) 向量積abccaba b sin a, bc a,c b 即ab a,ab b,右手定則即 aba0,abb0性質(zhì) P155注意 abb aijka ba xa yazb xb ybz應用（ i）S ABC1ABAC2（ii） a/bab0（iii）如 a

4、 c,bc, 則 c/ a b即利用向量積求出同時垂直兩個已知矢量的矢量。例 3、習題 4， 5， 2(4)例 4、設知量 a, b 滿足 a b3, ab 1, 1,1 ，則a,b6a b3解： tan a,b3a, ba b630 平面及其方程已知平面 過點 M（x、 y、z），nA,B,C為 的法矢量。00001點法式： A(x-x0)+B(y-y )+C(z-z0)=002一般式： Ax+By+Cz+D=0，A、B、C 不全為零。3截距式： xyc1， ， ，分別為平面在x軸、y軸、z 軸abzab上的截距。1 2n1 n 21 2n1 n 2點 M0(x 0、 y0、z0) 到平面

5、Ax+By+Cz+D=0的距離為Ax 0 By 0Cz0 DdB 2C 2A 2例1、習題 4.13求通過點 P（ 2,-1,-1 ），Q（1,2,3 ）且垂直于平面 2x+3y-5z+6=0 的平面方程。解： QP1,3, 4，已知平面的法矢量 n1 2,3, 5ijkQP n113427i 3j 9k235取 n9, 1,3所求平面為： 9(x-2)-(y+1)+3(z-1)=0即： 9x-y+3z-16=0例2、習題 4、11解： (1) 解法一：設平面方程： x+By+D=0將點 M1(2,-1,0)， M2(3,0,5)分別代入得2BD 0B1 平面方程為： xy3=03D0D3解法

6、二： n k ， nM1M 2ijkk M 1 M 20 0 1i j取 n1, 1115-(x 2)+(y+1)=0得平面方程： xy3=0(2) 設平面方程為 y+Cz+D=0即yz1DDCD5C5y50D得z 5222CD2y055z - 1040 直線及其方程 空間直線的一般方程L：A 1x B1 y C1z D10A 2 x B 2 y C2z D 20 點向式（對稱式）直線過點 M(x、 y、z) ，s m, n,p為 L 方向向量0000則 L： x x 0y y 0z z 0mnpxx 0mt參數(shù)式 L：yy 0ntt 為參數(shù)zx 0ptL1L2s1 s2L1L2s1 s250

7、 直線與平面關系 L s n即 s n0 L s nABCmnp 點 P 到直線 L 的距離， L 的方向向量s m, n,p，M為 L 上一點0M 0Psds例3、習題42 、(7)、(8)解(7)直線x2 y4z 1即所求平面法向量131n -1,3,1由點法式 -(x 1)+3(y 2)+(z+1)=0即 x3yz+3=0（8）設平面方程為 x By Cz 0， n1,B,C ,n1 4, 1,2n1 n 0得4B2C0B 1點 (6, 3, 2)代入平面，得： 63B2C 03C2所求平面 2x2y 3z 0平面束方程A 1x B1yC1z D 10直線 L：C2 z D 20A 2

8、x B 2 y則 A 1x B1 y C1z D1(A 2 x B2 y C2 z D 2 ) 0為過直線 L 的除平面 A 2x B 2 yC2 z D 2 0 外的平面束方程例一平面過直線 L： 3x4y2z 50 ，且在 z 軸有截距3 ，求x2y z 7 0它的方程解：過直線 L 的平面束方程為 : 3x 4y2z5(x2y z7) 0即 ( 3)x ( 4 2 )y (2)z 750據(jù)題意7 53112411 代入平面束方程，得： x38y19z5704習題 4,2,(9)例 已知兩直線方程L 1x 1y 2z 3:011L 2:x 2 y 1 z ， 則 過 L 1 且 平 行 L

9、 2 的 平 面 方 程 是211x3yz 2 0解： L1:xz 401, 0,1y2s0過 L1 的平面束方程： x z 4( y2)0即 xy z 4 2 0n1, 1由平行 L 2 s n 0得3所求方程為： x3yz20例 已知平面 : y 2z 2 02xy20直線L:2z203y（1）直線 L 和平面是否平行？（2）如直線 L 與平面平行，則求直線 L 與平面行，則求 L 與的交點。（3）求過直線 L 且與平面垂直的平面方程的距離，如不平解：法矢量n0,1,2ijkL 的方向向量 s 2102 i4 j6k ,取 s1, 2, 3032 n s 0L與不平行y2z2 0解一、2xy20得 交點（ 1，0，1）3y 2z 2 0解二、將 L 化為點向式 xy2z2 ， ( 在 L