數(shù)學(xué)物理方程第二版答案平時課后習(xí)題作業(yè)

1、數(shù)學(xué)物理方程第二版答案第一章 波動方程1 方程的導(dǎo)出。定解條件4. 絕對柔軟逐條而均勻的弦線有一端固定，在它本身重力作用下，此線處于鉛垂平衡位置，試導(dǎo)出此線的微小橫振動方程。解：如圖2，設(shè)弦長為，弦的線密度為，則點處的張力為且的方向總是沿著弦在點處的切線方向。仍以表示弦上各點在時刻沿垂直于軸方向的位移，取弦段則弦段兩端張力在軸方向的投影分別為其中表示方向與軸的夾角又 于是得運動方程 利用微分中值定理，消去，再令得。5. 驗證 在錐0中都滿足波動方程證：函數(shù)在錐0內(nèi)對變量有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。且 同理 所以 即得所證。2 達朗貝爾公式、 波的傳抪3.利用傳播波法，求解波動方程的特征問題（又稱古爾沙問

2、題） 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)令 x-at=0 得 =F（0）+G（2x）令 x+at=0 得 =F（2x）+G(0)所以 F(x)=-G(0). G（x）=-F(0).且 F（0）+G(0)=所以 u(x,t)=+-即為古爾沙問題的解。8求解波動方程的初值問題 解：由非齊次方程初值問題解的公式得 = = = =即 為所求的解。 3混合問題的分離變量法1. 用分離變量法求下列問題的解：(1) 解：邊界條件齊次的且是第一類的，令得固有函數(shù)，且， 于是 今由始值確定常數(shù)及，由始值得所以 當(dāng)因此所求解為(2) 解：邊界條件齊次的，令得： (1)及 。求問題(1)的非平凡解，分

3、以下三種情形討論。時，方程的通解為由得由得解以上方程組，得，故時得不到非零解。時，方程的通解為由邊值得，再由得，仍得不到非零解。時，方程的通解為由得，再由得 為了使，必須 ，于是且相應(yīng)地得到 將代入方程(2)，解得于是 再由始值得容易驗證構(gòu)成區(qū)間上的正交函數(shù)系：利用正交性，得 所以 2。設(shè)彈簧一端固定，一端在外力作用下作周期振動，此時定解問題歸結(jié)為 求解此問題。解：邊值條件是非齊次的，首先將邊值條件齊次化，取，則滿足 ，令代入原定解問題，則滿足滿足第一類齊次邊界條件，其相應(yīng)固有函數(shù)為， 故設(shè) 將方程中非齊次項及初始條件中按展成級數(shù)，得其中 其中 將(2)代入問題(1)，得滿足解方程，得通解由始

4、值，得所以 因此所求解為3用分離變量法求下面問題的解解：邊界條件是齊次的，相應(yīng)的固有函數(shù)為設(shè) 將非次項按展開級數(shù)，得其中 將 代入原定解問題，得滿足方程的通解為由，得：由，得所以 所求解為 4 高維波動方程的柯西問題1 利用泊松公式求解波動方程的柯西問題 解：泊松公式現(xiàn) 且 其中 計算 所以u(x,y,z)=即為所求的解。2 試用降維法導(dǎo)出振動方程的達朗貝爾公式。解：三維波動方程的柯西問題當(dāng)u不依賴于x,y,即u=u(z),即得弦振動方程的柯西問題：利用泊松公式求解因只與z有關(guān)，故令,得所以即為達郎貝爾公式。3. 求解平面波動方程的柯西問題：解： 由二維波動方程柯西問題的泊松公式得：又 因為

5、所以 又 于是 即為所求的解。4. 求二維波動方程的軸對稱解（即二維波動方程的形如的解，.解： 解法一：利用二維波動方程柯西問題的積分表達式由于u是軸對稱的故其始值,只是r 的函數(shù)，,記圓上任一點的矢徑為圓心其矢徑為記則由余弦定理知，其中為與的夾角。選極坐標。于是以上公式可寫成由上式右端容易看出，積分結(jié)果和有關(guān)，因此所得的解為軸對稱解，即 +解法二：作變換,.波動方程化為用分離變量法，令u(r,t)=R(r)T(t).代入方程得解得：令疊加得5.求解下列柯西問題提示：在三維波動方程中，令解：令 則 代入原問題，得 記為上半球，為下半球，為在平面上的投影。,則所以 于是 即為所求的解。6試用第七

6、段中的方法導(dǎo)出平面齊次波動方程在齊次初始條件下的求解公式。解：首先證明齊次化原理：若是定解問題的解，則即為定解問題的解。 顯然， （ ）.所以又 因為w滿足齊次方程，故u滿足齊次化原理得證。由齊次方程柯西問題解的泊松公式知所以即為所求的解。所以 7用降維法來解決上面的問題解：推遲勢其中積分是在以為中心，為半徑的球體中進行。它是柯西問題的解。對于二維問題，皆與無關(guān)，故其中為以為中心r為半徑的球面，即 其中分別表示的上半球面與下半球面，表示在平面上的投影。所以 在最外一層積分中，作變量置換，令，即，當(dāng)時，當(dāng)時，得即為所求，與6題結(jié)果一致。8 非齊次方程的柯西問題解：由解的公式得計算所以 計算 所以

7、即為所求的解。 5能量不等式，波動方程解的唯一和穩(wěn)定性1 設(shè)受摩擦力作用的固定端點的有界弦振動，滿足方程證明其能量是減少的，并由此證明方程的混合問題解的唯一性以及關(guān)于初始條件及自由項的穩(wěn)定性。證：首先證明能量是減少。能量 因弦的兩端固定， 所以于是 (因此，隨著的增加，是減少的。 證明混合問題解的唯一性混合問題:設(shè)是以上問題的解。令則滿足能量 當(dāng)利用初始條件有由得所以 又是減少的，故當(dāng)又由的表達式知所以 由此得及于是得到 常量再由初始條件得因此即混合問題解的唯一的。3證明解關(guān)于初始條件的穩(wěn)定性，即對任何可以找到只要初始條件之差滿足則始值所對應(yīng)的解及所對應(yīng)的解之差滿足 或 令 即 積分得 又,所

8、以 即 記，則滿足則相對應(yīng)地有 故若 則 于是 (對任何t)即 或 解關(guān)于自由的穩(wěn)定性設(shè)滿足滿足則滿足今建立有外力作用時的量不等式 =其中故又 , 所以由中證明, 知而 故因此, 當(dāng) ,則亦即當(dāng)，則。即解關(guān)于自由項是穩(wěn)定的。2證明如果函數(shù)在G：，作微小改變時，方程（，和都是一些充分光滑的函數(shù)）滿足固定端點邊界條件的混合問題的解在G內(nèi)的改變也是很微小的。證：只須證明，當(dāng)很小時，則問題的解也很?。ò唇^對值）。考慮能量 由邊界條件 ，故，。所以 又由于，故，即或 記 得 由初始條件 ，又因 ，得，故，即若很小，即，則，故 即在中任一時刻，當(dāng)很小時，又中積分號下每一項皆為非負的，故（對中任一時刻）今對

9、，估計。因為 ，應(yīng)用布尼亞科夫斯基不等式，可以得到 其中 （因且充分光滑）即 又由邊界條件 ，得即當(dāng) ，有很小，得證。3證明波動方程的自由項中在意義下作微小改變時，對應(yīng)的柯西問題的解在意義之下改變也是微小的。 證：研究過的特征錐令截，得截面，在上研究能量：其中為的邊界曲線。再利用奧氏公式，得因為第二項是非正的，故所以 令 上式可寫成 即 即 研究 所以 為證明柯西問題的解的關(guān)于自由項的穩(wěn)定性，只須證明柯西問題當(dāng)“很小”時，則解的模也“很小”此時，由始值，而由于得所以 ，即故任給，當(dāng)，則得證4固定端點有界弦的自由振動可以分解成各種不同固有頻率的駐波(諧 波)的迭加。試計算各個駐波的動能和位能，并

10、證明弦振動的總能量等于各個駐波能量的迭加。這個物理性質(zhì)對應(yīng)的數(shù)學(xué)事實是什么？解：固定端點有界弦的自由振動，其解為每一個是一個駐波，將的總能量記作，位能記作，動能記作，則 總能量 由此知與無關(guān)，即能量守恒，。現(xiàn)在計算弦振動的總能量，由于自由振動能量守恒，故總能量亦滿足守恒定律，即即 又由分離變量法，、由始值決定，且所以 利用在上的正交性，得同理 所以 。即總能量等于各個駐波能量之和。這個物理性質(zhì)所對應(yīng)的數(shù)學(xué)意義說明線性齊次方程在齊次邊界知件下，不僅解具有可加性，而且及仍具有可加性。這是由于的正交性所決定的。5.在的情況下，證明定理5，即證明此時波動方程柯西問題存在著唯一的廣義解，并且它在證理4的

11、意義下是穩(wěn)定的。證：我們知道當(dāng)，則波動方程柯西問題的古典解唯一存在，且在意義下關(guān)于初始條件使穩(wěn)定的（定理3、4）今，根據(jù)維爾斯特拉斯定理，存在, 當(dāng)時及其一階偏導(dǎo)數(shù),分別一致收斂于及一致收斂于。記：為初始條件的柯西問題的古典解為，則二階連續(xù)可微，且在意義下關(guān)于是穩(wěn)定的。,為一致連續(xù)序列，自然在 ：特征錐K與相交截出的圓意義下為一基本列，即時 , , 根據(jù)的穩(wěn)定性，得即在意義下為一基本列，根據(jù)黎斯弗歇爾定理，存在唯一的函數(shù),使當(dāng)時即為對應(yīng)于初始條件的柯西問題的廣義解。 現(xiàn)在證明廣義解的唯一性。 若另有，當(dāng)時且 是一致的，其所對應(yīng)的古典解(按), 現(xiàn)在, 用反證法， 若，研究序列 (1) (2)則

12、序列（1）及其對的偏導(dǎo)數(shù)仍分別一致收斂于, 序列（2）仍為一致收斂于，利用古典解關(guān)于初始條件的穩(wěn)定性，序列（1）(2)所對應(yīng)的古典解序列根據(jù)黎期弗歇爾定理，按意義收斂于唯一的極限函數(shù)。與矛盾。故以上所定義的廣義解是唯一的。若，所對應(yīng)的廣義解記作又所對應(yīng)的廣義解記作，即存在。分別一致收斂于則，所對應(yīng)的古典解按意義收斂于所對應(yīng)的古典解按意義收斂于 (3)若,。則 =3+因，故當(dāng)有，所以即同理有 ，由古典解的穩(wěn)定性，得。（當(dāng)）又由廣義解的定義知，對，當(dāng)有，故當(dāng)時，由（3）式有即廣義解對于初始條件是穩(wěn)定的。6對弦振動方程的柯西問題建立廣義解的定義，并證明在為連續(xù)，為可積的情形，廣義解仍然可以用達朗貝爾

13、公式來給出，因而是連續(xù)函數(shù)。解：由達朗貝爾公式知，當(dāng)時則柯西問題 有古典解.且關(guān)于是穩(wěn)定的?，F(xiàn)在按以下方法來定義廣義解。給出一對初始函數(shù)可以唯的確定一個。函數(shù)對的全體構(gòu)成一個空間，它的元素的模按以下方式來定義，記的依賴區(qū)域為，記為區(qū)域：，則在上的值僅依賴于上函數(shù)對的值。今定義則構(gòu)成一個線性賦范空間，其中任意兩個元素 ， 的距離為 中任一元素對應(yīng)一個解是中二階連續(xù)可微函數(shù)，它的全體也構(gòu)成一個函數(shù)空間，記為，其模定義為，二元素的距離為則與的關(guān)系可以看成到的一個映象，且根據(jù)關(guān)于的穩(wěn)定性知，映象是連續(xù)的?，F(xiàn)將完備化，考慮中任一基本列，滿足，則在中按模成為基本列，由黎斯弗歇爾定理，存在著極限元素即將添入且定義的模為 則為一完備空間又為基本列，則所對應(yīng)