合肥168中學(xué)2011年自主招生數(shù)學(xué)試題

1、答案一、選擇題3、已知：y=1/2(x的平方-100x+196+|x的平方-100x+196|),當(dāng)x=1，2，到100，求這100個自然數(shù)的和的函數(shù)值解法一：對于函數(shù)x2-100x+196，它可因式分解為(x-2)(x-98)，所以當(dāng)x=2 x=98時，這個函數(shù)為0當(dāng)2x98時，這個函數(shù)的x軸的下面，而對于|x的平方-100x+196|，它在x軸的上面，且兩者離x軸的距離都相等。所以當(dāng)x=2、3、4、98時，y都為0當(dāng)x=0時，y=1/2*(196+196)=196該函數(shù)的拋物線為x=50，所以x=1和x=99的值相等，當(dāng)x=1時，y=12-100+196=97所以這100個自然數(shù)的值為 1

2、96+97*2=390解法二：當(dāng)2x98時，因為 x2-100x+196=(x-2)*(x-98)0， 所以恒有 y=x2-100x+196-(x2-100x+196)/2=0, 當(dāng)x=1,99,100時，y=x2-100x+196+(x2-100x+196)/2=x2-100x+196。 y(1)=y(99)=97，y(100)=196。 所以：y(1)+y(2)+y(3)+y(4)+y(97)+y(98)+y(99)+y(100) =97+0+0+0+0+0+97+196=390。5、設(shè) a平方+1=3a，b平方+1=3b,且a不等于b，則代數(shù)式1/a平方+1/b平方的值是解：a1=3a，

3、b1=3b，則：a、b是方程x1=3x即x3x1=0的兩個根，則：ab=3且ab=11/a1/b=ab/(ab)=(ab)2ab/(ab)=76、如圖，一個等邊三角形的邊長與它的一邊相外切的圓的周長相等，當(dāng)這個圓按箭頭方向從某一位置沿等邊三角形的三邊做無滑動旋轉(zhuǎn)，直至回到原出發(fā)位置時，則這個圓共轉(zhuǎn)了（）解：小球周長和三角形邊長相等，因此在每條邊轉(zhuǎn)動了360（即轉(zhuǎn)1圈）三條邊一共 3圈。每經(jīng)過一個頂點(diǎn)，需要轉(zhuǎn)120： 180-60=120三個頂點(diǎn)一共多轉(zhuǎn)了120*3=360，即1圈因此，一共轉(zhuǎn)了4圈，(或者1440)7、如圖，等邊ABC的邊長為10cm,以AB為直徑的O分別于,CA,CB于DE兩

4、點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為解：解：ABC為等邊三角形， A=B=60 又AB是O的直徑， AO=AD=DO=BO=BE=EO=1/2AB=5 DOE=60 SADO+SBEO=2(1/2)5(5/2)3=(25/2)3 S扇形ODE=（60/360)5=（25/6) 又SABC=（1/2）1053=253 陰影部分的面積為：SABCSADOSBEOS扇形ODE =253-（25/2)3（25/6) =（25/2)3（25/6)8、如圖，在正方形ABCD中，N是DC的中點(diǎn)，M是AD上異于D點(diǎn)的任一點(diǎn)，且NMB=MBC,求tanABM的值解：過點(diǎn)N作直線NO平行于MB，交BC于點(diǎn)ONMB=MBC,

5、 NOMB四邊形BMNO為等腰梯形 BO = MNN是DC的中點(diǎn)BO=MN=DM+DN=(AB-AM)+(AB/2)NOMB, ADBCAMB=MBC=NOCAMBCONOC/CN=AM/AB=(AB-BO)/(AB/2)BO=AB-AM/2得到方程式(AB-AM)+(AB/2)=(AB-AM/2)解方程得：AB-2*AB*AM+ AM+AB/4=AB-AB*AM+AM/4AB/4- AB*AM+3/4 * AM=0(AB/2-3/2*AM)(AB/2-AM/2)=0AB=AM或AB=3AMAB=AM時M重合于D，不合題意。AB=3AMtanABM=AM/AB=1/3二、填空題10. 若關(guān)于x

6、的不等式組 只有4個整數(shù)解，求a的取值范圍解不等式1得x2-3a結(jié)合兩解得2-3ax21而x有四個整數(shù)解，觀察上式可知，這四個整數(shù)解為20、19、18、17，所以16=2-3a17-5a1，以A 為中心順時針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M，以B為中心逆時針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)N，使M、N兩點(diǎn)重合成一點(diǎn)C，構(gòu)成ABC，設(shè)AB=x。 （1）求x的取值范圍；（2）若ABC為直角三角形，求x的值；（3）探究：ABC的最大面積？答案（找作業(yè)答案-上魔方格）解：（1）在ABC中，AC=1，AB=x，BC=3-x，解得1x2；（2）若AC為斜邊，則1=x2+（3-x）2，即x2-3x+4=0，無解；若AB為斜邊，則x2=（3-x）2+1，解得

7、x=，滿足1x2；若BC為斜邊，則（3-x）2=1+x2，解得x=，滿足1x2，x=或x=；（3）在ABC中，作CDAB于D，設(shè)CD=h，ABC的面積為S，則S=xh，如圖甲所示，若點(diǎn)D在線段AB上，則，（3-x）2-h2=x2-2x+1-h2，即x=3x-4，x2（1-h2）=9x2-24x+16，即x2h2=-8x2+24x-16，S2=x2h2=-2x2+6x-4=-2，當(dāng)x=時（滿足x2），S2取最大值，從而S取最大值，如圖乙所示，若點(diǎn)D在線段MA上，則，同理可得，S2=-2x2+6x-4=-2（x-）2+，易知此時S，綜合得，ABC的最大面積為。17、如圖所示,AB是圓O的直徑,AB

8、=d,過A作圓O的切線并在其上取一點(diǎn)C,使AC=AB,連接OC交圓O于點(diǎn)D,BD的延長線交AC于E，求AE的長3218、（2008杭州）在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)A（0，t），點(diǎn)Q（t，b）（t，b均為非零常數(shù)）平移二次函數(shù)y=-tx2的圖象，得到的拋物線F滿足兩個條件：頂點(diǎn)為Q；與x軸相交于B，C兩點(diǎn)（|OB|OC|）連接AB（1）是否存在這樣的拋物線F，使得|OA|2=|OB|OC|？請你作出判斷，并說明理由；（2）如果AQBC，且tanABO= ，求拋物線F對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題專題：壓軸題分析：（1）平移二次函數(shù)y=-tx2的圖象，得到的拋物線F，則拋物線的二次項系數(shù)不變，頂點(diǎn)為Q，則函數(shù)的解析式就可以直接寫出是y=-t（x-t）2+b|OB|OC|就是一元二次方程-t（x-t）2+b=0的兩根的積得絕對值，因而可以用根據(jù)韋達(dá)定理，利用t表示出來而OA=t，根據(jù)|OA|2=|OB|OC|就可以得到一個關(guān)于t的方程從而把問題轉(zhuǎn)化為判