二項(xiàng)式定理在數(shù)列求和中的應(yīng)用

1、二項(xiàng)式定理在數(shù)列求和中應(yīng)用班級(jí)：數(shù)學(xué) 1403姓名： 王琪 學(xué)號(hào):14404337二項(xiàng)式定理在數(shù)列求和中的應(yīng)用【摘要 】 本文利用二項(xiàng)式定理和楊輝三角的內(nèi)在聯(lián)系， 結(jié)合組合不等式， 推導(dǎo) 出形如 an na(a 2, 3, 4)的前 n 項(xiàng)和的公式 , 并給出求更高次求和公式的一般方 法?！娟P(guān)鍵詞】 二項(xiàng)式定理 組合數(shù) 方程的根 系數(shù) 一、項(xiàng)式定理和楊輝三角介紹：1, 二項(xiàng)式定理：(ab)nCn0anb0C1nan 1b1Cn2an 2b2LCnr an rbrLCnna0bn其中C叫做二項(xiàng)式系數(shù)。2, 楊輝三角：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用非常廣泛 , 也很重要 , 主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面 : 一是它所 揭

2、示的方法富有啟發(fā)性 ; 二是它與高等數(shù)學(xué)聯(lián)系緊密 .學(xué)習(xí)與掌握它 , 既有利于 培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想和抽象思維的能力 , 也有利于其今后進(jìn)一步的學(xué)習(xí) .二項(xiàng)式定理在中國(guó)被稱為“賈憲三角”或“楊輝三角”，一般認(rèn)為是北宋數(shù) 學(xué)家賈憲所首創(chuàng) .它記載于楊輝的詳解九章算法 （1261）之中. 在阿拉伯?dāng)?shù)學(xué) 家卡西的著作算數(shù)之鑰 （1427）中也給出了一個(gè)二項(xiàng)式定理系數(shù)表，他所用 的計(jì)算方法與賈憲的完全相同 . 在歐洲，德國(guó)數(shù)學(xué)家阿皮安努斯在他 1527年出版 的算數(shù)書的封面上刻有此圖， 但一般稱之為“帕斯卡三角形” . 因?yàn)榕了箍ㄔ?1654 年也發(fā)現(xiàn)了這個(gè)結(jié)果 .而在1664年和1665年間，也就是由于瘟疫

3、流行而迫使牛頓從劍橋躲開的前 夕，牛頓就開始了二項(xiàng)式定理的研究， 值得注意的是， 牛頓只處理了二項(xiàng)式的自乘冪是分?jǐn)?shù)或負(fù)數(shù)的情況 . 牛頓第一次提到二項(xiàng)式定理是在 1676年6月13日他寫 給奧爾登堡轉(zhuǎn)給萊布尼茲的一封信中， 此后牛頓對(duì)于該定理進(jìn)行不斷的推理、 猜 想和證明，最終建立了二項(xiàng)式定理 . 牛頓在建立了二項(xiàng)式定理以后，馬上就拋棄 了他以前用于求積的插值法， 而把這個(gè)定理當(dāng)做確定曲線下方面積的一個(gè)最簡(jiǎn)單 最直接的方法來使用 .隨著時(shí)間的推移， 二項(xiàng)式定理被越來越多的人運(yùn)用， 直到今天， 二項(xiàng)式定理 已經(jīng)是中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的重要部分，也是當(dāng)今高考的難點(diǎn)之一 . 二項(xiàng)式定理是在處理有關(guān)兩個(gè)元素和

4、的方冪的問題時(shí)常?？紤]到的一個(gè)重要公 式，是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)基礎(chǔ)而重要的定理，在微積分、概率論、初等數(shù)論等許多 數(shù)學(xué)分支中都可見其蹤影 .二、二項(xiàng)式的性質(zhì)二項(xiàng)式定理： .理解二項(xiàng)式定理應(yīng)注意：(1)二項(xiàng)式中，a是第一項(xiàng)，b是第二項(xiàng)，順序不能變;2) 展開式中有 n 1項(xiàng)(比指數(shù)多1)；3) Cn0,C1n,L ,Cnn 是二項(xiàng)式系數(shù);(4) a的指數(shù)降幕，b的指數(shù)是升幕，兩者的指數(shù)的和等于 n ；5)二項(xiàng)式展開時(shí)要注意各項(xiàng)的符號(hào)規(guī)律;6)注意二項(xiàng)式定理的可逆性 .二項(xiàng)式定理除了要注意以上幾點(diǎn)外還具有一些性質(zhì)：性質(zhì)一性質(zhì)二二項(xiàng)式系數(shù)表中，除性質(zhì)三性質(zhì)四種計(jì)算方法結(jié)果相a b n 的二項(xiàng)展奇數(shù)項(xiàng)的二

5、項(xiàng)a b n 的二項(xiàng)展令a b 1即得系數(shù)相等，即 Cnm之和， Cnm Cnm 1Cn0 Cn1 L Cnna b n 的二項(xiàng)展開式中，外其余位置的數(shù)都，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和等于末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式二項(xiàng)式系數(shù)的和，即Cn c； L c；r L C： C； Lc；r1 L 2n1.(令a 1,b1 即得).、重要組合恒等式：(1) ,cn；cnc；cr 1證明：Cn 1cn(n 1)!(r 1)!( n r)!(n 1)!r!(n 1r)!-r (n r)J r!(n r)!r !(nr)!c；（證畢）C： 1C； 2l cnr 1n 1 Cn (n r)證明（數(shù)學(xué)歸納法）：上式左邊=

6、1右邊是C；1，所以是正確的。假設(shè)上式對(duì)nk(kr）正確即C；C；1C：2 L C：1 ck1那么就有C；Cr：1Cr 2 L Ck 1Ckck1 Ck再有組合不等式（1）可C； C； 1 Crr 2 LC：1 c： c：故綜上所述 對(duì)于所有大于r的正整數(shù)n （2）式都是成立的。四、一元n次多項(xiàng)式根與系數(shù)的關(guān)系對(duì)于多項(xiàng)式Xn a1Xna2Xn 2 L an 1X an 0 若 X1,X2, x；L x；是它的 n 個(gè)根則有一下等式成立:1)1a1x-ix2LXn1)2a2X-I X2X1 x3LXn 1 Xn1)iaiXklXk2 L Xk （所有i個(gè)不同的根的乘積的和）1)”a1a?a3L

7、a.五、應(yīng)用舉例為了方便應(yīng)用，（2）式也可以寫成cr cr 1 Crr2 L cr n 1 Crrn（n r）當(dāng)r=1，2, 3, 4的時(shí)候上式也就是:n(n 1)1)1 n(n 1)(n 2)2!1 410 L£n(n1)(n12)n(n 1)(n2)(n3)3!4!1 515 L丄n(n1)(n12)(n3)n(n1)(n2)(n3)(n 4)4!5!六、歸納總結(jié)2-n(nn命題一：k1mnmkn1m 1k 1k 1證明：nk 1 m?m3mmnn1mk 1nmmk1?m3mm nk 1nn兩式相減有:k1mkmn 1 m 1k1k 1n命題二：1 nk 1由乘法的定義可知：n個(gè)

8、1相加的結(jié)果為nn命題三:k n nk 1證明：由二項(xiàng)式定理知:1 2 k2 2k 1，從而:nk2 2kk 1n即： kk 1n1 2 k2k 1222 k k 1 k21k 1k 1k 1k 12n 11 nn n 1n即： kk 1命題四：1一n n 1 2n 161 3 k3 3k2 3k 1，從而nnk13k 3k 3k:1k 1k 1nnn即：k13k33k2k1k 1k 1由此可得：nninn3 k2k13k33k 1k 1k1k 1“ 3n n1n11 321nn1 2n12n即：k21nin 12n 1k162命題五:k3nn 1k:12證明：由二項(xiàng)式定理可知：k證明：由二項(xiàng)

9、式定理可知：knn3 k 1k 1k 1nk 1k 1n1 4 k4 4k3 6k2 4k 1，從而k4 4k36k24k 1n即： k 1k 1nk4nk3n6 k2k 1k3k411n6即:k3命題六:k22nk4丄n k 1302n1 3n23n證明：由二項(xiàng)式定理可知:k55k410k310k2 5k 1，從而k55k410k310k25k 1n即： kk 1由此可得:n5 k4k 1k5k4k5k 1101n n302nn10kk3n10kk2k3k 12n 1101 3n2 3nF面我們討論一般情況下數(shù)列的和,由二項(xiàng)式定理可知:m 1 mCm 1 k10k 110即:k22nkm1m

10、 mCm 1km 1 m 1Cm 1kcm1k Cm1，從n而有 kk 1可得:nmCmk 11km即:m 1 m 1Cm 1 kCm 1kmm 1 m 1 Cm 1 kcm1k1nm 1kk 1nmC mnm 1 m 1Cm 1 kk 1cm點(diǎn)需11 m 11kcm1k需1kmn 1m1 1cm；km1k 1Cm 1k至此，我們求出了連續(xù)自然數(shù)任意次方的和若多項(xiàng)式 f(k) k(k1)(k 2)L (k1)他的根分別是k10, k21,k32,L ka a 1，則他的展開式中ka 1的系數(shù)是a1(01)(a 1)a2a2kK kK L ka 人同 理 f'(k) k(k 1)(k 2)L (k a2)展開式ka2的系數(shù)是：a1(0 12 L a 2)則可能導(dǎo)致無法二項(xiàng)式定理有著廣泛的應(yīng)用，如果不能夠準(zhǔn)