3-測試第二章信號描述-FFTppt課件

1、華北電力大學(xué)機械工程學(xué)院測試技術(shù)第三節(jié) 非周期信號的頻域描述 非周期信號是時間上不會重復(fù)出現(xiàn)的信號，一般為時非周期信號是時間上不會重復(fù)出現(xiàn)的信號，一般為時域有限信號，具有收斂可積條件，其能量為有限值。這種域有限信號，具有收斂可積條件，其能量為有限值。這種信號的頻域分析手段是傅立葉變換。信號的頻域分析手段是傅立葉變換。公式公式: x tXedXx t edtj tj t( )( )( )( )12或或dtetxfXdfefXtxftjftj22)()()()(傅里葉變換FT）傅里葉反變換 (IFT)傅里葉變換與傅里葉反變換構(gòu)成一對傅里葉變換對x(t)FTIFTX(f)華北電力大學(xué)機械工程學(xué)院測試

2、技術(shù)由傅里葉級數(shù)到傅里葉變換由傅里葉級數(shù)到傅里葉變換 非周期信號按照定義不能按傅里葉級數(shù)分解成許多正非周期信號按照定義不能按傅里葉級數(shù)分解成許多正(余余)弦弦諧波之和，但為了了解其頻域描述，諧波之和，但為了了解其頻域描述， 可援引周期信號的方法加可援引周期信號的方法加以解決，即將一非周期信號仍當作周期信號處理，以解決，即將一非周期信號仍當作周期信號處理， 認為其周期認為其周期趨于無窮大。趨于無窮大。設(shè)x(t)為周期信號在(-T/2, T/2)區(qū)間內(nèi)傅里葉展開式為 ntnneCtx0j)(ttxTCtnTTnde )(10j22其中其中 將Cn代入，得 華北電力大學(xué)機械工程學(xué)院測試技術(shù)Tttxe

3、ttxTtxtnnTTtntnnTTtn2ede )(21de )(1)(0000j22jj22j Tnn2) 1(000相鄰諧波譜線間的頻率增量改寫上式tntnTTnttxtx00jj -22ede )(21)(式中，n取整數(shù)0，1，2，因而各諧波頻率n0只能取離散值；若T，則0， 原來只能取離散值的諧波頻率n0變?yōu)榭蛇B續(xù)取值的連續(xù)變量。華北電力大學(xué)機械工程學(xué)院測試技術(shù)在數(shù)學(xué)上，T就意味著上式中 22,d,TTdede )(21)(jj -ttttxtx將將=2f=2f代入上式得代入上式得 fttxtxftftdede )()(j2j2-避免了在傅里葉變換中出現(xiàn)避免了在傅里葉變換中出現(xiàn)1/2

4、的常數(shù)因子的常數(shù)因子傅里葉變換傅里葉變換華北電力大學(xué)機械工程學(xué)院測試技術(shù)傅里葉積分存在條件是：傅里葉積分存在條件是： (1) x(t)在有限區(qū)間上滿足狄里赫條件；在有限區(qū)間上滿足狄里赫條件； (2) 積分收斂，即積分收斂，即x(t)在無限區(qū)間上絕對可積。在無限區(qū)間上絕對可積。 周期信號可以通過傅里葉級數(shù)分解成為無限多項諧波的代周期信號可以通過傅里葉級數(shù)分解成為無限多項諧波的代數(shù)和。與此類似，非周期信號則可通過傅里葉積分數(shù)和。與此類似，非周期信號則可通過傅里葉積分 “分解分解” 成成 “無限多項諧波無限多項諧波” 的積分和。從所起的作用看，傅里葉積的積分和。從所起的作用看，傅里葉積分與傅里葉級數(shù)

5、類似。分與傅里葉級數(shù)類似。 ttxd)(華北電力大學(xué)機械工程學(xué)院測試技術(shù)由于非周期信號的周期由于非周期信號的周期T，基頻，基頻fdf，它包含了從零到無窮大的，它包含了從零到無窮大的所有頻率分量，各頻率分量的幅值為所有頻率分量，各頻率分量的幅值為X(f)df，這是無窮小量，所以頻，這是無窮小量，所以頻譜不能再用幅值表示，而必須用幅值密度函數(shù)描述。譜不能再用幅值表示，而必須用幅值密度函數(shù)描述。 另外，與周期信號不同的是，非周期信號的譜線出現(xiàn)另外，與周期信號不同的是，非周期信號的譜線出現(xiàn)在在0,fmax的各連續(xù)頻率值上，這種頻譜稱為連續(xù)譜。的各連續(xù)頻率值上，這種頻譜稱為連續(xù)譜。)()()(fjefX

6、fX)(Im)(Re)(22fXfXfX)(Re)(Im)(fXfXarctgf X(f)為為x(t)的頻域描述的頻域描述,是復(fù)函數(shù)是復(fù)函數(shù)幅值譜幅值譜相位譜相位譜華北電力大學(xué)機械工程學(xué)院測試技術(shù))(212sin00220tfjtfjeejtf例1 求矩形窗函數(shù) t的頻譜特點：特點：1 非周期信號的頻譜是連續(xù)譜非周期信號的頻譜是連續(xù)譜 2 幅值譜是單位頻寬上的幅值幅值譜是單位頻寬上的幅值 3 時域有限，譜域無限時域有限，譜域無限 4一般一般,隨頻率值增大隨頻率值增大,對應(yīng)的幅值逐對應(yīng)的幅值逐漸降低漸降低(特殊情況下不成立特殊情況下不成立)提示:由歐拉公式：華北電力大學(xué)機械工程學(xué)院測試技術(shù)波形波

7、形sinc 函數(shù)函數(shù)華北電力大學(xué)機械工程學(xué)院測試技術(shù)三、三、 傅立葉變換的主要性質(zhì)傅立葉變換的主要性質(zhì)華北電力大學(xué)機械工程學(xué)院測試技術(shù)n假設(shè)假設(shè)n那么那么三、三、 傅立葉變換的主要性質(zhì)傅立葉變換的主要性質(zhì)a. 奇偶虛實性奇偶虛實性 b. 線性疊加性線性疊加性 c. 對稱性對稱性 d. 時間尺度改變性時間尺度改變性 e. 時移性時移性 f.時域卷積定理時域卷積定理)()()(*)();()()(*)();()();()(fXfHtxthXHtxthXtxHthFTFTFTFT時域卷積定理：時間函數(shù)卷積的頻譜等于各個時間函數(shù)時域卷積定理：時間函數(shù)卷積的頻譜等于各個時間函數(shù)頻譜的乘積，既在時間域中兩

8、信號的卷積，等效于在頻頻譜的乘積，既在時間域中兩信號的卷積，等效于在頻域中頻譜中相乘。域中頻譜中相乘。 主要性質(zhì)的證明主要性質(zhì)的證明P13-16 華北電力大學(xué)機械工程學(xué)院測試技術(shù)互易對偶性質(zhì)(對稱性) 華北電力大學(xué)機械工程學(xué)院測試技術(shù)時間展縮性質(zhì) 華北電力大學(xué)機械工程學(xué)院測試技術(shù)華北電力大學(xué)機械工程學(xué)院測試技術(shù)例子：求下圖波形的頻譜例子：求下圖波形的頻譜+X1(f)X2(f)用線性疊加定理簡化用線性疊加定理簡化線性疊加性線性疊加性華北電力大學(xué)機械工程學(xué)院測試技術(shù)例2單位脈沖函數(shù)(函數(shù))1) 函數(shù)的定義函數(shù)的定義在數(shù)學(xué)上，如果函數(shù)在數(shù)學(xué)上，如果函數(shù)s(t)僅在區(qū)間僅在區(qū)間0, 上具有脈沖樣上具有

9、脈沖樣圖形圖形(矩形脈沖、矩形脈沖、 三角形脈沖等三角形脈沖等)， 并且此圖形與并且此圖形與t軸圍成的面軸圍成的面積為積為1， 如圖如圖5.14(a)所示，所示， 那么當脈沖寬度那么當脈沖寬度0時，時， 函數(shù)函數(shù)s(t)的極限稱為的極限稱為函數(shù)。函數(shù)。 根據(jù)此定義不難看出根據(jù)此定義不難看出函數(shù)有如下特點：函數(shù)有如下特點： 0)(tt=0 0t1d)(d)(0ttstt華北電力大學(xué)機械工程學(xué)院測試技術(shù)2) 函數(shù)的采樣性質(zhì)若x(t)為一時域連續(xù)信號，則乘積(t)x(t)僅在t=0處得到(t)x(0)，其余均為零，于是 )0(d)()0(d)0()(d)()(xttxtxtttxt可見(t)與x(t

10、)相乘后積分， 其作用就是取出了信號x(t)在t=0時刻的一個值， x(0)為一個采樣點。 華北電力大學(xué)機械工程學(xué)院測試技術(shù)同樣，對有延時的函數(shù)(t-t0)，其值僅在t=t0時刻才不為零， 于是 )(d )()(d)()(d)()(000000txttttxttxttttxtt此時，得到了x(t)在t=t0時刻的一個采樣點x(t0)。 在工程上，利用單位脈沖函數(shù)的概念， 可將采樣過程看成是信號與單位脈沖函數(shù)的簡單乘積。 華北電力大學(xué)機械工程學(xué)院測試技術(shù)3) 函數(shù)與其它函數(shù)的卷積)()()()d-()(d )()()()(txdttxtxtxttx同樣: 卷積定義卷積定義d )()()()(ty

11、xtytx)()()(00ttxtttx函數(shù)與其它函數(shù)的卷積重要結(jié)論：重要結(jié)論： 任意函數(shù)和任意函數(shù)和函數(shù)的卷積，函數(shù)的卷積， 就是簡單地將該函數(shù)就是簡單地將該函數(shù)在自己的橫軸上平移到在自己的橫軸上平移到函數(shù)所對應(yīng)的位置函數(shù)所對應(yīng)的位置華北電力大學(xué)機械工程學(xué)院測試技術(shù)函數(shù)與函數(shù)的卷積華北電力大學(xué)機械工程學(xué)院測試技術(shù)4) 函數(shù)的頻譜將函數(shù)進行傅里葉變換，即可得到其頻譜函數(shù)： 1d )(ede )()(02jttttfft由此可見，時域的脈沖信號具有無限寬廣的頻譜， 而且各頻率上的信號強度都相等。 在信號的檢測中， 一般爆發(fā)電火花地方(如雷電、 火花塞等)都會對測試系統(tǒng)引起嚴重干擾， 這是因為尖脈

12、沖(類似函數(shù)， 能量均勻地分布在0的頻帶內(nèi))的高頻部分以射頻形式發(fā)射出來，對測試系統(tǒng)形成干擾的緣故。 凡是頻譜為常數(shù)的信號俗稱白噪聲。 “白” 是由白色光引申而來， 意即白色的光譜頻率豐富。 脈沖就是一種理想的白噪聲。 華北電力大學(xué)機械工程學(xué)院測試技術(shù)根據(jù)傅里葉變換的對稱性、時移性和頻移性等，可得到下列傅里葉變換對： 時域 頻域 )(ee)()(11)(02j2j000ffttfttfft華北電力大學(xué)機械工程學(xué)院測試技術(shù)例3正余弦由歐拉公式：)(212cos00220tfjtfjeetf)(212sin00220tfjtfjeejtf由頻移性傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)展開傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)展開和傅里葉

13、變換和傅里葉變換 獲得相同獲得相同的頻譜的頻譜)()(212sin)()(21j2sin000000fffftffffftf)(ee)()(11)(02j2j000ffttfttfft華北電力大學(xué)機械工程學(xué)院測試技術(shù)例4指數(shù)衰減信號的頻譜華北電力大學(xué)機械工程學(xué)院測試技術(shù)華北電力大學(xué)機械工程學(xué)院測試技術(shù)5 頻譜分析的應(yīng)用頻譜分析的應(yīng)用 頻譜分析主要用于識別信號中的周期分量，是信號分析中最常用的一種手段。案例：在齒輪箱故障診斷案例：在齒輪箱故障診斷通過齒輪箱振動信號頻譜分析，通過齒輪箱振動信號頻譜分析，確定最大頻率分量，然后根據(jù)確定最大頻率分量，然后根據(jù)機床轉(zhuǎn)速和傳動鏈，找出故障機床轉(zhuǎn)速和傳動鏈，

14、找出故障齒輪。齒輪。案例：螺旋漿設(shè)計案例：螺旋漿設(shè)計可以通過頻譜分析確定螺旋漿可以通過頻譜分析確定螺旋漿的固有頻率和臨界轉(zhuǎn)速，確定的固有頻率和臨界轉(zhuǎn)速，確定螺旋漿轉(zhuǎn)速工作范圍。螺旋漿轉(zhuǎn)速工作范圍。華北電力大學(xué)機械工程學(xué)院測試技術(shù) 譜陣分析：設(shè)備啟譜陣分析：設(shè)備啟/停車變速過程分析停車變速過程分析 華北電力大學(xué)機械工程學(xué)院測試技術(shù)第四節(jié) 幾種典型信號的頻譜周期方波周期方波正余弦正余弦矩形窗矩形窗三角窗三角窗單位脈沖單位脈沖周期單位脈沖采樣函數(shù)）周期單位脈沖采樣函數(shù)）華北電力大學(xué)機械工程學(xué)院測試技術(shù)周期單位脈沖采樣函數(shù)）周期單位脈沖采樣函數(shù)）等間隔的周期性單位脈沖序列的周期為Ts， 如圖5.16(

15、a)所示。 它的數(shù)學(xué)表達式為 nnnTtt)()(sn=0, 1, 2 若用傅里葉級數(shù)表示，那么 ntnfnnsCt2je)(華北電力大學(xué)機械工程學(xué)院測試技術(shù)s02js222js222js1e1de )(1de )(1TTttTttTCttnfTTtnfTTtnfnnsssssss所以 ntnfsnsTt2je1)(（5.26） 兩端取傅里葉變換，即得n(t)的頻譜 華北電力大學(xué)機械工程學(xué)院測試技術(shù)nssnssnTnfTnffTf)(1)(1)(頻譜圖可以看出， 時域中周期為Ts的脈沖序列在頻域中仍是周期為1/ Ts的脈沖序列， 其幅值為時域中脈沖幅值的1/ Ts倍。 華北電力大學(xué)機械工程學(xué)院測試技術(shù)用計算機進行信號分析時， 首先要將連續(xù)的模擬信號x(t)變?yōu)橐贿B串離散的時間序列。 以數(shù)字量的形式存入一個個內(nèi)存單元中， 然后進行各種計算。 為了實現(xiàn)這一過程，