導(dǎo)數(shù)壓軸題分類---極值點(diǎn)偏移問(wèn)題含答案

1、導(dǎo)數(shù)壓軸題分類(2)-極值點(diǎn)偏移問(wèn)題極值點(diǎn)偏移問(wèn)題常見(jiàn)的處理方法有構(gòu)造一元差函數(shù)Fxfxf2x0 x或者Fxfxoxfxox。其中xo為函數(shù)yfx的極值點(diǎn)。利用對(duì)數(shù)平均不等式。JOba-b-b變換主元等方法。lnaInb2任務(wù)一、完成下面問(wèn)題，總結(jié)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的解決方法。2_21 .設(shè)函數(shù)f(x)alnxxax(aR)(1)試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；2 2)f(x)m有兩解x1,x2(x1x2a2Inxx2ax可知2x2axa2(2xa)(xa)xx因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)?0,)，所以若a0時(shí)，當(dāng)x(0,a)時(shí)，f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x(a,)時(shí)，f(x)0,函數(shù)f(x)

2、單調(diào)遞增;若a0時(shí)，當(dāng)f(x)2x0在x(0,)內(nèi)恒成立，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;a、右a0時(shí)，當(dāng)x(0,一)時(shí)，f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,2a當(dāng)x(-,)時(shí)，f(x)0,函數(shù)f(x)單倜遞增;(2)要證xix22a,只需證 x x1x x2a,22a2xa,貝Ug(x)x，求證：x1x22a.解析：(1)由f(x)a2f(x)2xax2a-20g(x)xxxc只需證：f(二一2)f(a)0,即證22a2x,+x221-x)+x2a0(*)x1x2ap2.22.又aInx1x1ax1m,aInx22x2ax2m,兩式相減整理得:g(x)f(x)f(x)為增函數(shù)。Inx11nx211,、I

3、n為Inx2,-(x1x2a)0,把(x1x2a)2代入(*)式，即證:x1x2aaxx2)是否相等即可.又由于f(x)2ax12a1,因此f(x1-x2)a(x1x2)12a2x2x,x2x1x2InxInx20化為:2(1)上一Ina0,令上二t,即證：Int0 xl1x2x2t1x2令(t)2(t1)1)1nt(0t1),則t1(t1)2t12t所以為減函數(shù)，(t)(1)0綜上得：原不等式得證。2.設(shè) A(A(。yjyj,B(xB(x2,y,y2) )是函數(shù) f(x)f(x)axax2(12a)xInx(12a)xInx 圖象 C C 上不同的兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作 x 軸的

4、垂線交曲線C C 于點(diǎn) N N，試問(wèn)：曲線 C C 在點(diǎn) N N 處的切線是否平行于直線AB?22解：由題思可得y1ax1(12a)x1lnx1,y2ax2(12a)x2lnx2,且XIx2,故直線AB的斜率k也當(dāng)a(x2XI)12a1nx21nxix2x1x2X1由題意可知曲線 C C 在點(diǎn) N N 處的切線的斜率為f(殳一生),因此我們只需判斷直線2AB的斜率令函數(shù)g(x)kf(x)，則g(x)Inx2Inx1XIX2X2XI1-2ix2_xi)(inx2Inx1)X2XIX2XI2(x21)lnx3.x2X1x21X1Xi不妨令0X1x2,則t&1,h(t)Int2LJ2,x1t

5、114(t1)2則由h(t)-2-)20可知(t)在(1,)上遞增.t(t1)2t(t1)2故h(t)h(1)0.從而可得h(x)0,即直線AB的斜率k與f,(XryX2)不相等， 也即曲線 C C 在點(diǎn) N N 處的切線與直線AB不平行.任務(wù)二、完成下面練習(xí)，體驗(yàn)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的解決方法在解題中的運(yùn)用。23.設(shè)函數(shù)f(x)x(a2)xalnx.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;3x2(a2)x2alnx2c.兩式作差可得(x1x2)(x1x2)(a2)(x1x2)a(1nx1Inx2)0.第3頁(yè)共8頁(yè)(2)若方程f(x)C有兩個(gè)不等實(shí)根a解：(1)由f(x)2x(a2)一x當(dāng)a0時(shí)，f(x)0

6、,此時(shí)函數(shù)x1,x2,求證：f(x1一x2)0.2(x1)(2xa)口 c”,且x0可知:xaaa.當(dāng)a0時(shí)，若0 x一，則f(x)0；若x-，則f(x)0；此時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,一)上222a單倜遞減；在(一，)上單調(diào)遞增.22x1(a2)x1a1nxic,(2)由x1,x2(0 x1x2)是方程f(x)c的兩個(gè)不等實(shí)根可知Inx2Inx1故x2x1a2a-.X2x12a由f(x)2x(aa2)可得fxx1x2(a2)Inxa-Inx1x2x12ax2x1(Inx2Inx1)2(x2X)x2x12符1)薩一.x,x-x1當(dāng)1由0 x1x2可知tx21,因此由g(t)Int2(t1)t1則

7、由g(t)1(t1)1)20可知g(t)在(1,)上遞增.t(t1)t(t1)故g(t)g(1)0,從而可知f(x一x2)o.24.設(shè)函數(shù)f(x)2Inxmx2x有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x1x2),且xx1,x2的等差中項(xiàng)，求證：f(x0)0.證明:由x1,x2(x1x2)是函數(shù)f(x)2Inxmx-.x的兩個(gè)零點(diǎn)可知2Inx1mx12人x1二0,2Inx2mx22cx2=0,兩式作差可得2(1nxiInx2)m(x1x2)(xx2)(x1x2)0.故x1x2m2Inx2Inx1x2x1,一2由f(x)mx2x,及x0 x1x2曰可得2x1x2f(xO)f(y)x1x2(x1x2)42Inx2I

8、nx1由0X1X2可知t上1,因此由g(t)Int2(t1),X1t114(t1)2則由g(t)-21t一I0可知g(t)在(1,)上遞增.t(t1)2t(t1)2故g(t)g(1)0,從而可知f(X0)0.5.(2016 年高考數(shù)學(xué)全國(guó)I理科第 21 題)已知函數(shù)f(X)(I)求a的取值范圍;(n)設(shè)X1,X2是f(X)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：X1X22.解：(I)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)a0時(shí)，f(x)(x2)ex0,得x2,只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)a0時(shí)，f(x)(x1)ex2a當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0得，x1,由f(x)0得，x1,由f(x)0得，x1,故，X1是f(x)的極小值點(diǎn)，也是

9、f(x)的最小值點(diǎn)，所以f(x)minf(1)e0又f(2)a0,故在區(qū)間(1,2)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)X2,即1X22,XX21p2、由lim(x2)elimlimx0,又a(x1)0,所以，f(x)在區(qū)間xxexe(,1)存在唯一零點(diǎn)x1，即x11,故a0時(shí)，f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0得，x1或xln(2a),eX2一(lnx2Inx1)Xi2(X2Xi)X2X1X2Xi咤吠X12連1)(X2)eXa(X1)2有兩個(gè)零點(diǎn).若ln(2a)1,即ae時(shí)，f(x)0,故f(x)在R上單調(diào)遞增，與題意不符2解法二、利用對(duì)數(shù)平均不等式證明由(I)知，a0,又f(0)a2所以,當(dāng)0a2時(shí)，

10、x10且1x22,故x1x22當(dāng)a2時(shí)，0 x11x22,又因?yàn)閍(K綢(x11)2M2)e(x21)2(2x2)e2(x21)2所以ln(2x1)x12ln(1x1)ln(2x2)x22ln(x21)所以ln(2x1)ln(2x2)2(ln(1x1)ln(x21)x2x1(2x1)(2x2)所以121n(1%)1n&1)ln(2x1)ln(2x2)(2%)(2x2)ln(2x1)ln(2x2)4x1x2所以x12ln(1x1)ln(x21)ln(2x1)ln(2x2)卜面用反證法證明不等式成立若ln(2a)1,即a0時(shí)，易證f(x)極大值=1)e0故f(x)在R上只有一個(gè)零e點(diǎn)，右l

11、n(2a)1,即a時(shí)，易證22f(X)極大值=f(ln(2a)a(ln(2a)4ln(2a)綜上述，a05)0,故f(x)在R上只有一個(gè)零點(diǎn)由(I)知，a0且x11x22令h(x)f(x)f(2x)(x2)exxe2x,x(x1)(e2(x1)1)x2e因?yàn)閤1,所以x10,e2(x1)10,所以h(x)0,所以h(x)在(1,)內(nèi)單調(diào)遞增，所以h(x)h(1)0,即f(x)f(2x),所以f(x2)f(2x2),所以f(x1)f(2x2),因?yàn)閤11,2x21,f(x)在區(qū)間(,1)內(nèi)單調(diào)遞減，所以x12x2,即x1x22因?yàn)? xiiX22,所以2xi2x20,所以ln(2xi)ln(2X2)0X22,xix222且21n(ixi)1n(x2D=0,與矛盾;ln(2xi)ln(2x2)當(dāng)XiX22時(shí)xiX20且21n(iXi)ln(2x1)ln(2x2)(X2i)0，與矛盾，故假設(shè)不成立所以x1x26.設(shè)函數(shù)f(x)lnxax有兩個(gè)零點(diǎn)4-2Xi,X2,求證：XiX2e.證明：由x1,x2(x1x2)是函數(shù)f(x)lnxax的兩個(gè)零點(diǎn)可得：lnx1ax1=0,lnx2ax2=0,兩式相減可得lnx1lnx2a(xix?)lnx2lnxix2xi兩式相加可得lnx1lnx2a(xix2)lnx2lnxix2xi故有a1n*1nx xiX2Xilnx2lnxi2L.由于X