速度是行程問題的三個(gè)基本量

1、路程、時(shí)間、速度是行程問題的三個(gè)基本量，它們之間的關(guān)系如下：路程=時(shí)間×速度，時(shí)間=路程÷速度，速度=路程÷時(shí)間。這一講就是通過例題加深對這三個(gè)基本數(shù)量關(guān)系的理解。例1一個(gè)車隊(duì)以4米/秒的速度緩緩?fù)ㄟ^一座長200米的大橋，共用115秒。已知每輛車長5米，兩車間隔10米。問：這個(gè)車隊(duì)共有多少輛車？分析與解：求車隊(duì)有多少輛車，需要先求出車隊(duì)的長度，而車隊(duì)的長度等于車隊(duì)115秒行的路程減去大橋的長度。由“路程=時(shí)間×速度”可求出車隊(duì)115秒行的路程為4×115=460（米）。故車隊(duì)長度為460-200=260（米）。再由植樹問題可得車隊(duì)共有車（260

2、-5）÷（5+10）+1=18（輛）。例2騎自行車從甲地到乙地，以10千米/時(shí)的速度行進(jìn)，下午1點(diǎn)到；以15千米/時(shí)的速度行進(jìn)，上午11點(diǎn)到。如果希望中午12點(diǎn)到，那么應(yīng)以怎樣的速度行進(jìn)？分析與解：這道題沒有出發(fā)時(shí)間，沒有甲、乙兩地的距離，也就是說既沒有時(shí)間又沒有路程，似乎無法求速度。這就需要通過已知條件，求出時(shí)間和路程。假設(shè)A，B兩人同時(shí)從甲地出發(fā)到乙地，A每小時(shí)行10千米，下午1點(diǎn)到；B每小時(shí)行15千米，上午11點(diǎn)到。B到乙地時(shí)，A距乙地還有10×2=20（千米），這20千米是B從甲地到乙地這段時(shí)間B比A多行的路程。因?yàn)锽比A每小時(shí)多行15-10=5（千米），所以B從甲

3、地到乙地所用的時(shí)間是20÷（15-10）=4（時(shí)）。由此知，A，B是上午7點(diǎn)出發(fā)的，甲、乙兩地的距離是15×4=60（千米）。要想中午12點(diǎn)到，即想（12-7=）5時(shí)行60千米，速度應(yīng)為60÷（12-7）=12（千米/時(shí)）。例3劃船比賽前討論了兩個(gè)比賽方案。第一個(gè)方案是在比賽中分別以2.5米/秒和3.5米/秒的速度各劃行賽程的一半；第二個(gè)方案是在比賽中分別以2.5米/秒和3.5米/秒的速度各劃行比賽時(shí)間的一半。這兩個(gè)方案哪個(gè)好？分析與解：路程一定時(shí)，速度越快，所用時(shí)間越短。在這兩個(gè)方案中，速度不是固定的，因此不好直接比較。在第二個(gè)方案中，因?yàn)閮煞N速度劃行的時(shí)間相同

4、，所以以3.5米/秒的速度劃行的路程比以2.5米/秒的速度劃行的路程長。用單線表示以2.5米/秒的速度劃行的路程，用雙線表示以3.5米/秒的速度劃行的路程，可畫出下圖所示的兩個(gè)方案的比較圖。其中，甲段+乙段= 丙段。小精靈兒童網(wǎng)站例3小明放學(xué)后，沿某路公共汽車路線以不變速度步行回家，該路公共汽車也以不變速度不停地運(yùn)行。每隔9分鐘就有一輛公共汽車從后面超過他，每隔7分鐘就遇到迎面開來的一輛公共汽車。問：該路公共汽車每隔多少分鐘發(fā)一次車？分析與解：這是一道數(shù)量關(guān)系非常隱蔽的難題，有很多種解法，但大多數(shù)解法復(fù)雜且不易理解。為了搞清各數(shù)量之間的關(guān)系，我們對題目條件做適當(dāng)變形。假設(shè)小明在路上向前行走了6

5、3分鐘后，立即回頭再走63分鐘，回到原地。這里取63，是由于7，9=63。這時(shí)在前63分鐘他迎面遇到63÷7=9（輛）車，后63分鐘有63÷9=7（輛）車追上他，那么在兩個(gè)63分鐘里他共遇到朝同一方向開來的16輛車，則發(fā)車的時(shí)間間隔為例4甲、乙兩人在長為30米的水池里沿直線來回游泳，甲的速度是1米/秒，乙的速度是0.6米/秒，他們同時(shí)分別從水池的兩端出發(fā)，來回共游了11分鐘，如果不計(jì)轉(zhuǎn)向的時(shí)間，那么在這段時(shí)間里，他們共相遇了多少次？分析與解：甲游一個(gè)單程需30÷1=30（秒），乙游一個(gè)單程需30÷0.6=50（秒）。甲游5個(gè)單程，乙游3個(gè)單程，各自到了不

6、同的兩端又重新開始，這個(gè)過程的時(shí)間是150秒，即2.5分鐘，其間，兩人相遇了5次（見下圖），實(shí)折線與虛折線的交點(diǎn)表示相遇點(diǎn)。以2.5分鐘為一個(gè)周期，11分鐘包含4個(gè)周期零1分鐘，而在一個(gè)周期中的第1分鐘內(nèi)，從圖中看出兩人相遇2次，故一共相遇了5×4+2=22（次）。例4用畫圖的方法，直觀地看出了一個(gè)周期內(nèi)相遇的次數(shù)，由此可見畫圖的重要性。例5甲、乙兩人同時(shí)從山腳開始爬山，到達(dá)山頂后就立即下山。他們兩人下山的速度都是各自上山速度的2倍。甲到山頂時(shí)乙距山頂還有400米，甲回到山腳時(shí)乙剛好下到半山腰。求從山腳到山頂?shù)木嚯x。分析與解：本題的難點(diǎn)在于上山與下山的速度不同，如果能在不改變題意的前

7、提下，變成上山與下山的速度相同，那么問題就可能變得容易些。如果兩人下山的速度與各自上山的速度相同，那么題中“甲回到山腳時(shí)順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度-水流速度，靜水速度=（順流速度+逆流速度）÷2，水流速度=（順流速度-逆流速度）÷2。此處的靜水速度、順流速度、逆流速度分別指船在靜水中、船順流、船逆流的速度。例6 兩個(gè)碼頭相距418千米，汽艇順流而下行完全程需11時(shí)，逆流而上行完全程需19時(shí)。求這條河的水流速度。解：水流速度=（順流速度-逆流速度）÷2=（418÷11-418÷19）÷2=（38-22）÷

8、2=8（千米/時(shí)）答：這條河的水流速度為8千米/時(shí)。練習(xí)241.小燕上學(xué)時(shí)騎車，回家時(shí)步行，路上共用50分鐘。若往返都步行，則全程需要70分鐘。求往返都騎車需要多少時(shí)間。2.某人要到60千米外的農(nóng)場去，開始他以5千米/時(shí)的速度步行，后來有輛速度為18千米/時(shí)的拖拉機(jī)把他送到了農(nóng)場，總共用了5.5時(shí)。問：他步行了多遠(yuǎn)？3.已知鐵路橋長1000米，一列火車從橋上通過，測得火車從開始上橋到完全下橋共用120秒，整列火車完全在橋上的時(shí)間為80秒。求火車的速度和長度。4.小紅上山時(shí)每走30分鐘休息10分鐘，下山時(shí)每走30分鐘休息5分鐘。已知小紅下山的速度是上山速度的1.5倍，如果上山用了3時(shí)50分，那么

9、下山用了多少時(shí)間？5.汽車以72千米/時(shí)的速度從甲地到乙地，到達(dá)后立即以48千米/時(shí)的速度返回甲地。求該車的平均速度。6.兩地相距480千米，一艘輪船在其間航行，順流需16時(shí)，逆流需20時(shí)，求水流的速度。7.一艘輪船在河流的兩個(gè)碼頭間航行，順流需要6時(shí)，逆流需要8時(shí)，水流速度為2.5千米/時(shí)，求輪船在靜水中的速度。本講重點(diǎn)講相遇問題和追及問題。在這兩個(gè)問題中，路程、時(shí)間、速度的關(guān)系表現(xiàn)為：在實(shí)際問題中，總是已知路程、時(shí)間、速度中的兩個(gè)，求另一個(gè)。例1甲車每小時(shí)行40千米，乙車每小時(shí)行60千米。兩車分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，相遇后3時(shí)，甲車到達(dá)B地。求A，B兩地的距離。分析與解：先畫示

10、意圖如下：圖中C點(diǎn)為相遇地點(diǎn)。因?yàn)閺腃點(diǎn)到B點(diǎn)，甲車行3時(shí)，所以C，B兩地的距離為40×3=120（千米）。這120千米乙車行了120÷60=2（時(shí)），說明相遇時(shí)兩車已各行駛了2時(shí)，所以A，B兩地的距離是（40+60）×2=200（千米）。例2小明每天早晨按時(shí)從家出發(fā)上學(xué)，李大爺每天早晨也定時(shí)出門散步，兩人相向而行，小明每分鐘行60米，李大爺每分鐘行40米，他們每天都在同一時(shí)刻相遇。有一天小明提前出門，因此比平時(shí)早9分鐘與李大爺相遇，這天小明比平時(shí)提前多少分鐘出門？分析與解：因?yàn)樘崆?分鐘相遇，說明李大爺出門時(shí)，小明已經(jīng)比平時(shí)多走了兩人9分鐘合走的路，即多走了（6

11、0+40）×9=900（米），所以小明比平時(shí)早出門900÷60=15（分）。例3小剛在鐵路旁邊沿鐵路方向的公路上散步，他散步的速度是2米/秒，這時(shí)迎面開來一列火車，從車頭到車尾經(jīng)過他身旁共用18秒。已知火車全長342米，求火車的速度。分析與解：在上圖中，A是小剛與火車相遇地點(diǎn)，B是小剛與火車離開地點(diǎn)。由題意知，18秒小剛從A走到B，火車頭從A走到C，因?yàn)镃到B正好是火車的長度，所以18秒小剛與火車共行了342米，推知小剛與火車的速度和是342÷18=19（米/秒），從而求出火車的速度為19-2=17（米/秒）。例4鐵路線旁邊有一條沿鐵路方向的公路，公路上一輛拖拉機(jī)

12、正以20千米/時(shí)的速度行駛。這時(shí)，一列火車以56千米/時(shí)的速度從后面開過來，火車從車頭到車尾經(jīng)過拖拉機(jī)身旁用了37秒。求火車的全長。小精靈兒童網(wǎng)站分析與解與例3類似，只不過由相向而行的相遇問題變成了同向而行的追及問題。由上圖知，37秒火車頭從B走到C，拖拉機(jī)從B走到A，火車比拖拉機(jī)多行一個(gè)火車車長的路程。用米作長度單位，用秒作時(shí)間單位，求得火車車長為速度差×追及時(shí)間= （56000-20000）÷3600×37= 370（米）。例5如右圖所示，沿著某單位圍墻外面的小路形成一個(gè)邊長300米的正方形，甲、乙兩人分別從兩個(gè)對角處沿逆時(shí)針方向同時(shí)出發(fā)。已知甲每分走90米，

13、乙每分走70米。問：至少經(jīng)過多長時(shí)間甲才能看到乙？分析與解：當(dāng)甲、乙在同一條邊（包括端點(diǎn)）上時(shí)甲才能看到乙。甲追上乙一條邊，即追上300米需300÷（90-70）=15（分），此時(shí)甲、乙的距離是一條邊長，而甲走了90×15÷300=4.5（條邊），位于某條邊的中點(diǎn)，乙位于另一條邊的中點(diǎn)，所以甲、乙不在同一條邊上，甲看不到乙。甲再走0.5條邊就可以看到乙了，即甲走5條邊后可以看到乙，共需例6獵狗追趕前方30米處的野兔。獵狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子動(dòng)作快，獵狗跑3步的時(shí)間兔子能跑4步。獵狗至少跑出多遠(yuǎn)才能追上野兔？分析與解：這道題條件比較隱蔽，時(shí)間

14、、速度都不明顯。為了弄清兔子與獵狗的速度的關(guān)系，我們將條件都變換到獵狗跑12步的情形（想想為什么這樣變換）：（1）獵狗跑12步的路程等于兔子跑21步的路程；（2）獵狗跑12步的時(shí)間等于兔子跑16步的時(shí)間。由此知，在獵狗跑12步的這段時(shí)間里，獵狗能跑12步，相當(dāng)于兔子跑也就是說，獵狗每跑21米，兔子跑16米，獵狗要追上兔子30米需跑21×30÷（21-16）=126（米）。小精靈兒童網(wǎng)站練習(xí)251.A，B兩村相距2800米，小明從A村出發(fā)步行5分鐘后，小軍騎車從B村出發(fā)，又經(jīng)過10分鐘兩人相遇。已知小軍騎車比小明步行每分鐘多行130米，小明每分鐘步行多少米？2.甲、乙兩車同時(shí)

15、從A，B兩地相向而行，它們相遇時(shí)距A，B兩地中心處8千米。已知甲車速度是乙車的1.2倍，求A，B兩地的距離。3.小紅和小強(qiáng)同時(shí)從家里出發(fā)相向而行。小紅每分鐘走52米，小強(qiáng)每分鐘走70米，二人在途中的A處相遇。若小紅提前4分鐘出發(fā)，但速度不變，小強(qiáng)每分鐘走90米，則兩人仍在A處相遇。小紅和小強(qiáng)的家相距多遠(yuǎn)？4.一列快車和一列慢車相向而行，快車的車長是280米，慢長的車長是385米。坐在快車上的人看見慢車駛過的時(shí)間是11秒，坐在慢車上的人看見快車駛過的時(shí)間是多少秒？5.甲、乙二人同時(shí)從A地到B地去。甲騎車每分鐘行250米，每行駛10分鐘后必休息20分鐘；乙不間歇地步行，每分鐘行100米，結(jié)果在甲即

16、將休息的時(shí)刻兩人同時(shí)到達(dá)B地。問：A，B兩地相距多遠(yuǎn)？6.甲、乙兩人從周長為1600米的正方形水池相對的兩個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)出發(fā)逆時(shí)針行走，兩人每分鐘分別行50米和46米。出發(fā)后多長時(shí)間兩人第一次在同一邊上行走？7.一只獵狗正在追趕前方20米處的兔子，已知狗一跳前進(jìn)3米，兔子一跳前進(jìn)2.1米，狗跳3次的時(shí)間兔子跳4次。兔子跑出多遠(yuǎn)將被獵狗追上？在行程問題中，經(jīng)常會碰到相遇問題、追及問題、時(shí)間路程速度的關(guān)系問題等交織在一起的綜合問題，這類問題難度較大，往往需要畫圖幫助搞清各數(shù)量之間的關(guān)系，并把綜合問題分解成幾個(gè)單一問題，然后逐次求解。例1兩條公路成十字交叉，甲從十字路口南1800米處向北直行，乙從十字路

17、口處向東直行。甲、乙同時(shí)出發(fā)12分鐘后，兩人與十字路口的距離相等；出發(fā)后75分鐘，兩人與十字路口的距離再次相等。此時(shí)他們距十字路口多少米？分析與解：如左下圖所示，出發(fā)12分鐘后，甲由A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)，乙由O點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)，且OB=OC。如果乙改為向南走，那么這個(gè)條件相當(dāng)于“兩人相距1800米，12分鐘相遇”的相遇問題，所以每分鐘兩人一共行1800÷12=150（米）。如右上圖所示，出發(fā)75分鐘后，甲由A點(diǎn)到達(dá)E點(diǎn)，乙由O點(diǎn)到達(dá)F點(diǎn)，且OE=OF。如果乙改為向北走，那么這個(gè)條件相當(dāng)于“兩人相距1800米，75分鐘后甲追上乙”的追及問題，所以每分鐘兩人行走的路程差是1800÷75=24

18、（米）。再由和差問題，可求出乙每分鐘行（150-24）÷2=63（米），出發(fā)后75分鐘距十字路口63×75=4725（米）。例2小轎車、面包車和大客車的速度分別為60千米/時(shí)、48千米/時(shí)和42千米/時(shí)，小轎車和大客車從甲地、面包車從乙地同時(shí)相向出發(fā)，面包車遇到小轎車后30分鐘又遇到大客車。問：甲、乙兩地相距多遠(yuǎn)？分析與解：如下圖所示，面包車與小轎車在A點(diǎn)相遇，此時(shí)大客車到達(dá)B點(diǎn)，大客車與面包車行BA這段路程共需30分鐘。由大客車與面包車的相遇問題知BA=（48+42）×（30÷60）=45（千米）；小轎車比大客車多行BA（45千米）需要的時(shí)間，由追及問

19、題得到45÷（60-42）=2.5（時(shí)）；在這2.5時(shí)中，小轎車與面包車共行甲、乙兩地的一個(gè)單程，由相遇問題可求出甲、乙兩地相距（60+48）×2.5=270（千米）。由例1、例2看出，將較復(fù)雜的綜合問題分解為若干個(gè)單一問題，可以達(dá)到化難為易的目的。小精靈兒童網(wǎng)站例3小明放學(xué)后，沿某路公共汽車路線以不變速度步行回家，該路公共汽車也以不變速度不停地運(yùn)行。每隔9分鐘就有一輛公共汽車從后面超過他，每隔7分鐘就遇到迎面開來的一輛公共汽車。問：該路公共汽車每隔多少分鐘發(fā)一次車？分析與解：這是一道數(shù)量關(guān)系非常隱蔽的難題，有很多種解法，但大多數(shù)解法復(fù)雜且不易理解。為了搞清各數(shù)量之間的關(guān)系

20、，我們對題目條件做適當(dāng)變形。假設(shè)小明在路上向前行走了63分鐘后，立即回頭再走63分鐘，回到原地。這里取63，是由于7，9=63。這時(shí)在前63分鐘他迎面遇到63÷7=9（輛）車，后63分鐘有63÷9=7（輛）車追上他，那么在兩個(gè)63分鐘里他共遇到朝同一方向開來的16輛車，則發(fā)車的時(shí)間間隔為例4甲、乙兩人在長為30米的水池里沿直線來回游泳，甲的速度是1米/秒，乙的速度是0.6米/秒，他們同時(shí)分別從水池的兩端出發(fā)，來回共游了11分鐘，如果不計(jì)轉(zhuǎn)向的時(shí)間，那么在這段時(shí)間里，他們共相遇了多少次？分析與解：甲游一個(gè)單程需30÷1=30（秒），乙游一個(gè)單程需30÷0.

21、6=50（秒）。甲游5個(gè)單程，乙游3個(gè)單程，各自到了不同的兩端又重新開始，這個(gè)過程的時(shí)間是150秒，即2.5分鐘，其間，兩人相遇了5次（見下圖），實(shí)折線與虛折線的交點(diǎn)表示相遇點(diǎn)。以2.5分鐘為一個(gè)周期，11分鐘包含4個(gè)周期零1分鐘，而在一個(gè)周期中的第1分鐘內(nèi)，從圖中看出兩人相遇2次，故一共相遇了5×4+2=22（次）。例4用畫圖的方法，直觀地看出了一個(gè)周期內(nèi)相遇的次數(shù)，由此可見畫圖的重要性。例5甲、乙兩人同時(shí)從山腳開始爬山，到達(dá)山頂后就立即下山。他們兩人下山的速度都是各自上山速度的2倍。甲到山頂時(shí)乙距山頂還有400米，甲回到山腳時(shí)乙剛好下到半山腰。求從山腳到山頂?shù)木嚯x。分析與解：本題的難點(diǎn)在于上山與下山的速度不同，如果能在不改變題