解讀物理高考中數(shù)學(xué)工具的作用

1、文檔供參考，可復(fù)制、編制，期待您的好評(píng)與關(guān)注！ 解讀物理高考中數(shù)學(xué)工具的作用 王高 (發(fā)表在新高考2011年第4期)數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)和研究物理學(xué)的重要工具，運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決物理問題的能力是中學(xué)物理教學(xué)大綱和高考說明中要求的一項(xiàng)重要能力。熟練應(yīng)用數(shù)學(xué)工具是學(xué)好物理的前提。高考物理中數(shù)學(xué)工具作用主要體現(xiàn)在三個(gè)方面。1語言工具享有“近代自然科學(xué)之父”尊稱的大物理學(xué)家伽利略說過：“展現(xiàn)在我們眼前的宇宙像一本用數(shù)學(xué)語言寫成的大書，如不掌握數(shù)學(xué)符號(hào)語言，就像在黑暗的迷宮里游蕩，什么也認(rèn)識(shí)不清?！蔽锢硎强陀^世界的抽象，數(shù)學(xué)是一種特殊的語言，最讓人信服的語言，物理需要它來表達(dá)。物理內(nèi)容的表述有兩種語言形式，一種是文

2、字語言，一種是數(shù)學(xué)語言。物理中概念、規(guī)律、物理事物的因果關(guān)系及物理問題的演算等除了文字?jǐn)⑹鐾?，一般都通過數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)式子和幾何圖像等數(shù)學(xué)語言來進(jìn)行表達(dá)。數(shù)學(xué)是定義物理量、表述物理規(guī)律最簡(jiǎn)潔、概括、精確、深刻的語言.（1）定義物理量許多物理量都是用比值法來定義的，常稱之為“比值定義”，正是通過數(shù)學(xué)式子把物理量表達(dá)出來的如密度，導(dǎo)體的電阻R，電容器的電容 C，電場(chǎng)強(qiáng)度E等它們的共同特征是：被定義的物理量是反映物體或物質(zhì)的屬性和特征的，它和定義式中的物理量無關(guān) （2）表述物理規(guī)律物理中的許多概念和規(guī)律，都是在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過觀察和分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，經(jīng)過科學(xué)抽象，最后利用數(shù)學(xué)語言表示為物理公式的。例如

3、，牛頓第二定律公式是在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和相應(yīng)的圖線的分析和歸納，得出兩個(gè)關(guān)系式為aF和a1/m，然后綜合這兩個(gè)比例式，通過比例系數(shù)法分析研究，最后導(dǎo)出表達(dá)式F=ma。幾乎所有的物理規(guī)律，都是通過量化的方法用數(shù)學(xué)公式進(jìn)行描述，數(shù)學(xué)給物理規(guī)律的描述提供了最簡(jiǎn)潔、最準(zhǔn)確的表達(dá)方式。我們?cè)谘芯课锢硪?guī)律時(shí)，對(duì)量與量之間的關(guān)系、量的變化以及在量與量之間進(jìn)行分析、比較、推導(dǎo)和運(yùn)算時(shí)，都是運(yùn)用簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)、形式化的語言來表達(dá)，進(jìn)行定量描述和理論概括。再如：用數(shù)學(xué)的矢量法可以表示力等矢量的大小和方向；用數(shù)學(xué)方程來表示不同物理量之間的依賴與制約關(guān)系；用數(shù)學(xué)的導(dǎo)數(shù)來表示各種物理量的變化率

4、等等。2推理工具數(shù)學(xué)能導(dǎo)致新規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和新理論的建立.牛頓在開普勒觀察得到的行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，利用數(shù)學(xué)的方法，導(dǎo)出了萬有引力定律;麥克斯韋從電磁現(xiàn)象已有的實(shí)驗(yàn)規(guī)律出發(fā)，建立了電磁場(chǎng)理論.數(shù)學(xué)方法是進(jìn)行推理、論證的有效工具和抽象手段，在物理學(xué)中，有些公式反映了基本定義和實(shí)驗(yàn)規(guī)律，而有一些則是導(dǎo)出公式，這些導(dǎo)出公式是從實(shí)驗(yàn)規(guī)律和基本定義出發(fā)，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行推導(dǎo)、演算和論證，從而得到的。數(shù)學(xué)推理具有嚴(yán)格性和邏輯性。嚴(yán)格性表現(xiàn)在:一是推理過程的嚴(yán)格、可靠;二是推理結(jié)論的精確、確定.數(shù)學(xué)都是以邏輯推理的形式表達(dá)量的關(guān)系或空間形式的，物理中的許多結(jié)論是由嚴(yán)格的邏輯推理得出。因此，一切數(shù)學(xué)結(jié)論都具

5、有邏輯上的必然性和量的確定性.正因?yàn)檫@樣數(shù)學(xué)方法才給予精密的自然科學(xué)以某種程度的可靠性，沒有數(shù)學(xué)，物理是達(dá)不到這種可靠性的。圖1例1如圖1所示，由粗細(xì)均勻的電阻絲繞成的矩形導(dǎo)線框abcd固定于水平面上，導(dǎo)線框邊長(zhǎng)=L, =2L，整個(gè)線框處于豎直方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，導(dǎo)線框上各段導(dǎo)線的電阻與其長(zhǎng)度成正比，已知該種電阻絲單位長(zhǎng)度上的電阻為，的單位是/m今在導(dǎo)線框上放置一個(gè)與ab邊平行且與導(dǎo)線框接觸良好的金屬棒MN,MN的電阻為r，其材料與導(dǎo)線框的材料不同金屬棒MN在外力作用下沿x軸正方向做速度為v的勻速運(yùn)動(dòng)，在金屬棒從導(dǎo)線框最左端（該處x=0)運(yùn)動(dòng)到導(dǎo)線框最右端的過程中：(1)請(qǐng)

6、寫出金屬棒中的感應(yīng)電流I隨x變化的函數(shù)關(guān)系式；(2)試證明當(dāng)金屬棒運(yùn)動(dòng)到bc段中點(diǎn)時(shí)，MN兩點(diǎn)間電壓最大，并請(qǐng)寫出最大電壓Um的表達(dá)式；(3)試討論在此過程中，導(dǎo)線框上消耗的電功率可能的變化情況解析：(1) (2)M、N兩點(diǎn)間電壓，當(dāng)外電路電阻最大時(shí)，U有最大值Um。.因?yàn)橥怆娐冯娮?，?dāng)，即x=L時(shí)，R有最大值，所以x=L時(shí)，即金屬棒在bc中點(diǎn)時(shí)M、N兩點(diǎn)間電壓有最大值，即。 (3) 外電路電阻，。當(dāng)r<，即r<時(shí)，導(dǎo)線框上消耗的電功率先變小，后變大；當(dāng)< r<，即<r<時(shí)，導(dǎo)線框上消耗的電功率先變大，后變小，再變大，再變小；當(dāng)r>，即r>時(shí)，導(dǎo)

7、線框上消耗的電功率先變大，后變小3思維工具數(shù)學(xué)是“物理學(xué)家的思想工具”，它使物理學(xué)家能“有條理地思考”并能想象出更多的東西可以說，正是有了數(shù)學(xué)與物理學(xué)的有機(jī)結(jié)合，才使物理學(xué)日臻完善物理學(xué)的嚴(yán)格定量化，使得數(shù)學(xué)思想方法成為物理思維中一個(gè)不可或缺的工具（1）函數(shù)與方程思想函數(shù)思想就是用函數(shù)的觀點(diǎn)、方法研究問題，將非函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，通過對(duì)函數(shù)的研究，使問題得以解決。物理學(xué)中研究物理問題最常用的方法是忽略問題中的次要因素，將具體問題轉(zhuǎn)化為物理問題，定義物理量、建立物理模型，根據(jù)物理概念、規(guī)律和原理，建立物理量之間的函數(shù)關(guān)系，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)獲得問題的解決。可見，函數(shù)方程是求解物理問題的一種有力的

8、數(shù)學(xué)工具。例2 一根輕繩一端固定在O點(diǎn)，另一端拴一個(gè)小球，拉起小球使輕繩水平，然后無初速釋放，如圖2所示。小球在運(yùn)動(dòng)至輕繩達(dá)豎著位置的過程中，小球所受重力的瞬時(shí)功率在何處取最大值？LOvxTmgvyv圖2解法1（物理思維分析）設(shè)小球的質(zhì)量為m，輕繩長(zhǎng)為L(zhǎng),繩的拉力為T。小球在運(yùn)動(dòng)過程中某一時(shí)刻的情境如圖所示。重力的瞬時(shí)功率為。vy為該時(shí)刻速度v的豎直分量。在起點(diǎn)和最低點(diǎn)vy=0，故在小球向下擺動(dòng)過程中，vy應(yīng)先增大后減小，vy取最大值之處必在小球豎直方向的加速度ay=0的位置。則在該處有即：由向心力公式得又根據(jù)機(jī)械能守恒定律：解得： 即繩與豎直方向成時(shí)重力的瞬時(shí)功率最大。解法2（函數(shù)方程思想）

9、小球在運(yùn)動(dòng)過程中某一時(shí)刻的重力的瞬時(shí)功率為根據(jù)機(jī)械能守恒定律：可得：顯然，當(dāng)取最大值時(shí)，P最大。而因?yàn)橛蓴?shù)學(xué)均值不等式可知當(dāng)時(shí)，P有最大值即 時(shí)，P有最大值。需要注意的是：一些物理問題一旦被數(shù)學(xué)化之后，就抽掉了原本的物理意義，不再反映事物的一般規(guī)律，更加側(cè)重于數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系或數(shù)量關(guān)系，甚至只剩下單純的數(shù)量關(guān)系，不一定與原題條件完全相符，這樣，符合數(shù)學(xué)量關(guān)系的解就不一定適合原題，所以要舍去，這就需要對(duì)舍去的解進(jìn)行物理判斷。（2）數(shù)形結(jié)合的思想數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，因而數(shù)學(xué)研究總是圍繞著數(shù)與形進(jìn)行的?！皵?shù)”就是方程、函數(shù)、不等式及表達(dá)式，代數(shù)中的一切內(nèi)容;“形”就是圖形、圖象、

10、曲線等。數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)是數(shù)量關(guān)系決定了幾何圖形的性質(zhì)，幾何圖形的性質(zhì)反映了數(shù)量關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是抓住數(shù)與形之間的內(nèi)在了解，以“形”直觀地表達(dá)數(shù)，以“數(shù)”精確地研究形。通過深入的觀察、聯(lián)想，由形思數(shù)，由數(shù)想形，利用圖形的直觀誘發(fā)直覺。數(shù)形結(jié)合的思想，就是把物體的空間形式和數(shù)量關(guān)系結(jié)合起來進(jìn)行考察，通過數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解決問題的思想。以數(shù)解形將有些涉及圖形的物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系來研究，對(duì)圖形作精細(xì)的分析，從而對(duì)直觀圖形有更精確、理性的理解.有的物理問題，已知的是一個(gè)圖形，但只靠圖形是解決不了問題的，必須將圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，從而找出所求物理量與已知物理量間的關(guān)系，建立方程進(jìn)行求解;有

11、些物理問題，用圖象來表示已知的信息，只有充分挖掘圖象的信息，根據(jù)圖形及物理量之間的關(guān)系，尋找有關(guān)的物理規(guī)律，把圖象問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.圖3例3一禮花彈豎直向上飛到最高點(diǎn)時(shí)炸成若干小塊，設(shè)炸開時(shí)每一小塊以相同的速率，向各個(gè)不同方向飛出，且不計(jì)空氣阻力，試定量描述此后每一小塊在空中的運(yùn)動(dòng)情況.解析 禮花彈在空中最高點(diǎn)炸開后，各小塊碎片在空中一般做的是曲線運(yùn)動(dòng)。要定量描述其空中運(yùn)動(dòng)情況，可利用物理規(guī)律先寫出其空中運(yùn)動(dòng)軌跡的數(shù)學(xué)方程，再通過對(duì)相應(yīng)數(shù)學(xué)方程的定量研究來對(duì)其空中運(yùn)動(dòng)軌跡定量描述. 如圖3所示，選取炸開點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立三維坐標(biāo)系，設(shè)炮彈炸開瞬間某一小塊速度v在x、y、z坐標(biāo)的分量分別為vx、

12、vy、vz，由物理知識(shí)可知，小碎片在x、y軸方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在z軸方向上做勻變速直線運(yùn)動(dòng)且加速度為重力加速度g.為簡(jiǎn)便起見選取自由落體運(yùn)動(dòng)的物體為參照系，則某一小塊在選定的參照系中，在z軸方向依然做勻速運(yùn)動(dòng).由此得到在時(shí)刻t某一小塊相對(duì)于參照系在各坐標(biāo)方向的位移分別為 可得（1）其中(1)式就是在空中飛行的某一小塊相對(duì)于所選定參照系的軌跡方程。軌跡是一個(gè)半徑為R的球面方程。表明禮花彈在空中炸開后，任一時(shí)刻每一小片相對(duì)于參照系都落在同一球面上，其球面半徑大小與時(shí)間成正比。又因選取的是自由落體參照系，故對(duì)地面觀察者，該球面的球心從炸開點(diǎn)開始豎直向下做自由落體運(yùn)動(dòng)，整個(gè)球面也同時(shí)在做自由落體運(yùn)

13、動(dòng).這就定量地描述出了禮花彈炸開后每一小塊在空中的運(yùn)動(dòng)情況.PA.B·圖4以形助數(shù)有的物理問題，較難直接找出未知量與已知量之間的關(guān)系，通常需要借助諸如受力分析圖、運(yùn)動(dòng)過程圖等示意圖來尋找未知量與已知量之間的關(guān)系，建立方程進(jìn)行求解;有些物理問題，用代數(shù)運(yùn)算比較繁雜，可以將代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化成圖形，利用圖形來求解問題.PA.B·圖5P··例4(2010江蘇第8題)如圖4所示，平直木板AB傾斜放置，板上的P點(diǎn)距A端較近，小物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)由A到B逐漸減小，先讓物塊從A由靜止開始滑到B。然后，將A著地，抬高B，使木板的傾角與前一過程相同，再讓物塊從B由靜止開始

14、滑到A。上述兩過程相比較，下列說法中一定正確的有（ ）A物塊經(jīng)過P點(diǎn)的動(dòng)能，前一過程較小B物塊從頂端滑到P點(diǎn)的過程中因摩擦產(chǎn)生的熱量，前一過程較少C物塊滑到底端的速度，前一過程較大D物塊從頂端滑到底端的時(shí)間，前一過程較長(zhǎng)vPt乙t甲v P´圖6解析：由題意知，小物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)由A到B逐漸減小，物塊在木板AB上由靜止開始滑到另一端的過程中，所受到的滑動(dòng)摩擦力是變力，加速度是變值，因此，物塊做的是變加速運(yùn)動(dòng)，摩擦力做功是變力做功。根據(jù)兩個(gè)運(yùn)動(dòng)過程的受力分析知：甲（從A到B）是加速度越來越大的變加速運(yùn)動(dòng)，乙（從B到A）是加速度越來越小的變加速運(yùn)動(dòng)，見圖5。而且滑到底端時(shí)的速度相等

15、，據(jù)此畫出兩種情況的速度圖象，如圖6所示。由圖象知它們從頂端滑到底端的位移相等，可見，所以D選項(xiàng)正確。利用圖象可以直接比較出從頂端下滑相同距離的P和P´點(diǎn)的速度大小，,就容易得到，所以物塊經(jīng)過P點(diǎn)的動(dòng)能，前一過程較小，A選項(xiàng)正確。根據(jù)能量轉(zhuǎn)化與守恒可知，,因?yàn)槎絇點(diǎn)的動(dòng)能，所以無法判斷物塊從頂端滑到P點(diǎn)的過程中因摩擦產(chǎn)生的熱量，B選項(xiàng)錯(cuò)誤。（3）微分與積分思想微積分思想的精妙之處在于通過有限向無限的轉(zhuǎn)化實(shí)現(xiàn)由近似到精確的分析過程.實(shí)際中的復(fù)雜物理問題，可以在時(shí)間、空間等范圍內(nèi)分割成相應(yīng)的局部問題，這些局部范圍內(nèi)的問題可以近似為簡(jiǎn)單基本的問題來研究，所有局部范圍研究結(jié)果的累積即為實(shí)際

16、復(fù)雜物理問題的結(jié)果.Fxx0OFmxFOx0圖7圖8例5靜置于光滑水平面上坐標(biāo)原點(diǎn)處的小物塊，在水平拉力F作用下，沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，見圖7。拉力F隨物塊所在位置坐標(biāo)x的變化關(guān)系如圖8所示，圖線為半圓則小物塊運(yùn)動(dòng)到處時(shí)的動(dòng)能為多大。圖9解析：水平拉力F對(duì)小物塊做功,它的動(dòng)能就增加,根據(jù)動(dòng)能定理,有。由圖8可知，F(xiàn)是隨x變化而變化的，對(duì)于變力做功問題，我們常采用微元法來處理，即在x處取一位移元x,如圖9，在x上F可視為恒定的，F(xiàn)做的功為 在整個(gè)過程中力F做的功為 即，半圓的半徑是還是Fm？或者都可以？從數(shù)學(xué)上看，圖線為半圓，應(yīng)該有，因此有或者，但從物理角度看，x與F分別表示的是位移和力，它們的大小

17、具有不可比性，本題中的x與F之間的關(guān)系圖象是一半圓，所以，因此，小物塊到達(dá)x0處的動(dòng)能為。拓展：同樣的F與x之間的函數(shù)關(guān)系，當(dāng)其標(biāo)度的大小選擇不同時(shí)，圖線就會(huì)從圓變?yōu)闄E圓，這時(shí)橢圓的長(zhǎng)短軸分別為2Fm和x0，其面積為：，可見，物理圖象中的圓與橢圓具有相對(duì)性，計(jì)算面積時(shí)要注意面積的物理意義。（4）數(shù)列思想有些物理問題具有過程多、重復(fù)性強(qiáng)的特點(diǎn)，但每一個(gè)重復(fù)過程均不是原來的完全重復(fù)，而是一種變化了的重復(fù)隨著物理過程的重復(fù)，某些物理量逐步發(fā)生著前后有了解的變化這些問題常用數(shù)列的思想方法進(jìn)行求解。 圖10例6 (2010江蘇第15題)制備納米薄膜裝置的工作電極可簡(jiǎn)化為真空中間距為d的兩平行極板，如圖10甲所示，加在極板A、B間的電壓UAB作周期性變化，其正向電壓為U0，反向電壓為-kU0 (k>1)，電壓變化的周期為2T，如圖乙所示。在t=0時(shí)，極板B附近的一個(gè)電子，質(zhì)量為m、電荷量為e，受電場(chǎng)作用由靜止開始運(yùn)動(dòng)。若整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，電子未碰到極板A，且不考慮重力作用。（1）若，電子在02T時(shí)間內(nèi)不能到達(dá)極板A，求d應(yīng)滿足的條件；（2）若電子在0200T時(shí)間內(nèi)未碰到極板B，求此運(yùn)動(dòng)過程中電子速度隨時(shí)間t變化的關(guān)系；（3）若電子在第N個(gè)周期內(nèi)的位移為零，求k的值。解析：（1）電子在0T時(shí)間內(nèi)做勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為，位移在T2T時(shí)間內(nèi)先做勻減速運(yùn)動(dòng)后反向做勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度的大小