函數的極限第3課時ppt課件

1、函數的極限(3)一般地,當自變量x無限趨近于常數 (但不等于 )時,0 x0 x如果函數)(xf無限趨近于一個常數, a就說當x趨近于0 x時,函數 的極限是)(xf, a記作,)(lim0axfxx 也可記作.)(0axfxx時時，當當)(lim0 xfxx也叫做函數)(xf在點0 xx 處的極限.(2)常用的函數的極限CCxx 0lim復習對于極限表達式 中的,)(lim0axfxx 0 xx ,應怎樣理解?應理解為x可以用任何方式無限趨近于0 x包括:從表示 的點的左邊無限趨近于0 x0 x從表示 的點的右邊無限趨近于0 x0 x從表示 的點的兩側交錯地無限趨近于0 x0 x不論,以哪種

2、方式趨近,只要0 xx 就有.)(axf下面討論函數的“單側極限,即自變量x只能從表示 的點的一側0 x無限趨近于 是函數 的極限.0 x)(xf考慮函數 . )0 ( 1),0 ( 0 ),0 ( 1)(時時當當時時當當時時當當xxxxxxfy1-1oxy當x從原點O的左側無限趨近于0時,函數)(xf無限趨近于1當x從原點O的右側無限趨近于0時,函數)(xf無限趨近于1由于x從不同方向無限趨近于0時,)(xf所無限趨近的值不同,所以,)(xf在x=0處無極限即.)(lim0不不存存在在xfxx下面討論函數的“單側極限,即自變量x只能從表示 的點的一側0 x無限趨近于 是函數 的極限.0 x)

3、(xf考慮函數 . )0 ( 1),0 ( 0 ),0 ( 1)(時時當當時時當當時時當當xxxxxxfy1-1oxy.)(lim0不不存存在在xfxx但是,如果限制x只能從原點O的某一側無限趨近于0,函數)(xf就會無限趨近于一個確定的常數.當x從原點O的左側無限趨近于0時,函數)(xf無限趨近于1例如:由此,我們得到單側極限的定義.一般地,如果當x從點 左側(即 )無限趨近于 時,0 xx 0 x函數)(xf無限趨近于常數, a就說 是函數0 x記作.)(lim0axfxx 0 xx a)(xf在點處的左極限,一般地,如果當x從點 右側(即 )無限趨近于 時,0 xx 函數)(xf無限趨近

4、于常數, a就說 是函數0 x記作.)(lim0axfxx a)(xf在點處的右極限,0 xx 0 x由函數在一點處的左、右極限定義可知,對于函數 . )0 ( 1),0 ( 0 ),0 ( 1)(時時當當時時當當時時當當xxxxxxfy, 1)(lim0 xfx. 1)(lim0 xfx根據函數在一點處的極限、左極限和右極限的定義,可以得出axfxx )(lim0.)(lim)(lim00axfxfxxxx 練習下列函數在點x=0處的左極限、右極限各是什么?其中哪些函數在點x=0處有極限. );0( 1)0( )()1(2時時當當，時時當當xxxxxf );0( x-)0( )()2(時時當

5、當，時時當當xxxxg ).0( 12)0( 12)()3(時時當當，時時當當xxxxxh0)(lim, 1)(lim00 xfxfxx0)(lim, 0)(lim, 0)(lim000 xgxgxgxxx1)(lim, 1)(lim00 xhxhxx2,2,21.5,1.5,1.5無,無,無,0,0,0-1,2,無0,無,無,練習求下列函數的極限64lim)1(222 xxxx212lim)2(22 xxxx分析:54)3()2(lim)2)(3()2)(2(lim)1(22 xxxxxxxx43)2(lim)12(lim212lim)2(22222 xxxxxxxxx假如 是分式函數,那么

6、)(xf)()(lim)(lim00 xhxgxfxxxx 假如, 0)()(00 xgxh則應先約去零因子0 xx ,再求極限假如, 0)(0 xh)()()(lim000 xhxgxfxx 則則假如，而而0)(, 0)(00 xgxh.)(lim0不存在不存在則則xfxx11lim)3(1 xxx(3)不存在P-84#2(6) 1 , 211 , 12)(),(lim)4(1xxxxxfxfx其中其中分析:3)12(lim)(lim11 xxfxx1)21(lim)(lim11 xxfxx)(lim)(lim11xfxfxx .)(lim1不不存存在在故故xfx.)(lim )(lim )

7、(lim )(lim)(lim ,)(lim )(lim)(lim )(000000000不不存存在在一一個個不不存存在在時時，則則中中至至少少有有與與，或或否否則則，當當時時，有有分分點點，則則當當是是分分段段函函數數，且且如如果果xfxfxfxfxfaxfaxfxfxxfxxxxxxxxxxxxxxxx .)(0 ,)0( )0( )( 的的極極限限時時，試試討討論論已已知知xfxxaxbaxxf .lim)(lim00aaxfxx .)(lim)(lim00bbaxxfxx ).()( 0 , baxfxba或或極極限限存存在在，為為時時，函函數數則則若若 .)( 0 , 極極限限不不存

8、存在在時時，函函數數則則若若xfxba 分析:. 3)(lim , 0)(lim)( .12212求求出出這這一一函函數數的的最最大大值值是是一一個個偶偶函函數數，且且設設函函數數 xfxfcbxaxxfxx. 1)(11)(1, 1 . 34)(lim)(lim . 0)(lim)(lim)(, 0),()()(222221122的最大值為的最大值為故函數故函數解得：解得：由由為偶函數，故為偶函數，故xfxxfcacacaxxfcacaxxfcaxxfbxfxfcbxaxxfxxxx 分析:)(lim )(lim )0( 0 )0( |)( .1300 xfxfxxxxxfxx 與與的的圖圖

9、象象，并并求求出出作作出出函函數數 )0(1)0(0)0(1)(時時時時時時xxxxf分析:1)1(lim)(lim00 xxxf1lim)(lim00 xxxf1.判斷下列各命題是否真命題,如果不是,指出錯在哪里.假假0,0,03,3,30,2,無1,1,1一般地,如果當x從點 左側(即 )無限趨近于 時,0 xx 0 x函數)(xf無限趨近于常數, a就說 是函數0 x記作.)(lim0axfxx 0 xx a)(xf在點處的左極限,一般地,如果當x從點 右側(即 )無限趨近于 時,0 xx 函數)(xf無限趨近于常數, a就說 是函數0 x記作.)(lim0axfxx a)(xf在點處的右極限,0 xx 0 x小結:axfxx )(lim0.)(lim)(lim00axfxfxxxx 假如 是分式函數,那么)(xf, 0)()(00 xgxh則應先約去零因子0 xx , 0)(0 xh)()()(lim000 xhxgxfxx 則則，而而0)(, 0)(00 xgxh.)(lim0不存在不存在則則xfxx,再求極限)()(lim)(lim00 xhxgxfxxxx 假如假如假如.)(lim )(lim )(lim )(lim)(lim ,)