數(shù)學物理方法-第三章

1、第三章、復數(shù)級數(shù)第三章、復數(shù)級數(shù)補充作業(yè)在后面補充作業(yè)在后面引言 我們在高等數(shù)學中學習級數(shù)時,已經(jīng)知道級數(shù)和數(shù)列有著密切的關(guān)系,在復數(shù)范圍內(nèi),級數(shù)和數(shù)列的關(guān)系與實數(shù)范圍內(nèi)的情況十分類似.我們即將看到,關(guān)于復數(shù)項級數(shù)和復變函數(shù)項級數(shù)的某些概念和定理都是實數(shù)范圍內(nèi)的相應內(nèi)容在復數(shù)范圍內(nèi)的直接推廣. 這一章的主要內(nèi)容是: 除了介紹關(guān)于復數(shù)項和復變函數(shù)項級數(shù)的一些基本概念與性質(zhì)以外,著重介紹復變函數(shù)項級數(shù)中的冪級數(shù)和由正負整次冪項所組成的Laurent級數(shù),并圍繞如何將解析函數(shù)展開為冪級數(shù)或洛朗級數(shù)這一中心內(nèi)容來進行.這兩類級數(shù)都是研究解析函數(shù)的重要工具,也為下一章留數(shù)的學習打下良好的基礎(chǔ).復數(shù)項級數(shù)

2、復數(shù)項級數(shù)定義定義：各項均為復數(shù)的無窮級數(shù)稱為復復( (數(shù)項數(shù)項) )級數(shù)級數(shù).0120kkkwwwww其中通項通項為：.kkkwuiv部分和部分和：無窮級數(shù)的前 n 項和稱為該級數(shù)的部分和部分和。0nnkkSw3-1 3-1 復數(shù)級數(shù)復數(shù)級數(shù)復數(shù)級數(shù)及其收斂判據(jù)復數(shù)級數(shù)及其收斂判據(jù)總結(jié)總結(jié)因為部分和可以表示為：00,nnnkkkkSuiv 故復數(shù)項級數(shù)的收斂性可歸結(jié)為兩個實數(shù)項級數(shù)的收斂性問題(復變函數(shù)極限的基本定理)；因而實數(shù)項級數(shù)的許多性質(zhì)可以直接用于復數(shù)項級數(shù)。復數(shù)級數(shù)收斂判據(jù)復數(shù)級數(shù)收斂判據(jù)幾個重要結(jié)論級數(shù)收斂判別方法級數(shù)收斂判別方法為與n無關(guān)的常數(shù)用比較判別法判斷注意調(diào)和級數(shù)注意調(diào)

3、和級數(shù)3-2 3-2 冪冪 級級 數(shù)數(shù)z0,a0,a1,a2.都是復常數(shù)都是復常數(shù).冪級數(shù)收斂定理冪級數(shù)收斂定理畫圖說明證明：證明：AbelAbel第一定理第一定理 (同學們自己看)務(wù)必掌握1limkkkaRa1limkkkRa收斂半徑的求法：收斂半徑的求法：證明：比值法證明：比值法同學們自己看同學們自己看例：冪級數(shù)收斂范圍例：冪級數(shù)收斂范圍補充用比值法或者根值法求冪級數(shù)的收斂半徑31313311()11111,nnnnnnnznananznnnn并討論在收斂圓周上的情形)解:因為limlim所以收斂半徑R=1,也就是原級數(shù)在圓z內(nèi)收斂,圓外發(fā)散.在圓周z上 級數(shù)是收斂的.所以原級數(shù)在收斂圓上

4、是處處收斂的.10(1)(0,1)(cos)nnnnzznin z并討論時的情形同學們自己做重點復變冪級數(shù)的四則運算復變冪級數(shù)的四則運算同學們應注意這一點復變冪級數(shù)復合運算、性質(zhì)復變冪級數(shù)復合運算、性質(zhì)022231:(),1:1111.()()11,11()()111111()()()()(kkzzabzbzbzazbzabababazabazazazazababababazazazbbababa kk=0例把函數(shù)寫出形如a的冪級數(shù) 其中 與 是不相等的復常數(shù).解:把函數(shù)寫成如下的形式當時由等比級數(shù)可得從而得到1()kkzaba總結(jié):首先要把函數(shù)做代數(shù)變形,使其分母中出現(xiàn)量z-a,因為我們要展

5、成z-a的冪級數(shù),再把它按照展開式為已知的函數(shù)11z的形式寫成11,( ),( ).1( )1zag zzg zg zbaz其中然后把展開式中的 換成2222/120110001:( )1,(2)1111( ).1(2)3(1)9(1)311()( 1)( 1)(1)1( 1)(1)( 1) (1)11( )( 1) (1)()( 193nnnnnnnnnnnnnnnf zzzf zzzzznzzznznzzf zn 例 把展開為的冪級數(shù) 并指出它的收斂半徑解:而所以201)(1) ,311,133nnnnnzzz即201:11nnzzzz 注3-3 Taylor3-3 Taylor級數(shù)級數(shù)

6、上一節(jié)我們看到,復變冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓的內(nèi)部是一個解析函數(shù).那么其逆是否為真呢?即任何一個解析函數(shù)是否能用冪級數(shù)來表達.因此有下面的Taylor定理,即把一個解析函數(shù)展開為Taylor冪級數(shù). 高階導數(shù)公式0zzRTaylorTaylor展開的唯一性展開的唯一性幾個重要的Taylor級數(shù)201212240212135020111, !2!( 1)11( 1)cos1, (2 )!2!4!(2 )!( 1)11( 1)sin, (21)!3!5!(21)!11, 11nznnnnnnnnnnnnnnnzezzzznnzzzzzznnzzzzzzznnzzzzzz 總結(jié)幾種常用初等函數(shù)的泰勒

7、展開式總結(jié)幾種常用初等函數(shù)的泰勒展開式注：間接展開法最常用。也可利用柯西乘積求得補充例題3-5 Laurent3-5 Laurent級數(shù)級數(shù)圖示見課本(6)單值解析函數(shù)沿閉合曲線的積分值與包圍奇點的圍到形狀無關(guān)（只有一個奇點時）注意注意 在實際應用中,常會遇到在某點z0不解析,但在z0的去心鄰域內(nèi)解析的函數(shù)f(z),可將f(z)在圓環(huán)域內(nèi)展開為洛朗級數(shù).00zzLaurentLaurent展開的唯一性展開的唯一性Laurent Laurent 展開的方法展開的方法10011111.(1)1nnnnnnzzzz zzzz 22200211111.( )1(1)1nnnnnnzzz zzzzz 1

8、z 當時，1z 當0時，112z12222222000221111111.()()11(1)nnnnnnnnzzzzzzzz（1）（2）解：1z 當時，例題有感:同一函數(shù)在不同的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式可能不同,這與洛朗展開式的唯一性不要混淆.函數(shù)的洛朗級數(shù)展開式對同一圓環(huán)域而言是唯一的,而在不同的圓環(huán)域內(nèi)的展開式是不同的.關(guān)于洛朗級數(shù)展開的說明補充例題補充例題00352101( )()sin22!( 1)3!5!(21)!izizkkkkkkkeeizizziikkzzzzk00352101( )()sin22!( 1)3!5!(21)!izizkkkkkkkeeizizziikkzzzzk13

9、1323313323( )0.:( )012!3!110,.1111(1)2!3!zznznf zz ezf zz ezzzzznzzzzz ezzzzn z z把函數(shù)在內(nèi)展開為洛朗級數(shù)解 函數(shù)在內(nèi)是處處解析的,又因為e而在內(nèi)解析,所以把上式中的z換成兩邊同乘以即得所求的洛朗展開式例題具體見課本總結(jié)利用洛朗級數(shù)求積分的步驟 利用洛朗級數(shù)求積分,首先先找一個積分的圓環(huán),使函數(shù)在圓環(huán)內(nèi)解析，并且使積分圍道在圓環(huán)內(nèi)部。然后把函數(shù)在圓環(huán)內(nèi)進行洛朗展開,則洛朗展開系數(shù)b-1乘以2i 即為所求的積分.補充例題(不講)321(1)(4)1:( )4,3(1)(4),( )i.1111( )(1)(4)144

10、3(1)12(4)111143 (1)48(1)41111(1433484zdzz zzf zzzz zzf zABCf zz zzzzzzzzzzzzzzzz-1解 函數(shù)在圓環(huán)域1內(nèi)解析 且在次圓環(huán)域內(nèi) 所以在此圓環(huán)域內(nèi)洛朗展開式的系數(shù)b 乘以2即為所求的積分213)1611111,2.()4312(1)(4)126zzibdziz zz 由此可見即同學們自己看，此題與我們的例題相似 留數(shù)理論是復變函數(shù)的積分與級數(shù)相結(jié)合的產(chǎn)物，是復變函數(shù)的重要組成部分，留數(shù)的理論與方法在復變函數(shù)中占有重要的地位，也是解決有關(guān)實際問題的有力工具。在物理光學，統(tǒng)計物理，量子力學，固體物理乃至量子場論中有著極其廣

11、泛的應用。引言關(guān)于函數(shù)的奇點及其在孤立奇點鄰域內(nèi)性質(zhì)的研究對于許多問題的求解有著重要意義。 這一章先根據(jù)Lanrent級數(shù)將奇點分類,在此基礎(chǔ)上研究留數(shù)理論,然后應用留數(shù)理論計算積分。 3-5單值函數(shù)的孤立奇點3524sin11111()13!5!3!5!zzzzzzzz 232111111(1)12!3!2!3!zezzzzzzzz 1123111112!(1)3!(1)zezzz 00lim( )zzf za孤立奇點z0為可去奇點的充要條件是函數(shù)f(z)在z0的鄰域內(nèi)有界,即 可去奇點是可以除去的，事實上，不論f(z)原來在z0是否有定義，如果令f(z0)=a0 ,則在圓域內(nèi)，總有f(z)=a0+a1(z-z0)+a2(z-z0)2+,因此f(z)就成了在圓域內(nèi)收斂的冪級數(shù)的和函數(shù)，因此它在該圓域內(nèi)解析，當然在z0處也解析，所以z0為可去奇點。極點的階數(shù)的判斷方法也可以用sinz的展開式來判斷補充例題見教案222211( )(1)() ()f zz zz zizi判斷奇點類型：判斷奇點類型：0z 是一階極點z=i是二階極點注意字的寫法！(10) 無窮遠點與有限遠點分類總結(jié) 與有限區(qū)域中的三類孤立奇點的定義相比較，按極限性質(zhì)的分類方法是相同的，按洛朗展開性質(zhì)的分類方法也只是將展開式中的負冪項改為正冪項，這正是無窮