上海市2016-2017學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試卷(含解析)

1、2016學(xué)年第二學(xué)期高二數(shù)學(xué)期末考試一、填空題(本大題滿分54分)本大題共有12題，其中第1題至第6題每小題4分，第7題至第12題每小題5分，考生應(yīng)在答題紙上相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，否則一律得零分1. 的展開式中項的系數(shù)為_【答案】【解析】的展開式的通項公式為，令，求得，可得展開式中項的系數(shù)為，故答案為10.2. 已知直線經(jīng)過點且方向向量為，則原點到直線的距離為_.【答案】1【解析】直線的方向向量為，所以直線的斜率為，直線方程為，由點到直線的距離可知，故答案為1.3. 已知全集，集合, 若，則實數(shù)的值為_.【答案】2【解析】試題分析：由題意，則，由得，解得考點：集合的運算4. 若變量滿足

2、約束條件 則的最小值為_.【答案】【解析】由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得，化目標(biāo)函數(shù)，得，由圖可知，當(dāng)直線過點時，直線在y軸上的截距最小，有最小值為，故答案為.點睛：本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.5. 直線上與點的距離等于的點的坐標(biāo)是_.【答案】或.【解析】解：因為直線上與點的距離等于的點的坐標(biāo)是和6. 某學(xué)生在上學(xué)的路

3、上要經(jīng)過2個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，則這名學(xué)生在上學(xué)路上到第二個路口時第一次遇到紅燈的概率是_.【答案】【解析】設(shè)“這名學(xué)生在上學(xué)路上到第二個路口首次遇到紅燈”為事件，則所求概率為，故答案為.7. 某學(xué)校隨機(jī)抽取名學(xué)生調(diào)查其上學(xué)所需時間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中，上學(xué)所需時間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，則該校學(xué)生上學(xué)所需時間的均值估計為_（精確到分鐘）.【答案】34.點睛：本題考查頻率分布直方圖，解題的關(guān)鍵是理解直方圖中各個小矩形的面積的意義及各個小矩形的面積和為1，本題考查了識圖的能力；根據(jù)直方圖求平均值的公式，各個小

4、矩形的面積乘以相應(yīng)組距的中點的值，將它們相加即可得到平均值.8. 一個口袋內(nèi)有4個不同的紅球，6個不同的白球，若取一個紅球記2分，取一個白球記1分，從中任取5個球，使總分不少于7分的取法有多少種_.【答案】186【解析】試題分析：設(shè)取紅球個，白球個，則考點：古典概型.9. 如圖，三棱錐滿足：，則該三棱錐的體積V的取值范圍是_【答案】【解析】由于 平面， ，在 中，要使 面積最大，只需，的最大值為，的最大值為，該三棱錐的體積V的取值范圍是.10. 是雙曲線的右支上一點，分別是圓和上的點，則的最大值等于_.【答案】9【解析】試題分析：兩個圓心正好是雙曲線的焦點，再根據(jù)雙曲線的定義得的最大值為.考點

5、：雙曲線的定義，距離的最值問題.11. 棱長為1的正方體及其內(nèi)部一動點，集合,則集合構(gòu)成的幾何體表面積為_.【答案】【解析】試題分析：.考點：幾何體的表面積.12. 在直角坐標(biāo)平面中，已知兩定點與位于動直線的同側(cè)，設(shè)集合點與點到直線的距離之差等于，記,.則由中的所有點所組成的圖形的面積是_.【答案】【解析】過與分別作直線的垂線，垂足分別為，則由題意值，即，三角形為正三角形，邊長為，正三角形的高為，且，集合對應(yīng)的軌跡為線段的上方部分，對應(yīng)的區(qū)域為半徑為1的單位圓內(nèi)部，根據(jù)的定義可知，中的所有點所組成的圖形為圖形陰影部分陰影部分的面積為，故答案為.二、選擇題(本大題滿分20分)本大題共有4題，每題

6、只有一個正確答案.考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分 13. 已知為實數(shù)，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的虛部為（ ）A. 2 B. 0 C. -2 D. -2【答案】C【解析】復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，化為，解得，的虛部為，故選C.14. 已知條件：“直線在兩條坐標(biāo)軸上的截距相等”，條件：“直線的斜率等于”，則是的 （ ）A. 充分非必要條件 B. 必要非充分條件 C. 充要條件 D. 既非充分又非必要條件【答案】B【解析】當(dāng)直線過原點時，直線在兩條坐標(biāo)軸上的截距相等，斜率可以為任意數(shù)，故不成立；當(dāng)直線的斜率等于，可設(shè)直線方程為，故其在兩坐標(biāo)軸上的截距均為，故可得成立，則

7、是的必要非充分條件，故選B.15. 如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，已知直三棱柱的頂點在軸上，平行于軸，側(cè)棱平行于軸當(dāng)頂點在軸正半軸上運動時，以下關(guān)于此直三棱柱三視圖的表述正確的是 （ ）A. 該三棱柱主視圖的投影不發(fā)生變化；B. 該三棱柱左視圖的投影不發(fā)生變化；C. 該三棱柱俯視圖的投影不發(fā)生變化；D. 該三棱柱三個視圖的投影都不發(fā)生變化【答案】B【解析】A、該三棱柱主視圖的長度是或者在軸上的投影，隨點得運動發(fā)生變化，故錯誤；B、設(shè)是z軸上一點，且，則該三棱柱左視圖就是矩形，圖形不變故正確；C、該三棱柱俯視圖就是，隨點得運動發(fā)生變化，故錯誤D、與 矛盾故錯誤；故選B.點睛：本題考查幾何體的三視圖，

8、借助于空間直角坐標(biāo)系本題是一個比較好的題目，考查的知識點比較全，但是又是最基礎(chǔ)的知識點；從正面看到的圖叫做主視圖，從左面看到的圖叫做左視圖，從上面看到的圖叫做俯視圖，根據(jù)圖中C點對三棱柱的結(jié)構(gòu)影響進(jìn)一步判斷.16. 如圖，兩個橢圓，內(nèi)部重疊區(qū)域的邊界記為曲線，是曲線上任意一點，給出下列三個判斷：到、四點的距離之和為定值；曲線關(guān)于直線、均對稱；曲線所圍區(qū)域面積必小于上述判斷中正確命題的個數(shù)為（ ）A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個【答案】C【解析】對于，若點在橢圓上，到、兩點的距離之和為定值、到、兩點的距離之和不為定值，故錯；對于，兩個橢圓，關(guān)于直線、均對稱，曲線關(guān)于直線、均對稱，故

9、正確；對于，曲線所圍區(qū)域在邊長為6的正方形內(nèi)部，所以面積必小于36，故正確；故選C.三、解答題(本大題滿分76分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟17. 已知復(fù)數(shù)滿足，（其中是虛數(shù)單位），若，求的取值范圍【答案】或【解析】試題分析：化簡復(fù)數(shù)為分式的形式，利用復(fù)數(shù)同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡為的形式即可得到，根據(jù)模長之間的關(guān)系，得到關(guān)于的不等式，解出的范圍.試題解析：， 即，解得或18. 如圖，直四棱柱底面直角梯形，是棱上一點，.（1）求異面直線與所成的角；（2）求證：平面.【答案】（1）（2）見解析【解析】試題分析：（1）本題中由于有兩兩垂直，因此在求異面

10、直線所成角時，可以通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角求出所求角；（2）同（1）我們可以用向量法證明線線垂直，以證明線面垂直，易得當(dāng)然我們也可直線用幾何法證明線面垂直，首先，這由已知可直接得到，而證明可在直角梯形通過計算利用勾股定理證明，因此，得證.（1）以原點，、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，. 3分于是,異面直線與所成的角的大小等于. 6分（2）過作交于，在中，則， ，10分，.又， 平面. 12分考點：（1）異面直線所成的角；（2）線面垂直.19. 如圖，圓錐的頂點為，底面圓心為，線段和線段都是底面圓的直徑，且直線與直線的夾角為，已知，（1）求該圓錐的體積；（2）求證：直線平

11、行于平面，并求直線到平面的距離【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）利用圓錐的體積公式求該圓錐的體積；（2）由對稱性得，即可證明直線平行于平面，到平面的距離即直線到平面的距離，由，求出直線到平面的距離.試題解析：（1）設(shè)圓錐的高為，底面半徑為，則，圓錐的體積；（2）證明：由對稱性得，不在平面，平面，平面，C到平面的距離即直線到平面的距離，設(shè)到平面的距離為，則由，得，可得，直線到平面的距離為20. 閱讀：已知，求的最小值.解法如下：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取到等號，則的最小值為.應(yīng)用上述解法，求解下列問題：（1）已知，求的最小值；（2）已知，求函數(shù)的最小值；（3）已知正數(shù)，求證：.【答案】（1）9

12、（2）18（3）見解析【解析】試題分析：本題關(guān)鍵是閱讀給定的材料，弄懂弄清給定材料提供的方法（“1”的代換），并加以運用.主要就是，展開后就可應(yīng)用基本不等式求得最值.（1）；（2）雖然沒有已知的“1”，但觀察求值式子的分母，可以湊配出“1”：，因此有，展開后即可應(yīng)用基本不等式；（3）觀察求證式的分母，結(jié)合已知有 ，因此有此式中關(guān)鍵是湊配出基本不等式所需要的兩項，如與合并相加利用基本不等式有 ，從而最終得出.（1）， 2分而，當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號，則，即的最小值為. 5分（2）， 7分而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取到等號，則，所以函數(shù)的最小值為. 10分（3） 當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號，則. 16分考點：閱讀材料

13、問題，“1”的代換，基本不等式.21. 設(shè)橢圓的長半軸長為、短半軸長為，橢圓的長半軸長為、短半軸長為，若，則我們稱橢圓與橢圓是相似橢圓已知橢圓，其左頂點為、右頂點為（1）設(shè)橢圓與橢圓是“相似橢圓”，求常數(shù)的值；（2）設(shè)橢圓，過作斜率為的直線與橢圓僅有一個公共點，過橢圓的上頂點為作斜率為的直線與橢圓僅有一個公共點，當(dāng)為何值時取得最小值，并求其最小值；（3）已知橢圓與橢圓是相似橢圓橢圓上異于的任意一點，求證：的垂心在橢圓上【答案】（1）或；（2）當(dāng)時，取得最小值（3）見解析【解析】試題分析：（1）運用“相似橢圓”的定義，列出等式，解方程可得s；（2）求得 的坐標(biāo)，可得直線與直線的方程，代入橢圓的方程，運用判別式為 ，求得，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得橢圓的方程，設(shè)出橢圓上的任意一點，代入橢圓的方程；設(shè)的垂心的