第一章-1.2類(lèi)比推理

1、1.2類(lèi)比推理戸預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) I挑戰(zhàn)自我，點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 通過(guò)具體實(shí)例理解類(lèi)比推理的意義.2. 會(huì)用類(lèi)比推理對(duì)具體問(wèn)題作出推斷.知識(shí)類(lèi)比推理的結(jié)論能作為定理應(yīng)用嗎？答 不能.因?yàn)轭?lèi)比推理的結(jié)論不一定正確，只有經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的邏輯證明，說(shuō)明其正確性，才能進(jìn)一步應(yīng)用.預(yù)習(xí)導(dǎo)引1. 類(lèi)比推理類(lèi)比推理的含義由于兩類(lèi)不同對(duì)象具有某些類(lèi)似的特征，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)一類(lèi)對(duì)象的其他特征推斷另一類(lèi)對(duì)象也具有類(lèi)似的其他特征,這種推理過(guò)程稱(chēng)為類(lèi)比推理.類(lèi)比推理是兩類(lèi)事物特征之間的推理類(lèi)比推理的特征類(lèi)比推理是從特殊到特殊的推理，簡(jiǎn)稱(chēng)類(lèi)比.(3) 結(jié)論真假：利用類(lèi)比推理得出的結(jié)論不一定是正確的.(4) 思維過(guò)程流程圖：觀察.

2、比較聯(lián)想、類(lèi)推猜想新的結(jié)論2. 合情推理合情推理的含義根據(jù)實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果、個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)、已有的事實(shí)和正確的結(jié)論(定義、 公理、定理等)，推測(cè)出某些結(jié)果的推理方式.歸納推理和類(lèi)比推理是最常見(jiàn)的合情推理.(2)思維過(guò)程流程圖從具體問(wèn)題出閔一|觀察、分析、比較、聯(lián)想一|歸納、類(lèi)比|一|提出猜想3. 演繹推理根據(jù)已知的事實(shí)和正確的結(jié)論,按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過(guò)程.歹課堂講義 i垂點(diǎn)難點(diǎn)，個(gè)個(gè)擊破要點(diǎn)一平面圖形與空間圖形的類(lèi)比例1三角形與四面體有下列相似性質(zhì)：(1) 三角形是平面內(nèi)由直線段圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形；四面體是空間中由三角 形圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形.(2) 三角形可以看作是由

3、一條線段所在直線外一點(diǎn)與這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的連線 所圍成的圖形；四面體可以看作是由三角形所在平面外一點(diǎn)與這個(gè)三角形三個(gè)頂 點(diǎn)的連線所圍成的圖形.通過(guò)類(lèi)比推理，根據(jù)三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)填寫(xiě)下表：三角形四面體三角形的兩邊之和大于第三邊三角形的中位線的長(zhǎng)等干第三邊長(zhǎng)的一半，且平行于第三邊三角形的三條內(nèi)角平分線交干一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓的圓心解三角形四面體三角形的兩邊之和大于第三邊四面體任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積三角形的中位線的長(zhǎng)等于第三邊長(zhǎng)的一半，且平行于第三邊四面體的中截面(以任意三條棱的中點(diǎn) 為頂點(diǎn)的三角形)的面積等于第四個(gè)面1的面積的？且平行于第四個(gè)面三角形的三條

4、內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓的圓心四面體的六個(gè)二面角的平分面交于一 點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是四面體內(nèi)切球的球心規(guī)律方法 將平面幾何中的三角形、長(zhǎng)方形、圓、面積等和立體幾何中的三棱錐、 長(zhǎng)方體、球、體積等進(jìn)行類(lèi)比，是解決和處理立體幾何問(wèn)題的重要方法.跟蹤演練1類(lèi)比平面內(nèi)正三角形的"三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推出 正四面體的下列哪些性質(zhì)，你認(rèn)為比較怕當(dāng)?shù)氖?)各棱長(zhǎng)相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等；各個(gè)面都是全等的正三 角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等；各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂 點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等.A. B.C.D.答案C解析由兩類(lèi)對(duì)象具有某些類(lèi)似特征和

5、其中一類(lèi)對(duì)象的某些已知特征，推出另一 類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理，叫類(lèi)比推理，上述三個(gè)結(jié)論均符合推理結(jié)論，故 均正確.要點(diǎn)二解題方法的類(lèi)比例2已知以下過(guò)程可以求1+2 + 3+-+/2的和.因?yàn)?n+ I)2-l2 = 2Xl + l,有(12+ 1) 1 2(1 + 2 + l2)+Z2, Z22 = 2l2+ 1 ,n2 (n l)2=2(n 1)+ 1,所以l+2 + 3 + + n= 類(lèi)比以上過(guò)程求l2 + 22 + 32+- + n2的和.解 因?yàn)?n+ I)3 n3 = 3n2 + 3n+ 1,n3-(n-1)3 = 3(12 l)2 + 3(n- 1)+1, 23-l3 = 3X

6、l2 + 3Xl + l,有(12+ l)3 1 = 3(12 + 2，+122) + 3(1 + 2 + 3 + z2)+/2,1'3n2 + 5£所以 l2 + 22 + + n2=- n3 + 3/r + 3n-6 2 )2n3 + 3n2 + /2 n(n+ l)(2n+ 1)= 6 = 6 '規(guī)律方法 典型的數(shù)學(xué)方法往往可以解決一類(lèi)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)、反思、舉一 反三的習(xí)慣，可以提高學(xué)生的知識(shí)遷移能力和靈活應(yīng)用知識(shí)的能力.而解決問(wèn)題 需要我們展開(kāi)豐富的聯(lián)想，利用舊的知識(shí)幫助尋找思路或者將原問(wèn)題降低難度, 先解決較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，再類(lèi)比到復(fù)雜問(wèn)題，常?？蛇_(dá)到柳暗花

7、明的成效.利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法,可求得4-5)+4-4) +40) +-+45)+46)的值是.答案3邁解析 本題要求類(lèi)比課本中等差數(shù)列的求和方法，即"倒序相加法” 令 =4-5)+ 4-4) +40)4- +45) + 46),則£=46) +彳5) +彳0) + 4 4) +彳一5), 兩式相加，類(lèi)似于等差數(shù)列的情形，易得=3©要點(diǎn)三等差數(shù)列與等比數(shù)列的類(lèi)比例3在等差數(shù)列迤中，若刊0 = 0,則有等式角+耳2+/?19_Jn<19, nN+)成立.類(lèi)比上述性質(zhì)，相應(yīng)的，在等比數(shù)列»中，若3=1,則有什么樣的等式成立？解 在等

8、差數(shù)列冷中，由角0 = 0,得角+角9 =迤+兔3=為+慫0-21=弘+1所以刊+迤為耳19 = 0,又色=Rg,迤=rlis弘+1,即角+迤為=一日的一色3角 + 恐 + + 怎=刊 + 迤 + + 刊9_小相應(yīng)的，在等比數(shù)列加中，若a=i,則可得b4 bn = b'bybx_17, nN+)規(guī)律方法1.在高中階段類(lèi)比方向主要集中在等差數(shù)列與等比數(shù)列，平面幾何與 立體幾何，平面向量與空間向量三個(gè)方面2.在等差數(shù)列與等比數(shù)列的類(lèi)比中， 等差數(shù)列中的和類(lèi)比等比數(shù)列中的積，差類(lèi)比商，積類(lèi)比幕.如通項(xiàng)公式：每=刊+ (力一1)4/=® 跟蹤演練3設(shè)等差數(shù)列弘啲前力項(xiàng)和為則S. SG

9、-S4, Sa Ss S1G- S】2成等差數(shù)列.類(lèi)比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列力的前力項(xiàng)積為,則 , , £成等比數(shù)列.答案解析 等差數(shù)列類(lèi)比于等比數(shù)列時(shí)，和類(lèi)比干積，減法類(lèi)比于除法，可得類(lèi)比結(jié)論為：設(shè)等比數(shù)列3/的前戸項(xiàng)積為九則知Tz T12 % 壬，土，疔成等比數(shù)列.F當(dāng)堂檢測(cè)當(dāng)堂訓(xùn)練，體駿成功1. 下列平面圖形中可作為空間平行六面體類(lèi)比對(duì)象的是()A.三角形B.梯形C.平行四邊形D.矩形答案C2. 下面幾種推理是類(lèi)比推理的是（）A. 因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和是180° X（3-2）,四邊形的內(nèi)角和是180° X（4-2）,，所以力邊形的內(nèi)角和是180° X

10、（n-2）B. 由平面三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四面體的性質(zhì)C. 某校高二年級(jí)有20個(gè)班，1班有51位團(tuán)員，2班有53位團(tuán)員，3班有52位團(tuán)員，由此可以推測(cè)各班都超過(guò)50位團(tuán)員D. 4能被2整除，6能被2整除，8能被2整除，所以偶數(shù)能被2整除答案E3. 已知必）是拋物線聲=2閃卩0）上的一點(diǎn)，過(guò)尸點(diǎn)的切線方程的斜率可通過(guò)如下方式求得：在； = 2px兩邊同時(shí)對(duì)衣求導(dǎo)，得2刃 =2p,則"所以過(guò)尸的切線的斜率k£.類(lèi)比上述方法求出雙曲線女一彳=1在H邁, yyo厶邁）處的切線方程為答案2x_y-車(chē)=0解析 將雙曲線方程化為護(hù)=2（疋一1）,類(lèi)比上述方法兩邊同時(shí)對(duì)衣求導(dǎo)得2妙

11、9;由于H迄，匹），故切線2x20.=4/則”,即過(guò)尸的切線的斜率k= yyo因此切線方程為y匹=2（衣一、但），整理得2x_y、但=4. 對(duì)于平面幾何中的命題“夾在兩平行線之間的平行線段相等”，在立體幾何中，類(lèi)比上述命題可以得到命題答案 夾在兩平行平面間的平行線段相等課堂小結(jié)類(lèi)比推理的特點(diǎn)(1) 類(lèi)比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征，推測(cè)正在被研究中的事物的特 征，所以類(lèi)比推理的結(jié)果具有猜測(cè)性，不一定可靠.(2) 類(lèi)比推理以舊的知識(shí)作基礎(chǔ)，推測(cè)新的結(jié)果，具有發(fā)現(xiàn)的功能，類(lèi)比在數(shù)學(xué) 發(fā)現(xiàn)中具有重要作用，但必須明確，類(lèi)比并不等干論證.(3) 由于類(lèi)比推理的前提是兩類(lèi)對(duì)象之間具有某些可以清楚定義

12、的類(lèi)似特征，所 以進(jìn)行類(lèi)比推理的關(guān)鍵是明確地指出兩類(lèi)對(duì)象在某些方面的類(lèi)似特征.尹分層訓(xùn)練 J解疑糾偏，訓(xùn)練檢測(cè)一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1. 對(duì)命題"正三角形的內(nèi)切圓切于三邊中點(diǎn)”可類(lèi)比猜想：正四面體的內(nèi)切球 切干四面體各正三角形的()A. 一條中線上的點(diǎn)，但不是中心E一條垂線上的點(diǎn)，但不是垂心C一條角平分線上的點(diǎn)，但不是內(nèi)心D.中心答案D解析由正四面體的內(nèi)切球可知，內(nèi)切球切干四個(gè)側(cè)面的中心.底X高2. 已知扇形的弧長(zhǎng)為厶半徑為巧類(lèi)比三角形的面積公式S=,可推知 扇形面積公式S扇等于()t lrA. B - C D.不可類(lèi)比答案C1解析 我們將扇形的弧類(lèi)比為三角形的底邊，則高為扇形的半徑r, ：.

13、S=lr.3. (2013 -XX模擬)已知Q0,由不等式43 x x 4a+7>3A /- - 7=3,，我們可以得出推廣結(jié)論：x+->22+l(nEN+),則日=()A. 2n B. n2 C 3/2 D. n21 答案D解析再續(xù)寫(xiě)一個(gè)不等式:33 x x x 334 lx x x 33X+7=3 + 3 + 3+7>4 3*3-3*7=4>由此可得a=nn.4. 設(shè)力占。的三邊長(zhǎng)分別為念b、c, 力EC的面積為S,內(nèi)切圓半徑為巧2 S則匚b+R類(lèi)比這個(gè)結(jié)論可知：四面體S_ABC的四個(gè)面的面積分別為轎S" S3、s4,內(nèi)切球半徑為巧四面體S-ABC的體積為

14、K則c()VA'SS2+S3+S42VR Si + E+Ss+q3KC-s1+s2+s3+s44VD，S1 + aS2+S3+S4答案C31/&S1 + 5+&+目解析 設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O,則球心O到四個(gè)面的距離都是尺，所以 四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn)，分別以四個(gè)面為底面的4個(gè)三棱錐體積的和.則 四面體的體積為V四面_B8=£(S】 + S2+S3+S4)&角+迪+ Hr5. 若數(shù)列冷匕皿）是等差數(shù)列，則數(shù)列b=也為等差數(shù)列,n類(lèi)比上述性質(zhì)，若數(shù)列&是等比數(shù)列，且O（nN+），則有也是等比數(shù)列.答案利CQC3nl”（ ”一 1）和一1解

15、析勺&嚴(yán)m(xù) Vcf q - =g 2 ，是等比數(shù)列6. 平面內(nèi)正三角形有很多性質(zhì)，如三條邊相等.類(lèi)似地寫(xiě)出空間正四面體的兩條性質(zhì)：;.答案三個(gè)側(cè)面與底面構(gòu)成的二面角相等四個(gè)面都全等（答案不唯一）7. 就任一等差數(shù)列迤,計(jì)算角+角0和&+冋，曰1。+辿。和耳20+兔0,你發(fā)現(xiàn) 了什么一般規(guī)律？能把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律作一般化的推廣嗎？從等差數(shù)列和函數(shù)之 間的聯(lián)系角度分析這個(gè)問(wèn)題.在等比數(shù)列中會(huì)有怎樣的類(lèi)似的結(jié)論？解設(shè)等差數(shù)列為的公差為，則為=殆 +（221）,fflj 日7 = *1 + Gd, + 9 d, Kjj + 7 d, + Qd.所以日7+ 壯0 = 2/?+ 1 5，+ r

16、ig 2 H- 1 5 dy 可得 7+ 耳10=心;+ 超）.同理角o +曰40=20+月30由此猜想，任一等差數(shù)列迤,若山，22, p, gN+且山+a=p+q,則有冷=冃+色成類(lèi)比等差數(shù)列，可得等比數(shù)列%的性質(zhì)：若山，n, p, qEN+JSL in+n=p+qf則有撿怎=冃, 成立.二、能力提升18. 三角形的面積為S=3余+b+d廠，念b、c為三角形的邊長(zhǎng)，廠為三角形內(nèi) 切圓的半徑，利用類(lèi)比推理可以得出四面體的體積為()1A. V=abc1B. V=Sh31CV=-(SS2+S3-S4)rf、$、S3、S4為四個(gè)面的面積，廠為內(nèi)切球的半徑)1D. V=(ab+bc+acjhf (h

17、為四面體的高)答案C解析力EC的內(nèi)心為O,連結(jié)Q4、OB、OC,將力3C分割為三個(gè)小三角形， 這三個(gè)小三角形的高都是巧底邊長(zhǎng)分別為念b、c;類(lèi)比：設(shè)四面體力-£仞 的內(nèi)切球球心為O,連結(jié)Q4、OB、OC、OD,將四面體分割為四個(gè)以O(shè)為頂1點(diǎn)，以原來(lái)面為底面的四面體，高都為巧所以有 PfSi + S+Ss+Sjz；9. 類(lèi)比“等差數(shù)列”的定義，寫(xiě)出“等和數(shù)列”的定義，并解答下列問(wèn)題：已知數(shù)列是等和數(shù)列，且刊=2,公和為5,那么刊s =,這個(gè)數(shù)列 的前12項(xiàng)和S.的計(jì)算公式為.51石石,R為奇數(shù)，答案3S“=v §力為偶數(shù)解析 定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與

18、它前一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.2,由上述定義，得冷=力為奇數(shù),力為偶數(shù),f5 12n2f 23為奇數(shù), 從而Sn=< 5尹力為偶數(shù).10. 已知結(jié)論：“在三邊長(zhǎng)都相等的加O中，若Q是EC的中點(diǎn)，G是'AG力EO外接圓的圓心，則 = 2".若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：在六條 CrJJ棱長(zhǎng)都相等的四面體ABCD中，若M是BCQ的三邊中線的交點(diǎn)，O為四面AO體力3仞外接球的球心，則莎= 答案3解析如圖，易知球心O在線段荻上，不妨設(shè)四面體ABCQ的棱長(zhǎng)為1,外接球的半徑為&則BM=2 X3- 3解得R亡.AO 4干是

19、'而二逅巫"3 _ 411觀察： tan 10° -tan 20° + tan 20° tan 60° + tan 60° - tan 10° =1,tan 5° tan 10° 4-tan 10c tan 75° +tan 75° tan 5C =1, 由以上兩式成立能得到一個(gè)從特殊到一般的推廣，此推廣是什么？并證明你的推 廣.解觀察得到 10° +20° +60° =90° , 10° +75° +5。=90° ,猜測(cè)推廣式子為：若a+0+)/=9O°，且a, 0,卩均不為Att+-, (kEZ)，則 tan otan y+tan tan y+ tan ytan a= 1.kn證明 由 a+尸r #tan(<7+y0) = tan乞2 J tan ytan a 4-tan 卩 tanM = l-tan man/.tan a+tan p = tan(a4-(1 tan otan p1(1 tan atan Q tan y/.tan otan /?+ta