電磁場與電磁波試題及答案

1、1. 麥克斯韋的物理意義：根據(jù)亥姆霍茲定理，矢量場的旋度和散度都表示矢量場的源。麥克斯韋方程表明了電磁場和 它們的源之間的全部關系：除了真實電流外，變化的電場（位移電流）也是磁場的源；除電荷外，變化的磁場也是電 場的源。1. 寫出非限定情況下麥克斯韋方程組的微分形式，并簡要說明其物理意義。2. 答非限定情況下麥克斯韋方程組的微分形式為、二J D八EB =0 D = -，（3分）（表明tt了電磁場和它們的源之間的全部關系除了真實電流外，變化的電場（位移電流）也是磁場的源；除電荷外，變化的磁 場也是電場的源。1. 簡述集總參數(shù)電路和分布參數(shù)電路的區(qū)別：2. 答：總參數(shù)電路和分布參數(shù)電路的區(qū)別主要有

2、二：（1）集總參數(shù)電路上傳輸?shù)男盘柕牟ㄩL遠大于傳輸線的幾何尺寸 ;而分布參數(shù)電路上傳輸?shù)男盘柕牟ㄩL和傳輸線的幾何尺寸可以比擬。（2）集總參數(shù)電路的傳輸線上各點電壓（或電 流）的大小與相位可近似認為相同，無分布參數(shù)效應；而分布參數(shù)電路的傳輸線上各點電壓（或電流）的大小與相位 均不相同，呈現(xiàn)出電路參數(shù)的分布效應。1. 寫出求解靜電場邊值問題常用的三類邊界條件。2. 答：實際邊值問題的邊界條件可以分為三類：第一類是整個邊界上的電位已知，稱為“狄利克萊”邊界條件；第二 類是已知邊界上的電位法向?qū)?shù)，稱為“諾依曼”邊界條件；第三類是一部分邊界上電位已知，而另一部分上的電位 法向?qū)?shù)已知，稱為混合邊界條件

3、。1. 簡述色散效應和趨膚效應。2. 答：在導電媒質(zhì)中，電磁波的傳播速度（相速）隨頻率改變的現(xiàn)象，稱為色散效應。在良導體中電磁波只存在于導 體表面的現(xiàn)象稱為趨膚效應。1. 在無界的理想媒質(zhì)中傳播的均勻平面波有何特性？在導電媒質(zhì)中傳播的均勻平面波有何特性？2. 在無界的理想媒質(zhì)中傳播的均勻平面波的特點如下：電場、磁場的振幅不隨傳播距離增加而衰減，幅度相差一個實 數(shù)因子n （理想媒質(zhì)的本征阻抗）；時間相位相同；在空間相互垂直，與傳播方向呈右手螺旋關系，為TE波。在導電媒質(zhì)中傳播的均勻平面波的特點如下：電磁場的振幅隨傳播距離增加而呈指數(shù)規(guī)律衰減；電、磁場不同相，電 場相位超前于磁場相位；在空間相互垂

4、直，與傳播方向呈右手螺旋關系，為色散的TE啵。1. 寫出時變電磁場在1為理想導體與2為理想介質(zhì)分界面時的邊界條件。2. 時變場的一般邊界條件D2n 、E2t =0、=Js、畛 0。（或矢量式比D2、n E2=0、n H 2 = Js、髓B2 = 0）1. 寫出矢量位、動態(tài)矢量位與動態(tài)標量位的表達式,并簡要說明庫侖規(guī)范與洛侖茲規(guī)范的意義。2. 答矢量位B二炒A八=0 ；動態(tài)矢量位E =或E 。庫侖規(guī)范與洛侖茲規(guī)范的作用都trt是限制A的散度，從而使A的取值具有唯一性；庫侖規(guī)范用在靜態(tài)場，洛侖茲規(guī)范用在時變場。1. 簡述穿過閉合曲面的通量及其物理定義2. ，口 A dS 是矢量A穿過閉合曲面S的通

5、量或發(fā)散量。若0，流出S面的通量大于流入的通量，即通S量由S面內(nèi)向外擴散，說明S面內(nèi)有正源若0,則流入S面的通量大于流出的通量，即通量向S面內(nèi)匯集，說明S面內(nèi) 有負源。若=0,則流入S面勺通量等于流出的通量，說明S面內(nèi)無源。1. 證明位置矢量r =ex eyy ezz的散度，并由此說明矢量場的散度與坐標的選擇無關。2. 證明在直角坐標系里計算 I ,則有+彳c +耳+ ey +ez f去+暮+gz)1exy+ = 3excycz若在球坐標系里計算，則1 1r（r） =-2 （r2r） =-2 （r3） = 3由此說明了矢量場的散度與坐標的選擇無關。 r 奮呻 r cr1. 在直角坐標系證明、人

6、 A = 02.47 AAZfAyAxFAAy（ ） （ 丿 （一x :-y:z:-y； z； x；z ；x1.簡述亥姆霍茲定理并舉例說明。-:Axy)=02.亥姆霍茲定理研究一個矢量場，必須研究它的散度和旋度，才能確定該矢量場的性質(zhì)。 D-s例靜電場1.2.dS八q。D =有源Qe dF =0V JR二R二r = r-r ，證明-RR i-R iR 二 exeez&x: y:zR=二R二 0已知 證明RF eR。無旋I z-z R1試寫出一般電流連續(xù)性方程的積分與微分形式，恒定電流的呢?2. 一般電流 J d-dq dt Q 、J 屯7 t ；恒定電流Zd0 A 01.電偶極子在勻強電場中會

7、受作怎樣的運動？在非勻強電場中呢？2.電偶極子在勻強電場中受一個力矩作用，發(fā)生轉(zhuǎn)動；非勻強電場中，不僅受一個 力矩作用，發(fā)生轉(zhuǎn)動，還要受力的作用，使 電偶極子中心發(fā)生平動，移向電場強的方向 1.試寫出靜電場基本方程的積分與微分形式。2.答靜電場基本方程的積分形式E d x q，名0!微分形式i D / E = 01. 試寫出靜電場基本方程的微分形式，并說明其物理意義。2. 靜電場基本方程微分形式I D / E = 0，說明激發(fā)靜電場的源是空間電荷的分布（或是激發(fā)靜電場的源是是電荷的分布）。1. 試說明導體處于靜電平衡時特性。2. 答導體處于靜電平衡時特性有 導體內(nèi)E = 0 ； 導體是等位體（

8、導體表面是等位面）； 導體內(nèi)無電荷，電荷分布在導體的表面（孤立導體，曲率）； 導體表面附近電場強度垂直于表面，且E = ；丁 */ ；0。1. 試寫出兩種介質(zhì)分界面靜電場的邊界條件。2. 答在界面上D勺法向量連續(xù)D1n = D2n或（n, Dn! D2）； E勺切向分量連續(xù)E1t = E2t或（ n E = f E2）1. 試寫出1為理想導體，二為理想介質(zhì)分界面靜電場的邊界條件。,2. 在界面上D勺法向量D2n =二或（rt1 D2）； e的切向分量E2t = 0或（K E2 = 0）2.答電位函數(shù)：表示的兩種介質(zhì)分界面靜電場的邊界條件為】二2，：1 : 2 1 2 一.- n : n1.試推

9、導靜電場的泊松方程。2.解由、/. v D=P ，其中-； E ；為常數(shù)2 j. 2-=-,泊松方程1.試寫出電位函數(shù)：表示的兩種介質(zhì)分界面靜電場的邊界條件。1. 簡述唯一性定理，并說明其物理意義2. 對于某一空間區(qū)域V,邊界面為s, 0滿足,給定廠T、_:（對導體給定q）則解是唯一的。只要滿足唯一性定理中的條件，解是唯一的，可以用能想到的最簡便的方法求解（直接求解法、鏡 像法、分離變量法）,還可以由經(jīng)驗先寫出試探解，只要滿足給定的邊界條件，也是唯一解。不滿足唯一性定理 中的條件無解或有多解。1試寫出恒定電場的邊界條件。2. 答恒定電場的邊界條件為： , :1. 分離變量法的基本步驟有哪些？2

10、. 答具體步驟是1、先假定待求的位函數(shù)由兩個或三個各自僅含有一個坐標變量的乘積所組成。2、把假定的函數(shù)代入 拉氏方程，使原來的偏微分方程轉(zhuǎn)換為兩個或三個常微分方程。解這些方程，并利用給定的邊界條件決定其中待定常 數(shù)和函數(shù)后，最終即可解得待求的位函數(shù)。1. 敘述什么是鏡像法？其關鍵和理論依據(jù)各是什么？2. 答鏡像法是用等效的鏡像電荷代替原來場問題的邊界，其關鍵是確定鏡像電荷的大小和位置，理論依據(jù)是唯一性定 理。1. 試寫出真空中恒定磁場的基本方程的積分與微分形式，并說明其物理意義。7 B dS=O_2s,V ”B =01 d H dl =送Lj=J說明恒定磁場是2. 答真空中恒定磁場的基本方程的

11、積分與微分形式分別為個無散有旋場，電流是激發(fā)恒定磁場的源。1試寫出恒定磁場的邊界條件，并說明其物理意義。*詁2. 答:恒定磁場的邊界條件為：（已H2）=Js 農(nóng)（BiB2） = 0，說明磁場在不同的邊界條件下磁場強度的切 向分量是不連續(xù)的，但是磁感應強強度的法向分量是連續(xù)。1. 由矢量位的表示式A (r )= 0d證明磁感應強度的積分公式0 J （r ） RB （r）0 .34二.RJ （r ）并證明2. 答、A (r)% J (r )%10d0 J(r ) i ()d4二R4 二RTT_LRR3J(r ) (3)d J4-R4 二TT B = 八 A(r) =01. 由麥克斯韋方程組出發(fā)，導

12、出點電荷的電場強度公式和泊松方程。2. 解 點電荷c產(chǎn)生的電場滿足麥克斯韋方程、 E =0和一 D 二 由D得j 7 Ddi = PdiTT據(jù)散度定理，上式即為pD dS =qs利用球?qū)ΨQ性，得故得點電荷的電場表示式D =erc4 - r2可取E =- ，則得Vx D = sV E =丹 N申=-刃2 = P即得泊松方程2z1. 寫出在空氣和二二的理想磁介質(zhì)之間分界面上的邊界條件2. 解空氣和理想導體分界面的邊界條件為n H = J s根據(jù)電磁對偶原理，采用以下對偶形式E H .- E J s r J ms即可得到空氣和理想磁介質(zhì)分界面上的邊界條件=0_ J msn E式中，Jm為表面磁流密度

13、。1. 寫出麥克斯韋方程組(在靜止媒質(zhì)中)的積分形式與微分形式。2.D -dl 二(J ) dSs呻a叫B 叫dlB dS.s CtD、H =J、E翌B = 0匚E JsB 能=0 sD 41. 試寫媒質(zhì)1為理想介質(zhì)2為理想導體分界面時變場的邊界條件。2. 答邊界條件為4耳Eit =0 或 nEi = 04呻Hit 二 Js或n 比=JsBin二 B2n = 0或4 4n Bi = 04呻Di n二或n Di1試寫出理想介質(zhì)在無源區(qū)的麥克斯韋方程組的復數(shù)形式。2. 答:心:Hj ；譏 E八:E _H：亍 B = o D =oi試寫出波的極化方式的分類，并說明它們各自有什么樣的特點2.答波的極化

14、方式的分為圓極化，直線極化，橢圓極化三種。圓極化的特點Exm二呂，且Exm,Eym的相位差為_,2直線極化的特點Exm，Eym的相位差為相位相差0匚3T橢圓極化的特點Exm = Eym 且ExmEym的相位差為或0,二，21. 能流密度矢量（坡印廷矢量）S是怎樣定義的？坡印廷定理是怎樣描述的？2. 答能流密度矢量（坡印廷矢量）S定義為單位時間內(nèi)穿過與能量流動方向垂直的單位截面的能量。坡印廷定理的表達式為一J（HH），dS = Q（We +W+P或 -H） dS =Qj（Ae2 +丄 4H2）d jYE2d ,反映 4dt”4叫 22弋了電磁場中能量的守恒和轉(zhuǎn)換關系。1試簡要說明導電媒質(zhì)中的電磁

15、波具有什么樣的性質(zhì)？（設媒質(zhì)無限大）2.答導電媒質(zhì)中的電磁波性質(zhì)有電場和磁場垂直；振幅沿傳播方向衰減；電場和磁場不同向；以平面波形式傳播。2.時變場的一般邊界條件 Din -D2n 二-、Eit 二 E2t : Hit - H?t 二 Js、Bn 二 B2n （寫成矢量式 HL（Di - D2）=匚 丄*丄八，人 八、n （Ei-E2）=0、n （比-無）7$、乩-即二。一樣給5分）i. 寫出非限定情況下麥克斯韋方程組的微分形式，并簡要說明其物理意義。2答非限定情況下麥克斯韋方程組的微分形式為 H = J da E 退八6=0,D（表明了電磁 ctct場和它們的源之間的全部關系除了真實電流外，

16、變化的電場（位移電流）也是磁場的源；除電荷外，變化的磁場也是 電場的源。1. 寫出時變電磁場在i為理想導體與2為理想介質(zhì)分界面時的邊界條件2. 時變場的一般邊界條件D2n = ；丁、E2t =0、= Js、 =0 （寫成矢量式HLDz -；：-、E2 =0、 n H2 二 Js、艷B2 =0 樣給5分）i.寫出矢量位、動態(tài)矢量位與動態(tài)標量位的表達式,并簡要說明庫侖規(guī)范與洛侖茲規(guī)范的意義。2.答矢量位B宀A,= 0 ；動態(tài)矢量位EA或E亠=。庫侖規(guī)范與洛侖茲規(guī)范的作用ct&都是限制A的散度，從而使A的取值具有唯一性；庫侖規(guī)范用在靜態(tài)場，洛侖茲規(guī)范用在時變場。1. 描述天線特性的參數(shù)有哪些？2.

17、答描述天線的特性能數(shù)有輻射場強、方向性及它的輻射功率和效率。1. 天線輻射的遠區(qū)場有什么特點？2. 答天線的遠區(qū)場的電場與磁場都是與i/r成正比，并且它們同相，它們在空間相互垂直，其比值即為媒質(zhì)的本征阻 抗，有能量向外輻射。1. 已知八QO#咨耳+ 2,牟)A/m 求 穿過面積-在：；方向的總電流(2) 在上述面積中心處電流密度的模；(3) 在上述面上的平均值。2.T二 j J ds= j J曳=O#二5”氐嚴-3 前)如A面積中心，(1)ydz-= -x12.6(3!-2s)399(2)2一 - ,A /= 281.25q -45耳 +81q.|7| =也81 莎 +亦衣 1亍二 296.1

18、21 A /it的平均值_ I399. 2 - 3 8)(3 - 2)1.4 圈 285 A /mz1. 利用直角坐標系證明i (fG)二f G r f) G2. 證明左邊 * (fA) j (fAxg fAyg fAzSz)(二識泌 ：(fAy)e ：( fAz)eexcycz_ f Ax)/ A 衛(wèi)危 f ；：戌.A 心)exx exdycyf z)ez. ArfWzL、厶.f:z:z珂 f 衛(wèi)蟲.f ：(Ay)ey .ex&y：:(f)eyr(f)gAyy Ayy:yy_ d 4f A A：(/ Ar(f)eiO 七一 ayXOe0 吟(v/m) 求(1)平面波的傳播方向；(2) 頻率；

19、(3) 波的極化方式；(4) 磁場強度；(5) 電磁波的平均坡印廷矢量Sav。2.解（1）平面波的傳播方向為+z方向頻率為 f *=3 109Hz2兀兀ji波的極化方式因為Exm二Eyr. =10, ； x - y =0，故為左旋圓極化.2 2磁場強度: E(0z 站0 jz a、 二丄住10一 jax1o)e-j20z0(5)平均功率坡印廷矢量SajRe2丄幺10鼻01(10)2=1 2 10$匾2 120 二=0.265 10“az(W/m2)E H*H-Re(ax10 jay10*)e-j20z2沁az01. 兩平行無限長直線電流11和12，相距為d ,求每根導線單位長度受到的安培力F

20、m。2. 解無限長直線電流11產(chǎn)生的磁場為B e 打1B - e沖直線電流12每單位長度受到的安培力為1卩I IFm12 = . Fz B4 Z-02 0 1 2 0式中e12是由電流h指向電流丨2的單位矢量。 同理可得，直線電流山每單位長度受到的安培力為0丨1丨2F m21 = _Fm12 =。12 -2二 d2d1. 一個半徑為a的導體球帶電荷量為Q，當球體以均勻角速度繞一個直徑旋轉(zhuǎn)，求球心處的磁感應強度B。2. 解球面上的電荷面密度為_ Q2J =4二a當球體以均勻角速度繞一個直徑旋轉(zhuǎn)時，球面上位置矢量r =e ra點處的電流面密度為J s = ；： v 二二 3 r = ；： ezer

21、a口Qa二 e*；：；、asin v - e sin 二4 a將球面劃分為無數(shù)個寬度為dl二adr的細圓環(huán)，貝y球面上任一個寬度為dl細圓環(huán)的電流為-可編輯修改-= JSdl細圓環(huán)的半徑為b=asinT，圓環(huán)平面到球心的距離dacosE，利用電流圓環(huán)的軸線上的磁場公式，貝y該細圓環(huán) 電流在球心處產(chǎn)生的磁場為223d BA0b d I%BQa sin 日 d 日e 2(b2 +d2)32 乙 8ir(a2sin2 日 +a2 cos2日)323% Qsin vdv二 ez 8兀a故整個球面電流在球心處產(chǎn)生的磁場為B j土空亡d，1.半徑為a的球體中充滿密度?（r）的體電荷，已知電位移分布為r3

22、Ar2a5 Aa4(r沏(r - a)其中A為常數(shù)，試求電荷密度（r）。2解由 |_|D，有珥r）八Ld二丄二仃乜）r d r故在r : a區(qū)域珥r）=；。丄2（3 Ar2） = ；0（5r2 4Ar） r d r在r a區(qū)域54r(r)1 d 2 (a Aa )0r 2 = r drr1. 一個半徑為a薄導體球殼內(nèi)表面涂覆了一薄層絕緣膜，球內(nèi)充滿總電荷量為Q為的體電荷，球殼上又另充有電 荷量Q。已知球內(nèi)部的電場為E二er（rfa）4，設球內(nèi)介質(zhì)為真空。計算（1）球內(nèi)的電荷分布；（2）球殼外表面的 電荷面密度。2解（1）由高斯定理的微分形式可求得球內(nèi)的電荷體密度為1 d 21 d 2 r4r3

23、: UEp?。╮ E）八二?。?）H6-7 r drr dr aa（2）球體內(nèi)的總電量Q為a3Q = 6 ； 4二 r2dr *；a2Ta球內(nèi)電荷不僅在球殼內(nèi)表面上感應電荷- Q，而且在球殼外表面上還要感應電荷Q，所以球殼外表面上的總電荷為2q ，故球殼外表面上的電荷面密度為2Q4 二 a2=2 ；其中K為一常數(shù)。（1）計算束縛電荷1. 一個半徑為R的介質(zhì)球，介電常數(shù)為；，球內(nèi)的極化強度P二K r體密度和面密度；（2）計算自由電荷密度；（3）計算球內(nèi)、外的電場和電位分布 2解 （1）介質(zhì)球內(nèi)的束縛電荷體密度為?p_d r2 dr在r =只的球面上，束縛電荷面密度為二 n|_P r 廠 er _

24、P r zR = R(2)由于D = ；。E P，所以i |_D 二0、_EJ _P 二上 iD iPz即(1-亠 |_d j|_p由此可得到介質(zhì)球內(nèi)的自由電荷體密度為總的自由電荷量- =d = Lp 二(；- ；0)名K R 12q =：?d2 4二 r dr 口- 0 0 r- - 04二；RKT(3)介質(zhì)球內(nèi)、外的電場強度分別為=er(r : R)-p(； - p) r；RK-2 = e r2 (rR)4 庇 rS02 齢)r介質(zhì)球內(nèi)、外的電位分別為1 二.Ebdl=EprE2drRQOdr ；RKr ( ； - ；0)R ；0( ； - ；0)rdrK , R ；K In0 r ；0(

25、 ； - ；0)；RK(r - R)E2dr；0(-0)r2 dr；RK；o(； - ；o)r(r -R)(x,y)二4Uon二 y、. ,n：xsinh()sin()二 n土3,5,屮 nsinh(n- b a)aaU02bU仝 Asin(空)sin()ePbbWm01400 0.001Wm，l2 二 r0 _l02 二 0.150.001= 1.4871 9 H 二eycos(9 10 t 30z)A/m3兀9E =ex40cos(9 10 t 30z)V/m1.海水的電導率=4S/m，相對介電常數(shù) =81。求頻率為10kHz 100kHz 1MHz 10MHz 100MHz1GH的電磁波

26、在海水中的波長、衰減系數(shù)和波阻抗。2解先判定海水在各頻率下的屬性丄 Y48.8 勺08g 2兀 f% 2兀181%f可見，當f 107HzV1時，滿足，；，海水可視為良導體。此時f=10kHZ 寸二 f-0(1 j)一-10 1034二0.126 二=0.396 Np/m= 15.87 m0.126 :d101034二10 = 0.099(1 j)門f=100kHZ 寸:-.二 100 103 4二 102 4 =1.26二 Np/m5 mP 1.26兀c =(1 j)二 100 103 4二 10”0.314(1 j)1f=1MH時二106 4二 10門 4 =3.96Np/m3.96：=1.587m=(1 j)= 0.99(1