八年級數學下冊 課后補習班輔導 拼圖驗證勾股定理及勾股定理中

1、拼圖驗證勾股定理及勾股定理中的數學思想【本講教育信息】一. 教學內容：拼圖驗證勾股定理及勾股定理中的數學思想勾股定理是反映自然界基本規(guī)律的一條重要結論，在現實世界中有廣泛應用。在運用勾股定理解決實際時，若能結合運用一些數學思想，則可使思路開闊、方法簡捷。二. 重點、難點： 1. 理解拼圖驗證勾股定理的思維方法。 2. 體會勾股定理中的數學思想。三. 知識要點：1. 一種證明：拼圖驗證勾股定理1）如圖（1）一個張由兩個正方形拼成的硬紙片。只許用剪刀剪兩刀，把它分開，然后拼成一個正方形。圖（2）中，剪了兩刀，分成三塊，拼成了一個大正方形。圖（3）（4）中，剪了兩刀，分成四塊，拼成了一個大正方形（1

2、）你能判斷出這兩刀是如何剪的嗎？（2）你能否把圖（1）剪三刀，把它分開，然后拼成一個大正方形？答：（1）兩刀互相垂直，且至少有一刀剪得的線段長是以兩個正方形的邊為直角三角形的兩直角邊的斜邊的長；（2）仿照（1）的規(guī)律，作法，如圖（5）2）勾股定理的面積證法：“趙爽弦圖”如圖（a）把邊長a、b的兩個正方形連在一起，則它的面積是a2+b2，另一方面，這個圖形可由四個全等的直角三角形和一個正方形組成，拼的過程如下，把圖（a）中左右兩個直角三角形移動，組成如圖（b）的形狀，所以它們的面積相等；因此a2+b2=c22002年8月20日北京國際數學大會的會標，就是“趙爽弦圖”如圖（b） 2. 幾類思想：整

3、體思想轉換思想分類思想方程思想數形結合思想（含補形與分割的思想）【典型例題】整體思想例1. 如圖，已知RtABC的周長為，其中斜邊，求這個三角形的面積。分析：若要直接求出a與b的值，要用二次方程求解較繁。但由聯(lián)想到運用整體思想（將ab視為一個整體），問題便可順利獲解。解：在RtABC中，根據勾股定理，得即又由已知得所以解得所以 轉換思想例2. 如圖，一只螞蟻從長、寬、高分別為5，4，3的長方體的一個頂點A沿著表面爬行到與之最遠的另一個頂點G，最短路程是多少？分析：有六種方式對長方體表面進行剪開鋪平求解。究竟哪條線路最短，下面逐一解答再比較。解：（1）剪開FG、GC、CB鋪平得。（2）剪開HG、

4、GC、CD鋪平得。（3）剪開EF、FG、GH鋪平得。（4）剪開FB、FG、CG鋪平得。（5）剪開FG、GH、HE鋪平得。（6）剪開DH、HG、GC鋪平得。因此最短路程為，這樣的路線有兩條。由此我們知道，若長方體的長、寬、高分別為a、b、c，且時，最短路程就是。分類思想例3. 在ABC中，AB=15，AC=20，BC邊上的高線AD=12。試求BC的長。分析：由于三角形的高線隨其形狀的不同而改變，其中銳角三角形的高線在三角形的內部，鈍角三角形的高線在三角形的外部，所以必須分兩種情況討論。解：由于三角形的形狀不確定，所以求BC的長可以從以下兩方面考慮：（1）如圖，當BC邊上的高線在ABC內部時，由勾

5、股定理，得所以（2）如圖，當BC邊上的高線在ABC外部時，同理可得此時綜上所述，BC的長為25或7。方程思想例4. 如圖，在RtABC中，CD是斜邊AB上的高線，且AB=10，BC=8，求CD的長。分析：在RtABC中，由勾股定理容易求出AC的長，再根據三角形的面積關系構造方程，則問題便水到渠成。解：在RtABC中，根據勾股定理，得因為ABC的面積即所以數形結合思想例5. 如果把勾股定理的邊的平方理解為正方形的面積，那么從面積的角度來說，勾股定理可以推廣。如圖：（1）以RtABC的三邊長為邊作三個等邊三角形，則這三個等邊的面積，S1、S2、S3之間有何關系，說明理由。（2）如圖，以RtABC的

6、三邊長為直徑作三個半圓，則這三個半圓的面積S1，S2，S3之間有何關系？ （3）如果將上圖中斜邊上的半圓沿斜邊翻折180°，成為下圖，請驗證：“兩個陰影部分的面積之和正好等于直角三角形的面積”（此陰影部分在數學史上稱為“希波克拉底月牙”） 解：（1）中S1，S2，S3的表示均與直角三角形的邊長有關。 所以根據勾股定理可得出S1，S2，S3的關系，S1+S2=S3（2）類似于（1）：S1+S2=S3（3）圖中陰影部分的面積是S1+S2+SABC-S3S陰影=SABC例6. 某市氣象臺測得一熱帶風暴中心從A城正西方向300km處，以每小時26km的速度向北偏東60°方向移動，距

7、風暴中心200km的范圍內為受影響區(qū)域。試問A城是否受這次風暴的影響？如果受影響，請求出遭受風暴影響的時間；如果沒有受影響，請說明理由。分析：本題情景與人們的日常生活密切相關，其思維深度具有一定挑戰(zhàn)性。如何將實際問題轉化為數學模型（數形結合）是解決問題的關鍵。解：構造數學模型，如圖所示，設O為風暴中心，OC為風暴中心移動方向，ADOC。在RtOAD中，AOD=30°，OA=300km所以AD=150km<200km即A城受到這次風暴的影響。如圖，設AB=AC=200km在RtABD中，應用勾股定理，得所以，A城遭受風暴影響的時間（小時）。（補形與分割的思想）例7. 若a，b為正

8、數，且是一個三角形的三條邊的長，求這個三角形的面積。分析：這類題一些同學見了后望而生畏，不知從何下手，通過觀察，顯然該三角形不是一個特殊的三角形，不宜直接求解。由根號內的代數式是兩數的平方和，聯(lián)想到勾股定理，進而想到構造長和寬分別為2a，2b的矩形，再由面積的割補來求解。解：作矩形ABCD，使E、F分別是AB、AD的中點。由勾股定理知從而可知，就是題目所要求的三角形面積，即例8. 如圖，在四邊形ABCD中，AB、BC、CD、DA的長分別是3，4，12和13，ABC=90o，則四邊形ABCD的面積是_。解：連結AC，在ABC中，因為ABC=90°，BC=4所以在ACD中，因為所以可知A

9、CD也是直角三角形，ACD90°所以于是 【模擬試題】（答題時間：45分鐘）1. 你能將邊長為5:1的長方形紙片，如圖（1），剪幾刀分成五塊，拼出一個正方形，并用它來證明勾股定理？2. 如圖，ABC中，B90°，AB7，BC=24，P是A，C的平分線的交點，PDAB于D，PEBC于E，求。3. 有一立方體禮盒如圖所示，在底部A處有壁虎，C'處有一蚊子，壁虎急于捕捉到蚊子充饑。（1）試確定壁虎所走的最短路線；（2）若立方體禮盒的棱長為20cm，壁虎要在半分鐘內捕捉到蚊子，求壁虎每分鐘至少爬行多少厘米（保留整數）分析：求幾何體表面的最短距離時，通常可以將幾何體表面展開，

10、把立體圖形轉換成平面圖形，于是問題可迎刃而解。4. 如圖，在四邊形ABCD中，AB2，CD=1，A60°，B=D=90°，求四邊形ABCD的面積。分析：考慮A=60°，B=D=90°可補形得到RtABE和RtCDE，然后利用勾股定理及其它知識易于解決。5. 如圖，長為3厘米，長為4厘米，長為13厘米。求正方形的面積。分析：一般的想法，要求出正方形的面積，先求出其邊長；要求出，先要求出。在中，所以，在中，為多少？數不夠用了！我們再去看一下題目，是讓求正方形的面積，正方形的面積為，何必去求，只要求出這個“整體”就可以，原來正方形的面積為194，我們已經求出來

11、了！【試題答案】1. 解：在剪拼的過程中面積沒有發(fā)生變化，設原長方形邊長為5a和a，則拼出的正方形面積為5，所以正方形邊長為 所以須在長方形中分割出長度為 的線段，而線段 ，應是邊長為a和2a的直角三角形的斜邊，因此構造出邊長為a和2a的直角三角形即可。圖（3）中： 2. 解：顯然四邊形BEPD是矩形，作PFAC于F，連結PB，易證所以四邊形BEPD是正方形它的邊長可由三角形的面積求得。設PD=PE=PF=m，得即由勾股定理知所以故3. 解：（1）若把禮盒的上底面A'B'C'D'豎立起來，如圖所示，使它與立方體的正面（ABB'A'）在同一平面內，然后連結AC'，根據“兩點間線段最短”知，線段AC'就是壁虎捕捉