初始密度對骨自優(yōu)化結果的影響

1、    初始密度對骨自優(yōu)化結果的影響        骨自優(yōu)化理論在研究骨的生長機理，以及預測非正常情況下(如骨折后的修復，多孔覆蓋植入物附近骨的生長過程等)骨的適應過程具有非常重要的意義，是從宏觀角度研究受力與生長的關系。本文將骨自優(yōu)化理論和有限元法結合起來，用計算機模擬了懸臂梁模型的密度分布及激勵情況，得到了類似于工程中的桁架結構。重點討論了參考激勵值K固定時，初始均勻密度的變化對結構最終形狀和質(zhì)量的影響。并用骨痂吸收的實際例子再一次驗證了初始均勻密度的影響。關鍵詞： 骨自

2、優(yōu)化理論；有限元法；骨重建分類號： R318.01; R322.7+1EFFECTS OF INITIAL DENSITYON SELF-OPTIMIZING RESULTS OF BONEGong He, Zhu Xinghua(Jilin University of Technology, Changchun 130025)ABSTRACTIt is a heat point to studying the relation between load and growth from macroscopic angle. The apparent density distribution a

3、nd the stimulus of a cantilever beam were simulated in a computer model by combining the self-optimizing theory of bone with the finite element method. A configuration similar to a frame work in engineering was achieved. The effect of initial uniform density on the end configuration and mass were vi

4、tally discussed with a fixed reference value. The absorption of auxiliary bone was cited again to verify the effect of initial uniform density.Key words:Self-optimizing theory of bone; Finite element method; Bone-remodeling0引 言Wolff1假設骨是一種有自我優(yōu)化功能的材料，可以根據(jù)其力學要求直接調(diào)整自己的質(zhì)量和結構的關系。人們稱為Wolff定律。Fyhrie和Carter

5、2用數(shù)學方法描述骨自優(yōu)化過程。其方程為：d/dt=B(S-K)(1)式中為骨的表觀密度，用以表征骨內(nèi)部結構特性。S為力學激勵，他們?nèi)榈刃?effective stress)。K為參考值，B為常數(shù)。稱為“bone-maintenance theory”。Fyhrie和Carter3用單位質(zhì)量骨的應變能密度代替了等效應力作為力學激勵。Huiskes4把描述骨自優(yōu)化過程的理論統(tǒng)稱為自優(yōu)化理論(Self-optimization theory)。其表達式為：d/dt=B(un/-K)0<cb(2)E=C×r(3)Un為應變能密度。cb為最大密度，常取為密質(zhì)骨的表觀密度，本文取cb

6、=1.74g/cm3。E為表觀彈性模量。C、r為常數(shù)。d/dt稱為目標函數(shù)。Huiskes用自優(yōu)化理論和有限元相結合的方法，討論了自優(yōu)化理論模型的穩(wěn)定性和收斂性，得出：只要有限元網(wǎng)格細到一定程度，時間間隔小到一定程度，就會得到一個穩(wěn)定的不連續(xù)的最終結構形，而連續(xù)結構是不穩(wěn)定的。采用更精確的單元，更細分網(wǎng)格和更小的時間間隔對結果無影響。還討論了r值對于穩(wěn)定性和收斂性的影響。至于初始均勻密度、K值等的影響沒有深入討論。本文的目的在于研究初始均勻密度對骨自優(yōu)化結果的影響。為了定量預測骨再造過程和最終結構形態(tài)，骨結構的內(nèi)部載荷要以應變能密度的形式精確的確定下來。有限元法就是完成這一任務的有效工具。通過

7、骨自優(yōu)化理論(方程(2)和有限元法相結合，有關于骨結構形態(tài)的預測就可以進行了。我們假設骨的內(nèi)部具有傳感器，它可以探測力學激勵，并且可以根據(jù)激勵值的大小引起局部骨的適應性。也就是說，骨是一種完善的具有自優(yōu)化功能的“智能”材料，它可以根據(jù)力學環(huán)境調(diào)整本身的質(zhì)量與結構形態(tài)，以最佳的結構形態(tài)適應力學環(huán)境。1方 法力學激勵Un/在每個單元內(nèi)確定，每個單元只有一個傳感器。當時間間隔滿足一定的條件時，可用方程=t×B×(Un/-K)(4)代替方程(2)。為了研究初始均勻密度對骨自優(yōu)化結果的影響，我們分析了兩個模型：(1)二維懸臂梁模型；(2)帶有骨痂的股骨模型。有限元中的單元為四節(jié)點四邊

8、形等參數(shù)單元。自優(yōu)化理論和有限元法結合預測骨結構形態(tài)的程序系統(tǒng)流程如1所示。1結合有限元法的骨再造模擬的迭代反饋機制1.1二維懸臂梁模型二維懸臂梁模型是平面問題中的一個具有代表意義的結構，它在一定程度上代表長骨的結構及受力情況。通過對其進行的骨自優(yōu)化分析可以模擬預測它的結構形態(tài)。我們用方程(2)控制骨再造過程。其中k=0.1537J/g,B=1.0(g/cm3)2(MPa×時間單位)-1。時間增量取為1.0個任意時間單位。我們要檢驗它是否小到不至于顯著地影響解的過程。表觀彈性模量和表觀密度的關系如方程(3)所示。其中r=2,C=100(MPa)(g/cm3)-2，=0.3。參數(shù)和負載

9、的選擇保證獲得一個典型的密度分布。設所選懸臂梁結構(見2)的長度為L，厚度為b,高度為h，右端受載P，泊松比為，彈性模量為E，其數(shù)據(jù)為：L=0.08m,b=0.002m,h=0.01m,P=5.0N,=0.3。2二維懸臂梁模型首先，研究了迭代步數(shù)的影響。比較了5步和150步的骨自優(yōu)化結果。其次，研究了傳感器數(shù)量的影響。通過將模型劃分為32×4單元，64×8單元和96×12單元來研究傳感器數(shù)量的影響，每個單元內(nèi)有一個傳感器。最后，研究了初始條件的影響。討論了在參考激勵值K不變的前提下，初始的均勻密度值的變化對結構的最終質(zhì)量及形態(tài)的影響。為了使初始均勻密度的選取具有典

10、型的數(shù)學意義，特用黃金分割法在0<cb域內(nèi)共選出了九個初始密度值，它們是：0.10,0.256,0.408,0.654,0.876,1.014,1.291,1.463,1.74，其單位為g/cm3。1.2帶有骨痂的股骨模型骨痂是骨折以后，在骨的斷口的附近區(qū)域產(chǎn)生的一種保護性措施。臨床實踐是隨著骨折的逐漸恢復，骨痂被完全吸收。選取這個模型(3)可以再一次驗證初始均勻密度的影響，并對骨痂的吸收機理給予合理的解釋。對于這個模型，我們主要研究它的自優(yōu)化結果，并且分析初始條件的影響。股骨承受彎矩M=2N*m,初始均勻密度分別取為1.74，0.8,0.654g/cm3,骨痂處的密度較低，取為0.25

11、6g/cm3。設所選股骨長度為L，寬度為h,泊松比為，彈性模量為E，骨痂長度為L1，寬度為h1，其數(shù)據(jù)為L=0.080m,h=0.030m,=0.3,L1=0.020m,h1=0.008m。1.3再造平衡條件由骨自優(yōu)化理論確定的再造平衡條件為：d/dt=0(U/=k)或=min或=max(5)式中，min取為0.01g/cm3,max=cb。2結果與分析2.1二維懸臂梁模型骨的自優(yōu)化過程從均勻的密度分布開始。我們分析了32×4單元的五步迭代的結果(4)。懸臂梁的上層和下層的密度是從右向左依次增加的，而中間區(qū)域的密度基本上是比較均勻的，且沒有出現(xiàn)“空”的單元。當然這與單元數(shù)相對較少有關

12、。此時目標函數(shù)不等于零，并沒有達到收斂要求。迭代步數(shù)增加后，梁的中間部分呈現(xiàn)出桁架形狀(如5)。在150步以后，形狀穩(wěn)定下來。這時候骨自優(yōu)化的結果為：它是沿X軸方向呈軸對稱的形。最上層和最下層的單元密度沿X軸由固定端起逐漸變小，而且沒有出現(xiàn)間斷的情況。梁的中間部分明顯地顯示出桁架的形狀。3 帶有骨痂的股骨模型432×4單元的五步迭代的結果，r=2.0，初始均勻密度為0.8g/cm3，參考激勵值K=0.1537J/g596×12單元模型的最終迭代結果68顯示了傳感器數(shù)量的增加對于模擬分析過程的影響。64×8單元模型(7)和96×12單元模型(8)進一步證實

13、了32×4單元模型(6)的總體趨勢。說明傳感器數(shù)量的增加有利于反映相同成分的細節(jié)情況。632×4單元模型的骨自優(yōu)化結果764×8單元模型的骨自優(yōu)化結果從9中我們可以直接看到不同的初始均勻密度下的結構質(zhì)量隨迭代步數(shù)的變化曲線。9個點代表9個不同的初始均勻密度所對應的結構總質(zhì)量。100步以后，9條曲線基本趨于重合了。10顯示了不同的初始均勻密度值下的最終密度分布情況(以四個初始密度為例)。它們的形狀是十分相近的。關于這一問題的分析將在討論中繼續(xù)進行。896×12單元模型的骨自優(yōu)化結果9結構質(zhì)量隨迭代步數(shù)的變化曲線10不同的初始均勻密度值下的骨自優(yōu)化結果(密度

14、分布)2.2帶有骨痂的股骨模型不同的初始密度，帶骨痂的股骨自優(yōu)化結果相同，如11，可見骨痂已被完全吸收。這與臨床實際完全符合。它為骨痂吸收機理提供了一種解釋，為解決實際問題提供了可能性。3討論對于受彎的二維懸臂梁模型(2)，我們知道對于任一橫截面，其最上、最下層是應力最大的部分。而沿X軸方向的最上(下)層單元的應力是成比例地逐漸變小的。根據(jù)“較密骨吸收較多的應變能，從而使骨變得更密”的骨自優(yōu)化理論的正反饋機制便可推知結果。我們所做的工作實際上就是用骨自優(yōu)化理論假設這個懸臂梁的材料特性是與其密度相關的物理量，而且密度值可以根據(jù)受載情況發(fā)生變化。也就是說，在受載時，通過調(diào)整密度值使應變能密度獲得一

15、個穩(wěn)定的預置的K值。如果其中的單元不能達到此值，它或者轉(zhuǎn)變?yōu)槠べ|(zhì)骨，或者被完全吸收。經(jīng)過對懸臂梁的骨自優(yōu)化計算，架起了生物學與工程學的橋梁，這部分工作的意義是很重大的。由均質(zhì)懸臂梁模型優(yōu)化出桁架結構在國內(nèi)外是未見有報道的。11的骨自優(yōu)化結果已顯示骨痂被完全吸收了。這個結果與臨床實踐是完全符合的。骨折以后，斷裂處失去了傳遞載荷的能力。所以在斷口的附近區(qū)域長出密度較小的骨痂幫助傳遞力。它只是一個暫時的結構。骨折愈合以后，這部分結構就多余了，它的質(zhì)量應該被吸收以保證結構的最優(yōu)質(zhì)量。骨痂的吸收實際上是遵循骨自優(yōu)化過程的最優(yōu)質(zhì)量特性。由12的質(zhì)量曲線可以看到它們的質(zhì)量(在40步以后)是趨于相等的。13給

16、出了初始均勻密度不同的帶骨痂的股骨自優(yōu)化結果。它再一次證明了不同初始均勻密度下的最終結果是十分相近的。Huiskes提出不連續(xù)解的質(zhì)量比連續(xù)的初始解減小25%的觀點，是僅就一個初始均勻密度情況而言的。我們在0<cb域內(nèi)共選出了九個初始密度點。自優(yōu)化結果表明，對于初始質(zhì)量較大的骨結構，承受已知載荷不需要那么多的質(zhì)量，經(jīng)過自優(yōu)化結構質(zhì)量降低了；而初始質(zhì)量較小時，這些質(zhì)量不足以承受已知載荷，所以自優(yōu)化以后質(zhì)量有所提高。因此我們就有理由相信這個最終質(zhì)量就是這個模型在這個載荷下的最優(yōu)質(zhì)量，最終形狀就是它的最優(yōu)結構。而初始均勻密度值對自優(yōu)化結果的影響是十分微小的。關于這一結論是我們首次提出的，它是否

17、具有普遍意義有待深入研究。自優(yōu)化結果遵循最優(yōu)結構形態(tài)、最優(yōu)質(zhì)量的原則。11帶有骨痂的股骨自優(yōu)化結果12受純彎作用時的結構質(zhì)量隨迭代步數(shù)的變化曲線13不同密度下受純彎的帶有骨痂的懸臂梁模型的骨自優(yōu)化結果國家自然科學基金資助項目(39970191)，吉林省科技發(fā)展計劃項目(19980554-01)宮赫（吉林工業(yè)大學，長春 130025）朱興華（吉林工業(yè)大學，長春 130025）4參考文獻1，Wolff J. Das Gesetz der Transformation der Knochen. Hirchwild. Berlin.(Translated as the law of bone remo

18、deling)Springer. Berlin, 18922，F(xiàn)yhrie DP, Carter DR. A unufying principle relating stress to tribecular bone morphology. J orthop. Res. 1986,4:3043173，F(xiàn)yhrie DP, Carter DR. Femoral head apparent density distribution predicted from bone stress. J Biomechanics, 1990,23:1104，H Weinans. The behavior of adaptive bone-remodeling simulation models. J Biomech