抽屜原理二教師版

1、第八講：抽屜原理（二）教學(xué)目標(biāo)抽屜原理是一種特殊的思維方法，不但可以根據(jù)它來(lái)做出許多有趣的推理和判斷，同時(shí)能夠幫助同學(xué)證明很多看似復(fù)雜的問(wèn)題。本講的主要教學(xué)目標(biāo)是：1理解抽屜原理的基本概念、基本用法；2掌握用抽屜原理解題的基本過(guò)程；3. 能夠構(gòu)造抽屜進(jìn)行解題；4. 利用最不利原則進(jìn)行解題；5.利用抽屜原理與最不利原則解釋并證明一些結(jié)論及生活中的一些問(wèn)題。知識(shí)點(diǎn)撥一、知識(shí)點(diǎn)介紹抽屜原理有時(shí)也被稱為鴿籠原理，它由德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確提出來(lái)并用來(lái)證明一些數(shù)論中的問(wèn)題，因此，也被稱為狄利克雷原則抽屜原理是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)重要而又基本的數(shù)學(xué)原理，利用它可以解決很多有趣的問(wèn)題，并且常常能夠起到令人驚奇

2、的作用許多看起來(lái)相當(dāng)復(fù)雜，甚至無(wú)從下手的問(wèn)題，在利用抽屜原則后，能很快使問(wèn)題得到解決二、抽屜原理的定義（1）舉例桌上有十個(gè)蘋果，要把這十個(gè)蘋果放到九個(gè)抽屜里，無(wú)論怎樣放，有的抽屜可以放一個(gè)，有的可以放兩個(gè)，有的可以放五個(gè)，但最終我們會(huì)發(fā)現(xiàn)至少我們可以找到一個(gè)抽屜里面至少放兩個(gè)蘋果。（2）定義一般情況下，把n1或多于n1個(gè)蘋果放到n個(gè)抽屜里，其中必定至少有一個(gè)抽屜里至少有兩個(gè)蘋果。我們稱這種現(xiàn)象為抽屜原理。三、抽屜原理的解題方案（一）、利用公式進(jìn)行解題蘋果÷抽屜商余數(shù)余數(shù)：（1）余數(shù)1， 結(jié)論：至少有（商1）個(gè)蘋果在同一個(gè)抽屜里 （2）余數(shù)， 結(jié)論：至少有（商1）個(gè)蘋果在同一個(gè)抽屜里

3、（3）余數(shù)0， 結(jié)論：至少有“商”個(gè)蘋果在同一個(gè)抽屜里（二）、利用最值原理解題將題目中沒(méi)有闡明的量進(jìn)行極限討論，將復(fù)雜的題目變得非常簡(jiǎn)單，也就是常說(shuō)的極限思想“任我意”方法、特殊值方法例題精講【例 1】 在一只口袋中有紅色、黃色、藍(lán)色球若干個(gè)，小聰明和其他六個(gè)小朋友一起做游戲，每人可以從口袋中隨意取出個(gè)球，那么不管怎樣挑選，總有兩個(gè)小朋友取出的兩個(gè)球的顏色完全一樣你能說(shuō)明這是為什么嗎？【解析】 從三種顏色的球中挑選兩個(gè)球，可能情況只有下面種：紅、紅；黃、黃；藍(lán)、藍(lán)；紅、黃；紅、藍(lán)；黃、藍(lán)，我們把種搭配方式當(dāng)作個(gè)“抽屜”，把個(gè)小朋友當(dāng)作個(gè)“蘋果”，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)“蘋果”要放進(jìn)一個(gè)“抽屜

4、”中，也就是說(shuō)，至少有兩個(gè)人挑選的顏色完全一樣【鞏固】 11名學(xué)生到老師家借書，老師的書房中有文學(xué)、科技、天文、歷史四類書，每名學(xué)生最多可借兩本不同類的書，最少借一本試說(shuō)明：必有兩個(gè)學(xué)生所借的書的類型相同【解析】 設(shè)不同的類型書為、四種，若學(xué)生只借一本書，則不同的類型有、四種；若學(xué)生借兩本不同類型的書，則不同的類型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六種共有10種類型，把這10種類型看作10個(gè)“抽屜”，把11個(gè)學(xué)生看作11個(gè)“蘋果”如果誰(shuí)借哪種類型的書，就進(jìn)入哪個(gè)抽屜，由抽屜原理，至少有兩個(gè)學(xué)生，他們所借的書的類型相同【鞏固】 體育用品的倉(cāng)庫(kù)里有許多足球、排球和籃球，有66個(gè)同學(xué)來(lái)倉(cāng)庫(kù)拿球，要

5、求每個(gè)人至少拿一個(gè)，最多拿兩個(gè)球，問(wèn)至少有多少名同學(xué)所拿的球的種類是完全一樣的？【解析】 以拿球配組的方式為抽屜，每人拿一個(gè)或兩個(gè)球，所以抽屜有：足、排、籃、足足、排排、籃籃、足排、足籃、排籃共9種情況，即有9個(gè)抽屜，則：，即至少有8名同學(xué)所拿球的種類是一樣的【鞏固】 幼兒園買來(lái)很多玩具小汽車、小火車、小飛機(jī)，每個(gè)小朋友任意選擇兩件不同的，那么至少要有幾個(gè)小朋友才能保證有兩人選的玩具是相同的？【解析】 根據(jù)題意列下表：小汽車小火車小飛機(jī)第一個(gè)小朋友第二個(gè)小朋友第三個(gè)小朋友第四個(gè)小朋友有個(gè)小朋友就有三種不同的選擇方法，當(dāng)?shù)谒膫€(gè)小朋友準(zhǔn)備拿時(shí)，不管他怎么選擇都可以跟前面三個(gè)同學(xué)其中的一個(gè)選法相同所

6、以至少要有個(gè)小朋友才能保證有兩人選的玩具是相同的總結(jié)： 本題是抽屜原理應(yīng)用的典型例題，作為重點(diǎn)講解學(xué)生們可能會(huì)這么認(rèn)為：鋪墊：件種件，件個(gè)人，要保證有相同的所以至少要有人；對(duì)于例題中的題目同樣件種件，件個(gè)人，要保證有相同的所以至少要有人因?yàn)殇亯|是正好配上數(shù)了，而例題中的問(wèn)題在于種東西任選兩種的選擇有幾種可以簡(jiǎn)單跟學(xué)生講一下簡(jiǎn)單乘法原理的思想，但建議還是運(yùn)用枚舉法列表進(jìn)行分析，按順序列表可以做到不遺漏，不重復(fù)【例 2】 紅、藍(lán)兩種顏色將一個(gè)方格圖中的小方格隨意涂色（見(jiàn)下圖），每個(gè)小方格涂一種顏色是否存在兩列，它們的小方格中涂的顏色完全相同？ 【解析】 用紅、藍(lán)兩種顏色給每列中兩個(gè)小方格隨意涂色，

7、只有下面四種情形：將上面的四種情形看成四個(gè)“抽屜”，把五列方格看成五個(gè)“蘋果”，根據(jù)抽屜原理，將五個(gè)蘋果放入四個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜中有不少于兩個(gè)蘋果，也就是至少有一種情形占據(jù)兩列方格，即這兩列的小方格中涂的顏色完全相同【例 3】 從、這個(gè)偶數(shù)中至少任意取出多少個(gè)數(shù)，才能保證有個(gè)數(shù)的和是？ 【解析】 構(gòu)造抽屜：，共種搭配，即個(gè)抽屜，所以任意取出個(gè)數(shù)，無(wú)論怎樣取，有兩個(gè)數(shù)必同在一個(gè)抽屜里，這兩數(shù)和為，所以應(yīng)取出個(gè)數(shù)或者從小數(shù)入手考慮，、，當(dāng)再取時(shí)，與其中的一個(gè)去陪，總能找到一個(gè)數(shù)使這兩個(gè)數(shù)之和為【鞏固】 證明：在從1開始的前10個(gè)奇數(shù)中任取6個(gè)，一定有2個(gè)數(shù)的和是20.【解析】 將10個(gè)奇數(shù)分為

8、五組(1、19)，(3、17)，(5、15)，(7、13)，(9、11)，任取6個(gè)必有兩個(gè)奇數(shù)在同一組中，這兩個(gè)數(shù)的和為20.【鞏固】 從1，4，7，10，37，40這14個(gè)數(shù)中任取8個(gè)數(shù)，試證：其中至少有2個(gè)數(shù)的和是41.【解析】 構(gòu)造和為的抽屜：，現(xiàn)在取個(gè)數(shù)，一定有兩個(gè)數(shù)取在同一個(gè)抽屜，所以至少有2個(gè)數(shù)的和是41.【鞏固】 從2、4、6、30這15個(gè)偶數(shù)中，任取9個(gè)數(shù)，證明其中一定有兩個(gè)數(shù)之和是34【解析】 我們用題目中的15個(gè)偶數(shù)制造8個(gè)抽屜，,，,凡是抽屜中的有兩個(gè)數(shù)，都具有一個(gè)共同的特點(diǎn)：這兩個(gè)數(shù)的和是34 現(xiàn)從題目中的15個(gè)偶數(shù)中任取9個(gè)數(shù)，由抽屜原理（因?yàn)槌閷现挥?個(gè)），必有兩個(gè)

9、數(shù)在同一個(gè)抽屜中.由制造的抽屜的特點(diǎn)，這兩個(gè)數(shù)的和是34【例 4】 （北京市第十一屆“迎春杯”刊賽）從1，2，3，4，1994這些自然數(shù)中，最多可以取 個(gè)數(shù)，能使這些數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的差都不等于9【解析】 方法一：把1994個(gè)數(shù)一次每18個(gè)分成一組，最后14個(gè)數(shù)也成一組，共分成111組即1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18；19，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36；1963，1964，1979，1980；1981，1982，1994每一組中取前9個(gè)數(shù)，共取出（個(gè)）數(shù)，這些數(shù)中任兩

10、個(gè)的差都不等于9因此，最多可以取999個(gè)數(shù)方法二：構(gòu)造公差為的個(gè)數(shù)列（除以的余數(shù)），共計(jì)個(gè)數(shù)，共計(jì)個(gè)數(shù)，共計(jì)個(gè)數(shù)，共計(jì)個(gè)數(shù)，共計(jì)個(gè)數(shù)，共計(jì)個(gè)數(shù)，共計(jì)個(gè)數(shù)，共計(jì)個(gè)數(shù)，共計(jì)個(gè)數(shù)每個(gè)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的差是9，因此，要使取出的數(shù)中，每?jī)蓚€(gè)的差不等于9，每個(gè)數(shù)列中不能取相鄰的項(xiàng)因此，前五個(gè)數(shù)列只能取出一半，后四個(gè)數(shù)列最多能取出一半多一個(gè)數(shù)，所以最多取個(gè)數(shù)【鞏固】 從1、2、3、4、19、20這20個(gè)自然數(shù)中，至少任選幾個(gè)數(shù)，就可以保證其中一定包括兩個(gè)數(shù)，它們的差是12【解析】 在這20個(gè)自然數(shù)中，差是12的有以下8對(duì)：20，8，19，7，18，6，17，5，16，4，15，3，14，2，13，1另外還有4個(gè)

11、不能配對(duì)的數(shù)9，10，11，12，共制成12個(gè)抽屜（每個(gè)括號(hào)看成一個(gè)抽屜）.只要有兩個(gè)數(shù)取自同一個(gè)抽屜，那么它們的差就等于12，根據(jù)抽屜原理至少任選13個(gè)數(shù)，即可辦到（取12個(gè)數(shù)：從12個(gè)抽屜中各取一個(gè)數(shù)（例如取1，2，3，12），那么這12個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的差必不等于12）【鞏固】 （小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽）從1，2，3，4，1988，1989這些自然數(shù)中，最多可以取_個(gè)數(shù)，其中每?jī)蓚€(gè)數(shù)的差不等于4【解析】 將11989排成四個(gè)數(shù)列：1，5，9，1985，19892，6，10，19863，7，11，19874，8，12，1988每個(gè)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的差是4，因此，要使取出的數(shù)中，每?jī)蓚€(gè)的差不等于4

12、，每個(gè)數(shù)列中不能取相鄰的項(xiàng)因此，第一個(gè)數(shù)列只能取出一半，因?yàn)橛许?xiàng)，所以最多取出249項(xiàng)，例如1，9，17，1985同樣，后三個(gè)數(shù)列每個(gè)最多可取249項(xiàng)因而最多取出個(gè)數(shù)，其中每?jī)蓚€(gè)的差不等于4【例 5】 （2008年第八屆“春蕾杯”小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽）從、和中至多選出 個(gè)數(shù)，使得在選出的數(shù)中，每一個(gè)數(shù)都不是另一個(gè)數(shù)的倍【解析】 把這12個(gè)數(shù)分成6個(gè)組： 第1組：1，2，4，8 第2組：3，6，12 第3組：5，10 第4組：7 第5組：9 第6組：11 每組中相鄰兩數(shù)都是2倍關(guān)系，不同組中沒(méi)有2倍關(guān)系 選沒(méi)有2倍關(guān)系的數(shù)，第1組最多2個(gè)（1，4或2，8或，），第2組最多2個(gè)（3，12），第3組只

13、有1個(gè)，第4，5，6組都可以取，一共個(gè) 如果任意取9個(gè)數(shù)，因?yàn)榈?，4，5，6組一共5個(gè)數(shù)中，最多能取4個(gè)數(shù)，剩下個(gè)數(shù)在2個(gè)組中，根據(jù)抽屜原理，至少有3個(gè)數(shù)是同一組的，必有2個(gè)數(shù)是同組相鄰的數(shù)，是2倍關(guān)系 【鞏固】 從1到20這20個(gè)數(shù)中，任取11個(gè)不同的數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)其中一個(gè)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)【解析】 把這20個(gè)數(shù)分成以下10組，看成10個(gè)抽屜：(1，2，4，8，16)，(3，6，12)，(5，10，20)，(7，14)，(9，18)，(11)，(13)，(15)，(17)，(19)，前5個(gè)抽屜中，任意兩個(gè)數(shù)都有倍數(shù)關(guān)系從這10個(gè)抽屜中任選11個(gè)數(shù)，必有一個(gè)抽屜中要取2個(gè)數(shù)，它們只能從前5個(gè)抽

14、屜中取出，這兩個(gè)數(shù)就滿足題目要求【鞏固】 從1，3，5，7，97，99中最多可以選出多少個(gè)數(shù)，使得選出的數(shù)中，每一個(gè)數(shù)都不是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)?【解析】 方法一：因?yàn)榫瞧鏀?shù)，所以如果存在倍數(shù)關(guān)系，那么也一定是3、5、7等奇數(shù)倍.3×33：99，于是從35開始，199的奇數(shù)中沒(méi)有一個(gè)是3599的奇數(shù)倍(不包括1倍)，所以選出35，37，39，99這些奇數(shù)即可共可選出33個(gè)數(shù)，使得選出的數(shù)中，每一個(gè)數(shù)都不是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)方法二：利用3的若干次冪與質(zhì)數(shù)的乘積對(duì)這50個(gè)奇數(shù)分組(1，3，9，27，81)，(5，15，45)，(7，21，63)，(11，33)，(13，39)，(17，51)，(

15、19，57)，(23，69)，(25，75)，(29，87)，(31，93)，(35)，(37)，(41)，(43)，(97)共33組前11組，每組內(nèi)任意兩個(gè)數(shù)都存在倍數(shù)關(guān)系，所以每組內(nèi)最多只能選擇一個(gè)數(shù)即最多可以選出33個(gè)數(shù)，使得選出的數(shù)中，每一個(gè)數(shù)都不是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)評(píng)注：12n個(gè)自然數(shù)中，任意取出n+1個(gè)數(shù)，則其中必定有兩個(gè)數(shù)，它們一個(gè)是另一個(gè)的整數(shù)倍；從2，3，2n+1中任取n+2個(gè)數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)，它們一個(gè)是另一個(gè)的整數(shù)倍；從1，2，33n中任取2n+1個(gè)數(shù)，則其中必有兩個(gè)數(shù)，它們中一個(gè)是另一個(gè)的整數(shù)倍，且至少是3倍；從1，2，3， mn中任取(m-1)n+1個(gè)數(shù)，則其中必有兩個(gè)數(shù)，它

16、們中一個(gè)是另一個(gè)的整數(shù)倍，且至少是m倍(m、n為正整數(shù)).【鞏固】 從整數(shù)1、2、3、199、200中任選101個(gè)數(shù)，求證在選出的這些自然數(shù)中至少有兩個(gè)數(shù)，其中的一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù).【解析】 把這個(gè)數(shù)分類如下：1，3，5，99，101，103，199，以上共分為100類，即100個(gè)抽屜，顯然在同一類中的數(shù)若不少于兩個(gè)，那么這類中的任意兩個(gè)數(shù)都有倍數(shù)關(guān)系.從中任取101個(gè)數(shù)，根據(jù)抽屜原理，一定至少有兩個(gè)數(shù)取自同一類，因此其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù).【例 6】 從1，2，3，49，50這50個(gè)數(shù)中取出若干個(gè)數(shù)，使其中任意兩個(gè)數(shù)的和都不能被7整除，則最多能取出多少個(gè)數(shù)？【解析】 將至這個(gè)數(shù)，按除以的

17、余數(shù)分為類：，所含的數(shù)的個(gè)數(shù)分別為，.被7除余1與余6的兩個(gè)數(shù)之和是7的倍數(shù)，所以取出的數(shù)只能是這兩種之一； 同樣的，被7除余2與余5的兩個(gè)數(shù)之和是7的倍數(shù)，所以取出的數(shù)只能是這兩種之一； 被7除余3與余4的兩個(gè)數(shù)之和是7的倍數(shù)，所以取出的數(shù)只能是這兩種之一； 兩個(gè)數(shù)都是7的倍數(shù)，它們的和也是7的倍數(shù)，所以7的倍數(shù)中只能取1個(gè) 所以最多可以取出個(gè) 【例 7】 從1，2，3，99，100這100個(gè)數(shù)中任意選出51個(gè)數(shù)證明：(1)在這51個(gè)數(shù)中，一定有兩個(gè)數(shù)互質(zhì)；(2)在這51個(gè)數(shù)中，一定有兩個(gè)數(shù)的差等于50；(3)在這51個(gè)數(shù)中，一定存在9個(gè)數(shù)，它們的最大公約數(shù)大于1【解析】 (1)我們將110

18、0分成(1，2)，(3，4)，(5，6)，(7，8)，(99，100)這50組，每組內(nèi)的數(shù)相鄰而相鄰的兩個(gè)自然數(shù)互質(zhì)將這50組數(shù)作為50個(gè)抽屜，同一個(gè)抽屜內(nèi)的兩個(gè)數(shù)互質(zhì)而現(xiàn)在51個(gè)數(shù)，放進(jìn)50個(gè)抽屜，則必定有兩個(gè)數(shù)在同一抽屜，于是這兩個(gè)數(shù)互質(zhì)問(wèn)題得證(2)我們將1100分成(1，51)，(2，52)，(3，53)，(40，90)，(50，100)這50組，每組內(nèi)的數(shù)相差50將這50組數(shù)視為抽屜，則現(xiàn)在有51個(gè)數(shù)放進(jìn)50個(gè)抽屜內(nèi)，則必定有2個(gè)數(shù)在同一抽屜，那么這兩個(gè)數(shù)的差為50問(wèn)題得證(3)我們將1100按2的倍數(shù)、3的奇數(shù)倍、既不是2又不是3的倍數(shù)的情況分組，有(2，4，6，8，98，100)

19、，(3，9，15，21，27，93，99)，(5，7，11，13，17，19，23，95，97)這三組第一、二、三組分別有50、17、33個(gè)元素最不利的情況下，51個(gè)數(shù)中有33個(gè)元素在第三組，那么剩下的18個(gè)數(shù)分到第一、二兩組內(nèi)，那么至少有9個(gè)數(shù)在同一組所以這9個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)為2或3或它們的倍數(shù)，顯然大于1【例 8】 有49個(gè)小孩，每人胸前有一個(gè)號(hào)碼，號(hào)碼從1到49各不相同現(xiàn)在請(qǐng)你挑選若干個(gè)小孩，排成一個(gè)圓圈，使任何相鄰兩個(gè)小孩的號(hào)碼數(shù)的乘積小于100，那么你最多能挑選出多少個(gè)孩子?【解析】 將1至49中相乘小于100的兩個(gè)數(shù)，按被乘數(shù)分成9組，如下：(1×2)、(1×3

20、)、(1×4)、(1×49)；(2×3)、(2×4)、(2×5)、(2×49)；(8×9)、(8×10)、(8 ×11)、(8×12)；(9×10)、(9×11).因?yàn)槊總€(gè)數(shù)只能與左右兩個(gè)數(shù)相乘，也就是每個(gè)數(shù)作為被乘數(shù)或乘數(shù)最多兩次，所以每一組中最多會(huì)有兩對(duì)數(shù)出現(xiàn)在圓圈中，最多可以取出18個(gè)數(shù)對(duì)，共18 ×2=36次，但是每個(gè)數(shù)都出現(xiàn)兩次，故出現(xiàn)了18個(gè)數(shù)例如：(10×9)、(9×11)、(1×8)、(8×12)、(12

21、15;7)、(7×13)、(13×6)、(6×14)、(14×5)、(5×15)、(15×4)、(4 ×16)、(16 X 3)、(3×17)、(17×2)、(2×18)、(18 ×1)、(1×10)共出現(xiàn)l18號(hào)，共18個(gè)孩子若隨意選取出19個(gè)孩子，那么共有19個(gè)號(hào)碼，由于每個(gè)號(hào)碼數(shù)要與旁邊兩數(shù)分別相乘，則會(huì)形成19個(gè)相乘的數(shù)對(duì)那么在9組中取出19個(gè)數(shù)時(shí)，有19=9×2+1，由抽屜原則知，必有三個(gè)數(shù)對(duì)落入同一組中，這樣某個(gè)數(shù)字會(huì)在數(shù)對(duì)中出現(xiàn)三次(或三次以上)，由分

22、析知，這是不允許的故最多挑出18個(gè)孩子【例 9】 要把61個(gè)乒乓球分裝在若干個(gè)乒乓球盒中，每個(gè)盒子最多可以裝5個(gè)乒乓球，問(wèn)：至少有多少個(gè)盒子中的乒乓球數(shù)目相同？【解析】 每個(gè)盒子不超過(guò)5個(gè)球，最“壞”的情況是每個(gè)盒子的球數(shù)盡量不相同，為1、2、3、4、5這5種各不相同的個(gè)數(shù)，共有：，最不利的分法是：裝1、2、3、4、5個(gè)球的各4個(gè)，還剩1個(gè)球，要使每個(gè)盒子不超過(guò)5個(gè)球，無(wú)論放入哪個(gè)盒子，都會(huì)使至少有5個(gè)盒子的球數(shù)相同【例 10】 有蘋果和桔子若干個(gè)，任意分成堆，能否找到這樣兩堆，使蘋果的總數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶數(shù)？【解析】 需先跟學(xué)生介紹奇偶性：奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)；奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)；偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)。先用列表

23、法進(jìn)行搭配。由于題目只要求判斷兩堆水果的個(gè)數(shù)關(guān)系，因此可以從水果個(gè)數(shù)的奇、偶性上來(lái)考慮抽屜的設(shè)計(jì)對(duì)于每堆水果中的蘋果、桔子的個(gè)數(shù)分別都有奇數(shù)與偶數(shù)兩種可能，所以每堆水果中蘋果、桔子個(gè)數(shù)的搭配就有種情形：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），其中括號(hào)中的第一個(gè)字表示蘋果數(shù)的奇偶性，第二個(gè)字表示桔子數(shù)的奇偶性將這種情形看成個(gè)抽屜，現(xiàn)有堆水果，根據(jù)抽屜原理可知，這堆水果里至少有堆屬于上述種情形的同一種情形由于奇數(shù)加奇數(shù)為偶數(shù)，偶數(shù)加偶數(shù)仍為偶數(shù)，所以在同一個(gè)抽屜中的兩堆水果，其蘋果的總數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶數(shù)【例 11】 在長(zhǎng)度是厘米的線段上任意取個(gè)點(diǎn)，是否至少有兩個(gè)點(diǎn)，它們之間的距離不大于

24、厘米？【解析】 把長(zhǎng)度厘米的線段等分，那么每段線段的長(zhǎng)度是厘米（見(jiàn)下圖）將每段線段看成是一個(gè)“抽屜”，一共有個(gè)抽屜現(xiàn)在將這個(gè)點(diǎn)放到這個(gè)抽屜中去根據(jù)抽屜原理，至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的點(diǎn)（包括這些線段的端點(diǎn)）由于這兩個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)抽屜里，它們之間的距離當(dāng)然不會(huì)大于厘米所以，在長(zhǎng)度是厘米的線段上任意取個(gè)點(diǎn)，至少存在兩個(gè)點(diǎn)，它們之間的距離不大于厘米【鞏固】 在米長(zhǎng)的直尺上任意點(diǎn)五個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)你說(shuō)明這五個(gè)點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)的距離不大于厘米【解析】 個(gè)點(diǎn)最多把米長(zhǎng)的直尺分成段，要想使每一段都盡量長(zhǎng)，應(yīng)采取平均分的辦法把米長(zhǎng)的直尺平均劃分成四段，每一段厘米，把這四段看成四個(gè)抽屜當(dāng)把五個(gè)點(diǎn)隨意放入四個(gè)抽屜時(shí)

25、，根據(jù)抽屜原理，一定有一個(gè)抽屜里面有兩個(gè)或兩個(gè)以上的點(diǎn)，落在同一段上的這兩點(diǎn)間的距離一定不大于厘米，所以結(jié)論成立【鞏固】 在米長(zhǎng)的水泥陽(yáng)臺(tái)上放盆花，隨便怎樣擺放，請(qǐng)說(shuō)明至少有兩盆花它們之間的距離小于米【解析】 第盆花放在一個(gè)端點(diǎn)上，第盆花放在距第盆花恰為米處（這是兩盆花之間最近的距離了，再近就說(shuō)明題目已經(jīng)正確了兩盆花之間距離小于米）第盆花放在距離第盆花的距離米處，這樣每隔米放盆花，直到陽(yáng)臺(tái)的另一個(gè)盡頭，恰好放第盆花至此，陽(yáng)臺(tái)上的盆花中任意兩盆花之間的距離都按你的設(shè)想不小于米放好了現(xiàn)在考慮最后盆花，它只能放在已放好的盆花所留出的個(gè)空檔內(nèi)了，這已說(shuō)明必有兩盆花之間的距離小于米題目的結(jié)論是正確的【例

26、 12】 在邊長(zhǎng)為3的正三角形內(nèi)，任意放入10個(gè)點(diǎn)，求證：必有兩個(gè)點(diǎn)的距離不大于1【解析】 將邊長(zhǎng)為3的正三角形等分為9個(gè)小正三角形，根據(jù)抽屜原理，10個(gè)點(diǎn)中必有兩個(gè)點(diǎn)落入同一個(gè)小正三角形的內(nèi)部或邊上，那么這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離不會(huì)超過(guò)小正三角形的邊長(zhǎng)，故必有兩個(gè)點(diǎn)的距離不大于1【鞏固】 在邊長(zhǎng)為3米的正方形中，任意放入28個(gè)點(diǎn)，求證：必定有四個(gè)點(diǎn)，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的四邊形的面積不超過(guò)1平方米【解析】 將大正方形分成9個(gè)邊長(zhǎng)為1米的小正方形，則9個(gè)小正方形為“抽屜”，有：，則必有一個(gè)小正方形里(上)至少有(個(gè))點(diǎn)，若這四個(gè)點(diǎn)恰好落在這個(gè)小正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，那么以這4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為1平方米；

27、若有一個(gè)點(diǎn)落在正方形的內(nèi)部或邊上，則面積將小于1平方米綜上所述，不論怎么放，必定有四個(gè)點(diǎn)，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的四邊形的面積不超過(guò)1平方米【鞏固】 在一個(gè)矩形內(nèi)任意放五點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不在一條直線上。證明：在以這五點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中，至少有一個(gè)的面積小于矩形面積的四分之一?！窘馕觥?如右圖，將長(zhǎng)方形按中線分為兩部分，則由抽屜原理知必然有3個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)區(qū)域，那么由這3個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積必然小于該區(qū)域的一半，即長(zhǎng)方形面的四分之一?！纠?13】 在一個(gè)直徑為厘米的圓內(nèi)放入七個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)證明一定有兩個(gè)點(diǎn)的距離不大于厘米【解析】 將圓分成六個(gè)面積相等的扇形，這六個(gè)扇形可以看成六個(gè)抽屜，七個(gè)點(diǎn)看成七個(gè)蘋果，這樣

28、必有一個(gè)抽屜有兩個(gè)蘋果，即一定有兩個(gè)點(diǎn)的距離不大于厘米【鞏固】 平面上給定17個(gè)點(diǎn)，如果任意三個(gè)點(diǎn)中總有兩個(gè)點(diǎn)之間的距離小于1，證明：在這17個(gè)點(diǎn)中必有9個(gè)點(diǎn)可以落在同一半徑為1的圓內(nèi)。【解析】 如果17個(gè)點(diǎn)中，任意兩點(diǎn)之間的距離都小于1，那么，以這17個(gè)點(diǎn)中任意一點(diǎn)為圓心，以1為半徑作一個(gè)圓，這17個(gè)點(diǎn)必然全落在這個(gè)圓內(nèi)。如果這17點(diǎn)中，有兩點(diǎn)之間距離不小于1(即大于或等于1)，設(shè)這兩點(diǎn)為、，分別以、為圓心，1為半徑作兩個(gè)圓(如圖)。把這兩個(gè)圓看作兩個(gè)抽屜，由于任意三點(diǎn)中總有兩個(gè)點(diǎn)之間的距離小于1，因此其他15個(gè)點(diǎn)中每一點(diǎn)，到、的距離必有一個(gè)小于1。也就是說(shuō)這些點(diǎn)必落在某一個(gè)圓中。根據(jù)抽屜原

29、理必有一個(gè)圓至少包含這15個(gè)點(diǎn)中的8個(gè)點(diǎn)。由于圓心是17個(gè)點(diǎn)中的一點(diǎn)，因此這個(gè)圓至少包含17個(gè)點(diǎn)中的9個(gè)點(diǎn)?！纠?14】 9條直線的每一條都把一個(gè)正方形分成兩個(gè)梯形，而且它們的面積之比為23。證明：這9 條直線中至少有3 條通過(guò)同一個(gè)點(diǎn)。【解析】 設(shè)正方形為，、分別是，的中點(diǎn)。設(shè)直線把正方形分成兩個(gè)長(zhǎng)方形和，并且與相交于（如圖）,長(zhǎng)方形的面積長(zhǎng)方形的面積，如果把直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，原來(lái)的兩個(gè)長(zhǎng)方形就變成兩個(gè)梯形，根據(jù)割補(bǔ)法兩個(gè)梯形的面積比也為，所以只要直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到的兩個(gè)梯形的面積比為，所以將長(zhǎng)方形分成的兩個(gè)梯形必定經(jīng)過(guò)點(diǎn)，同樣根據(jù)對(duì)稱經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線也是滿足條件的直線，同理我們還可以找到

30、把長(zhǎng)方形分成上下兩個(gè)梯形的兩個(gè)點(diǎn)這樣，在正方形內(nèi)就有4個(gè)固定的點(diǎn)，凡是把正方形面積分成兩個(gè)面積為23 的梯形的直線，一定通過(guò)這4點(diǎn)中的某一個(gè)。我們把這4個(gè)點(diǎn)看作4個(gè)抽屜，9條直線看作9個(gè)蘋果，由抽屜原理可知，所以，必有一個(gè)抽屜內(nèi)至少放有3個(gè)蘋果，也就是，必有三條直線要通過(guò)一個(gè)點(diǎn)。【例 15】 如圖，能否在行列的方格表的每一個(gè)空格中分別填上，這三個(gè)數(shù)，使得各行各列及對(duì)角線上個(gè)數(shù)的和互不相同？并說(shuō)明理由【解析】 從問(wèn)題入手：因?yàn)閱?wèn)的是和，所以就從和的種類入手。由，組成的和中最小為，最大的為，中共有種結(jié)果，而行列加上對(duì)角線共有個(gè)和，根據(jù)抽屜原理，必有兩和是相同的，所以此題不能滿足要求【鞏固】 能否在

31、10行10列的方格表的每個(gè)空格中分別填上1，2，3這三個(gè)數(shù)之一，使得大正方形的每行、每列及對(duì)角線上的10個(gè)數(shù)字之和互不相同？對(duì)你的結(jié)論加以說(shuō)明【解析】 大正方形的每行、每列及對(duì)角線上的10個(gè)數(shù)字之和最小是10，最大是30因?yàn)閺?0到30之間只有21個(gè)互不相同的整數(shù)值，把這21個(gè)互不相同的數(shù)值看作21個(gè)“抽屜”，而10行、10列及兩條對(duì)角線上的數(shù)字和共有22個(gè)整數(shù)值，這樣元素的個(gè)數(shù)比抽屜的個(gè)數(shù)多1個(gè)，根據(jù)抽屜原理可知，至少有兩個(gè)和同屬于一個(gè)抽屜，故要使大正方形的每行、每列及對(duì)角線上的10個(gè)數(shù)字之和互不相同是不可能的【例 16】 （南京市第三屆“興趣杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽C卷第12題）如下圖 ，、

32、四只小盤拼成一個(gè)環(huán)形，每只小盤中放若干糖果，每次可取出1只、或3只、或4只盤中的全部糖果，也可取出2只相鄰盤中的全部糖果.要使1至13粒糖果全能取到，四只盤中應(yīng)各有 粒糖果.把各只盤中糖果的粒數(shù)填在下圖中.圖 圖 【解析】 有兩種方法（填出一種即可），如下圖【鞏固】 (南京市第三屆“興趣杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽D卷第12題)如右圖、四只小盤拼成一個(gè)環(huán)形，每只小盤中放若干糖果.每次可取出1只、或3只、或4只盤中的全部糖果，也可取出2只相鄰盤中的全部糖果.這樣取出的糖果數(shù)最多有幾種？請(qǐng)說(shuō)明理由. 【解析】 最多為種.因?yàn)槿≈槐P子有種取法；取只盤子（即有1種盤子不?。?，也有四種取法；取4只盤子只有1只

33、取法；取兩只相鄰的盤子，在第1只取定后，（依順時(shí)針?lè)较颍?只也就確定了，所以也有4種取法.共有種取法.滿足13種取法的糖果放法可以有無(wú)數(shù)多種.例題的解表明糖果數(shù)可以為113這13種.【例 17】 如右圖，分別標(biāo)有數(shù)字的滾珠兩組，放在內(nèi)外兩個(gè)圓環(huán)上，開始時(shí)相對(duì)的滾珠所標(biāo)的數(shù)字都不相同當(dāng)兩個(gè)圓環(huán)按不同方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，必有某一時(shí)刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對(duì)數(shù)字相同的滾珠相對(duì)【分析】 內(nèi)外兩個(gè)圓環(huán)對(duì)轉(zhuǎn)可以看成一個(gè)靜止，只有一個(gè)環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)，一個(gè)環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)一周后，每個(gè)滾珠都會(huì)有一次與標(biāo)有相同數(shù)字的滾珠相對(duì)的局面出現(xiàn)，那么這種局面共要出現(xiàn)次.將這次局面看成個(gè)蘋果，注意到一環(huán)每轉(zhuǎn)動(dòng)角就有一次滾珠相對(duì)的局面出現(xiàn)，轉(zhuǎn)動(dòng)一周共

34、有次滾珠相對(duì)的局面，而最初相對(duì)滾珠所標(biāo)數(shù)字都不相同，所以相對(duì)的滾珠所標(biāo)的數(shù)字相同的情況只出現(xiàn)在以后的次轉(zhuǎn)動(dòng)中，將次轉(zhuǎn)動(dòng)看做個(gè)抽屜，根據(jù)抽屜原理至少有次數(shù)字相對(duì)的局面出現(xiàn)在同一次轉(zhuǎn)動(dòng)中即必有某一時(shí)刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對(duì)數(shù)字相同的滾珠相對(duì)【鞏固】 8位小朋友圍著一張圓桌坐下，在每位小朋友面前都放著一張紙條，上面分別寫著這8位小朋友的名字開始時(shí)，每位小朋友發(fā)現(xiàn)自己面前所對(duì)的紙條上寫的都不是自己的名字，請(qǐng)證明：經(jīng)過(guò)適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)圓桌，一定能使至少兩位小朋友恰好對(duì)準(zhǔn)自己的名字【解析】 沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)圓桌，每次轉(zhuǎn)動(dòng)一格，使每位小朋友恰好對(duì)準(zhǔn)桌面上的字條，經(jīng)過(guò)8次轉(zhuǎn)動(dòng)后，桌面又回到原來(lái)的位置在這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中

35、，每位小朋友恰好對(duì)準(zhǔn)桌面上寫有自己名字的字條一次，我們把每位小朋友與自己名字相對(duì)的情況看作“蘋果”，共有8只“蘋果”另一方面，由于開始時(shí)每個(gè)小朋友都不與自己名字相對(duì)，所以小朋友與自己名字相對(duì)的情況只發(fā)生在7次轉(zhuǎn)動(dòng)中，這樣7次轉(zhuǎn)動(dòng)(即7個(gè)“抽屜”)將產(chǎn)生8位小朋友對(duì)準(zhǔn)自己名字的情況，由抽屜原理可知，至少在某一次轉(zhuǎn)動(dòng)后，有兩個(gè)或兩個(gè)以上的小朋友對(duì)準(zhǔn)自己的名字【例 18】 時(shí)鐘的表盤上按標(biāo)準(zhǔn)的方式標(biāo)著1，2，3，11，12這12個(gè)數(shù)，在其上任意做n個(gè)120°的扇形，每一個(gè)都恰好覆蓋4個(gè)數(shù)，每?jī)蓚€(gè)覆蓋的數(shù)不全相同如果從這任做的n個(gè)扇形中總能恰好取出3個(gè)覆蓋整個(gè)鐘面的全部12個(gè)數(shù)，求n的最小值

36、 【解析】 （1）當(dāng)時(shí)，有可能不能覆蓋12個(gè)數(shù)，比如每塊扇形錯(cuò)開1個(gè)數(shù)擺放，蓋住的數(shù)分別是：（12，1，2，3）；（1，2，3，4）；（2，3，4，5）；（3，4，5，6）；（4，5，6，7）；（5，6，7，8）；（6，7，8，9）；（7，8，9，10），都沒(méi)蓋住11，其中的3個(gè)扇形當(dāng)然也不可能蓋住全部12個(gè)數(shù) （2）每個(gè)扇形覆蓋4個(gè)數(shù)的情況可能是： （1，2，3，4）（5，6，7，8）（9，10，11，12）覆蓋全部12個(gè)數(shù) （2，3，4，5）（6，7，8，9）（10，11，12，1）覆蓋全部12個(gè)數(shù) （3，4，5，6）（7，8，9，10）（11，12，1，2）覆蓋全部12個(gè)數(shù) （4，5，6

37、，7）（8，9，10，11）（12，1，2，3）覆蓋全部12個(gè)數(shù) 當(dāng)時(shí)，至少有3個(gè)扇形在上面4個(gè)組中的一組里，恰好覆蓋整個(gè)鐘面的全部12個(gè)數(shù) 所以n的最小值是9 【鞏固】 (2009年清華附中入學(xué)測(cè)試題)如圖，在時(shí)鐘的表盤上任意作個(gè)的扇形，使得每一個(gè)扇形都恰好覆蓋個(gè)數(shù)，且每?jī)蓚€(gè)扇形覆蓋的數(shù)不全相同，求證：一定可以找到個(gè)扇形，恰好覆蓋整個(gè)表盤上的數(shù)并舉一個(gè)反例說(shuō)明，作個(gè)扇形將不能保證上述結(jié)論成立【解析】 在表盤上共可作出12個(gè)不同的扇形，且112中的每個(gè)數(shù)恰好被4個(gè)扇形覆蓋將這12個(gè)扇形分為4組，使得每一組的3個(gè)扇形恰好蓋住整個(gè)表盤那么，根據(jù)抽屜原理，從中選擇9個(gè)扇形，必有個(gè)扇形屬于同一組，那么

38、這一組的3個(gè)扇形可以覆蓋整個(gè)表盤另一方面，作8個(gè)扇形相當(dāng)于從全部的12個(gè)扇形中去掉4個(gè)，則可以去掉蓋住同一個(gè)數(shù)的4個(gè)扇形，這樣這個(gè)數(shù)就沒(méi)有被剩下的8個(gè)扇形蓋住，那么這8個(gè)扇形不能蓋住整個(gè)表盤課后練習(xí)練習(xí)1. 籃子里有蘋果、梨、桃和桔子，現(xiàn)有若干個(gè)小朋友，如果每個(gè)小朋友都從中任意拿兩個(gè)水果，那么至少有多少個(gè)小朋友才能保證有兩個(gè)小朋友拿的水果是相同的？【解析】 首先應(yīng)弄清不同的水果搭配有多少種兩個(gè)水果是相同的有4種，兩個(gè)水果不同有6種：蘋果和梨、蘋果和桃、蘋果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子所以不同的水果搭配共有（種）將這10種搭配作為10個(gè)“抽屜”由抽屜原理知至少需個(gè)小朋友才能保證有兩個(gè)小朋友

39、拿的水果是相同的練習(xí)2. 將每一個(gè)小方格涂上紅色、黃色或藍(lán)色（每一列的三小格涂的顏色不相同），不論如何涂色，其中至少有兩列，它們的涂色方式相同，你同意嗎？【解析】 這道題是例題的拓展提高，通過(guò)列舉我們發(fā)現(xiàn)給這些方格涂色，要使每列的顏色不同，最多有種不同的涂法，涂到第六列以后，就會(huì)跟前面的重復(fù)所以不論如何涂色，其中至少有兩列它們的涂色方式相同練習(xí)3. 從，這個(gè)數(shù)中任意挑出個(gè)數(shù)來(lái)，證明在這個(gè)數(shù)中，一定有兩個(gè)數(shù)的差為?！窘馕觥?將個(gè)數(shù)分成組：，將其看作個(gè)抽屜，在選出的個(gè)數(shù)中，必有兩個(gè)屬于一組，這一組的差為這道題也同樣可以從小數(shù)入手考慮練習(xí)4. (南京市首屆“興趣杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)從1至36個(gè)數(shù)中，

40、最多可以取出_個(gè)數(shù)，使得這些數(shù)種沒(méi)有兩數(shù)的差是5的倍數(shù)【解析】 構(gòu)造公差為的數(shù)列，如圖，有五條鏈，看成個(gè)抽屜，每條鏈上取1個(gè)數(shù)，最多取5個(gè)數(shù)161116212631362712172227323813182328334914192429345101520253035練習(xí)5. (小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試題)在米長(zhǎng)的水泥陽(yáng)臺(tái)上放盆花，隨便怎樣擺放，至少有幾盆花之間的距離不超過(guò)米【解析】 如果每?jī)膳柚g的距離都超過(guò)米，那么總距離超過(guò)(米)另一方面，可以使開始的盆每?jī)膳柚g距離略大于2米，而最后兩盆之間小于2米所以，至少有兩盆之間的距離不超過(guò)2米練習(xí)6. 用數(shù)字1，2，3，4，5，6填滿一個(gè)的方格表，如右圖所示，每個(gè)小方格只填其中一個(gè)數(shù)字，將每個(gè)正方格內(nèi)的四個(gè)數(shù)字的和稱為這個(gè)正方格的“標(biāo)示數(shù)”問(wèn)：能否給出一種填法，使得任意兩個(gè)“標(biāo)示數(shù)”均不相同？如果能，請(qǐng)舉出一例；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】 先計(jì)算出每個(gè)正方格內(nèi)的四個(gè)數(shù)字的和最小為4，最大為24，從4到24共有21個(gè)不同的值，即有21個(gè)“抽屜”；再找出在的方格表最多有：(個(gè))正方格的“標(biāo)示數(shù)”，即有25個(gè)“蘋果”,根據(jù)抽屜原理，必有兩個(gè)“標(biāo)示數(shù)”相同練習(xí)7. 將400本書隨意分給若干同學(xué)，但是每個(gè)人不許超過(guò)11本，問(wèn)：至少有多少個(gè)同