第6課時矩形的判定

1、第6課時 矩形的判定（練習(xí)本）一、變式強化：1（原創(chuàng)題）下列各句判定矩形的說法是否正確？ （1）有一個角是直角的四邊形是矩形； （ ）（2）四個角都相等的四邊形是矩形； （ ）（3）對角線相等的四邊形是矩形； （ ）（4）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形； （ ）（5）對角線相等，且有一個角是直角的四邊形是矩形； （ ）2（改編題）在四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC.請再添加一個條件，使四邊形ABCD是矩形.你添加的條件是 .(寫出一種即可)【答案】A=90°或B=90°或C=90°或D=90°或AC=BD(答案不唯一，寫出一種即可)3（改編題

2、）如圖，在ABCD中，E、F為BC兩點，且BECF，AFDE求證：四邊形ABCD是矩形思路：易證四邊形ABCD是平行四邊形，再利用SSS證明ABFDCEB=C，四邊形ABCD是平行四邊形，ABCDB+C=180°B=C=90°，四邊形ABCD是平行四邊形，且B=90°，四邊形ABCD是矩形二、例題變式4（改編題）P22頁例5變式題1：已知：如圖，ABCD的四個內(nèi)角的平分線分別相交于點E，F(xiàn)，G，H求證：四邊形EFGH是矩形【解答】證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，DAB+ABC=180°，AH，BH分別平分DAB與ABC，HAB=DAB，HBA

3、=ABC，HAB+HBA=90°，H=90°，同理HEF=F=90°，四邊形EFGH是矩形【說明】本題是將例5的“圖形”和“條件”兩個維度進行變式，但與例5的解題策略相仿，都是證明三個內(nèi)角是直角，再利用“三個角是直角的四邊形是矩形”來解決問題；通過本題和例5同學(xué)們要掌握從“直角”思路證明矩形的常用方法5 P22頁例5變式題2：（改編題）如圖，在平行四邊形ABCD中，以AC為斜邊作RtACE，且BED為直角求證：四邊形ABCD是矩形【解答】證明：連接EO，四邊形ABCD是平行四邊形，AO=CO，BO=DO，在RtEBD中，O為BD中點，EO=BD，在RtAEC中，O

4、為AC中點，EO=AC，AC=BD，又四邊形ABCD是平行四邊形，平行四邊形ABCD是矩形【說明】本題是主要將例5的“策略”進行變式，它需要同學(xué)們先作輔助線，再從“對角線相等”思路來證明矩形，可見，本例是對變式1的進一步補充，同時也彌補了教材例題的不足三、習(xí)題變式：6P23頁練習(xí)題3的變式題：（改編題）工人師傅做鋁合金窗框分下面三個步驟進行：先截出兩對符合規(guī)格的鋁合金窗料（如圖），使ABCD，EFGH； 擺放成如圖的四邊形，則這時窗框的形狀是 形，根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是： ； 將直角尺靠緊窗框的一個角（如圖），調(diào)整窗框的邊框，當(dāng)直角尺的兩條直角邊與窗框無縫隙時（如圖），說明窗框合格，這時窗框是 形，

5、根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是： ；【解答】（2）平行四邊形兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形（3）矩形有一個角是直角的平行四邊形是矩形【說明】此題主要考查了平行四邊形和矩形的判定，為最基本的知識點，難易程度適中同學(xué)們特別要注意用數(shù)學(xué)之眼看社會、世界，著力培養(yǎng)自身的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識四、思維提升7(改編題) 如圖，在ABC中，點O是AC邊上（端點除外）的一個動點，過點O作直線MNBC.設(shè)MN交BCA的平分線于點E,交BCA的外角平分線于點F，連接AE、AF那么當(dāng)點O運動到何下時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論【解答】當(dāng)點O運動到AC的中點（或OA=OC）時，四邊形AECF是矩形 證明：CE平分BCA,1=

6、2， 又MNBC, 1=3，3=2，EO=CO. 同理，F(xiàn)O=CO EO=FO又OA=OC, 四邊形AECF是平行四邊形 又1=2，4=5，1+5=2+4 又1+5+2+4=180°2+4=90°四邊形AECF是矩形【說明】 “運動問題”中需要在運動變化中尋找不變關(guān)鍵證明OE=OF,然后根據(jù)細心觀察，從一般到特殊,找出使結(jié)論成立時點O的特殊位置AC的中點整個解決問題過程中，數(shù)學(xué)知識矩形的判定、解題策略從變中找不變、數(shù)學(xué)思想一般到特殊，這些問題同學(xué)們要不斷地積累知識、經(jīng)驗，逐漸駕輕就熟五、中考鏈接8（2011 南京·中考題）如圖，將ABCD的邊DC延長到點E，使CE

7、=DC，連接AE，交BC于點FABCDEF1 求證：ABFECF若AFC=2D，連接AC、BE求證：四邊形ABEC是矩形【解答】證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD,AB=CDABF=ECF.EC=DC, AB=EC在ABF和ECF中，ABF=ECF，AFB=EFC，AB=EC，ABFECF（2）解法一：AB=EC ，ABEC，四邊形ABEC是平行四邊形AF=EF， BF=CF四邊形ABCD是平行四邊形，ABC=D，又AFC=2D，AFC=2ABCAFC=ABF+BAF，ABF=BAFFA=FB FA=FE=FB=FC, AE=BC口ABEC是矩形解法二：AB=EC ，ABEC，四邊形A

8、BEC是平行四邊形四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，D=BCE又AFC=2D，AFC=2BCE，AFC=FCE+FEC，F(xiàn)CE=FECD=FECAE=AD又CE=DC，ACDE即ACE=90°口ABEC是矩形【說明】證明矩形的思路有三條，本題有兩種證明方法，主要考查了全等三角形、等腰三角形、平行四邊形的性質(zhì)、判定和矩形的判定等數(shù)學(xué)知識，而這些知識經(jīng)?！敖Y(jié)伴”出現(xiàn)同學(xué)們需要學(xué)會一題多解，靈活、綜合運用這些數(shù)學(xué)知識六、創(chuàng)設(shè)新情景9（改編題）閱讀以下短文，然后解決下列問題：如果一個三角形和一個矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形的這邊所對的頂點在矩形這邊的對邊上，則稱這

9、樣的矩形為三角形的“友好矩形”. 如圖8所示，矩形ABEF即為ABC的“友好矩形”. 顯然，當(dāng)ABC是鈍角三角形時，其“友好矩形”只有一個 .(1) 仿照以上敘述，說明什么是一個三角形的“友好平行四邊形”；(2) 如圖8，若ABC為直角三角形，且C=90°，在圖8中畫出ABC的所有“友好矩形”，并比較這些矩形面積的大小；(3) 若ABC是銳角三角形，且BC>AC>AB，在圖8中畫出ABC的所有“友好矩形”，指出其中周長最小的矩形并加以證明. 【解答】(1) 如果一個三角形和一個平行四邊形滿足條件：三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合，三角形這邊所對的頂點在平行四邊形這邊的對邊上，則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”. (2) 此時共有2個友好矩形，如圖的BCAD、ABEF.易知，矩形BCAD、ABEF的面積都等于ABC面積的2倍， ABC的“友好矩形”的面積相等. (3) 此時共有3個友好矩形，如圖的BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周長最小 . 證明如下：易知，這三個矩形的面積相等，令其為S. 設(shè)矩形BCDE、CAFG及ABHK的周長分別為L1，L2，L3，ABC的邊長BC=a，CA=b，AB=c，則L1=+2a，L2=+2b，L3=+2c . L1- L2=(+2a)-