第29章銳角三角函數(shù)及解直角三角形 (2)

1、（最新最全）2012年全國各地中考數(shù)學(xué)解析匯編（按章節(jié)考點整理）第二十九章銳角三角函數(shù)及解直角三角形29.1銳角三角函數(shù)以及特殊角（2011江蘇省無錫市，2，3）sin45°的值是（ ）A. B. C. D.1【解析】sin45°=【答案】B【點評】本題主要考查常見銳角三角函數(shù)值。需要學(xué)生記憶，這是對基礎(chǔ)知識的考查，屬于容易題。（2012四川內(nèi)江，11，3分）如圖4所示，ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則sinA的值為CBA圖4AB C D【解析】欲求sinA，需先尋找A所在的直角三角形，而圖形中A所在的ABC并不是直角三角形，所以需要作高觀察格點圖形發(fā)現(xiàn)連接CD（如下圖所

2、示），恰好可證得CDAB，于是有sinACBA圖4D【答案】B【點評】在斜三角形中求三角函數(shù)值時往往需要作高構(gòu)造直角三角形，將這類問題以格點圖形為背景展現(xiàn)時，要注意利用格點之間連線的特殊位置靈活構(gòu)造解決這類問題，一要注意構(gòu)造出直角三角形，二要熟練掌握三角函數(shù)的定義29.2三角函數(shù)的有關(guān)計算（2012福州，9，4分，）如圖，從熱氣球C處測得地面A、B兩點的俯角分別為30°、45°，如果此時熱氣球C處的高度CD為100米，點A、D、B在同一直線上，則AB兩點的距離是（ ）A200米 B. 米 C. 米 D. 米解析：由題意，A=30°，B=45°，則，又CD

3、=100，因此AB=AD+DB=。答案：D點評：本題考查了俯角概念、30°、45°的正切三角函數(shù)值，考察了用三角函數(shù)模型解決實際問題的能力，難度中等。8題圖ABC ( 2012年浙江省寧波市,8,3)如圖，RtABC,C=900,AB=6,cosB=,則BC的長為（A）4 (B)2 (C) (D) 【解析】由三角函數(shù)余弦的定義cosB=，又AB=6BC=4,故選A【答案】A【點評】本題考查三角函數(shù)的定義，比較容易.（2012福州,15，4分，）如圖，已知ABC，AB=AC=1，A=36°，ABC的平分線BD交AC于點D，則AD的長是 ，cosA的值是 .（結(jié)果保留

4、根號）解析：由已知條件，可知BDC、ADB是等腰三角形，且DA=DB=BC，可證BDCABC，則有，設(shè)BC=x，則DC=1-x，因此，解方程得，（不合題意，舍去），即AD=；又cosA=答案：點評：本題考查了等腰三角形的判定、性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，一元二次方程的解法，二次根式的化簡，構(gòu)造直角三角形求非特殊角的三角函數(shù)值等，涉及知識點較為廣泛，具有較強的綜合性，難度較大。（2012連云港，3，3分）小明在學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”中發(fā)現(xiàn)，將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC上的點E處，還原后，再沿過點E的直線折疊，使點A落在BC上的點F處，這樣就可以求出67.5

5、76;的角的正切值是A.+1 B. +1 C. 2.5 D.【解析】注意折疊后兩點對稱，也就是說ABE和AEF都是等腰三角形。得到67.5°的角為FAB?！敬鸢浮吭O(shè)AB=x,則BE=x,在直角三角形ABE中，用勾股定理求出AE=EF=x,于是BF=（+1）x.在直角三角形ABF中，tanFAB=+1=tan67.5°.選B?！军c評】根據(jù)折疊得到A、E關(guān)于折痕對稱，從而根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到等腰三角形。求出兩線段的長。 (2012山東德州中考,7,3,)為了測量被池塘隔開的A，B兩點之間的距離，根據(jù)實際情況，作出如下圖形，其中，AF交BE于D，C在BD上有四位同學(xué)分別測量出以下

6、四組數(shù)據(jù)：BC，ACB； CD，ACB，ADB；EF，DE，BD；DE，DC，BC能根據(jù)所測數(shù)據(jù)，求出A，B間距離的有（ ）（A）1組（B）2組（C）3組（D）4組ABCDEFF【解析】對于，可由公式AB=BC×tanACB求出A、B兩點間的距離；對于，可設(shè)AB的長為x，則BC=，BD=，BD-BC=CD，可解出AB對于，易知DEFDBA，則，可求出AB的長；對于無法求得，故有、三個，故選C【答案】C【點評】此題考查解直角三角形和三角形相似的性質(zhì)與判定在直角三角形中至少要有已知一邊和一角才能求出其他未知元素；判定兩三角形相似的方法有：AA，SAS，SSS，兩直角三角形相似的判定還有H

7、L22題圖（2012貴州銅仁，22，10分）如圖，定義：在直角三角形ABC中，銳角的鄰邊與對邊的比叫做角的余切，記作ctan, 即ctan=，根據(jù)上述角的余切定義，解下列問題：（1）ctan30= ；（2）如圖，已知tanA=，其中A為銳角，試求ctanA的值【分析】（1）可先設(shè)最小邊長為一個特殊數(shù)（這樣做是為了計算方便），然后在計算出其它邊長，根據(jù)余切定義進而求出ctan30。（2）由tanA=，為了計算方便，可以設(shè)BC=3 AC=4根據(jù)余切定義就可以求出ctanA的值【解析】（1）設(shè)BC=1, =30AB=2由勾股定理得：AC=ctan30=(2) tanA=設(shè)BC=3 AC=4ctanA

8、=【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義和直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)往往和直角三角形聯(lián)系在一起考查。命題時常常和現(xiàn)實中的一些實際問題結(jié)合在一起。需要注意的是，在運用三角函數(shù)概念及其關(guān)系式時，計算易錯，名稱易混淆；特殊角的三角函數(shù)值易混淆，也容易把一個角與其余角的三角函數(shù)值混淆。（2012浙江麗水4分，16題）如圖，在直角梯形ABCD中，A=90°，B=120°，AD=，AB=6.在底邊AB上取點E，在射線DC上取點F，使得DEF=120°.（1）當(dāng)點E是AB的中點時，線段DF的長度是_；（2）若射線EF經(jīng)過點C，則AE的長是_.【解析】：AE=AB=3.在RtA

9、DE中，tanADE=.所以ADE=60°，所以DE=，AED=EDF=BEF=30°，所以ED=EF.過點E作EGDC于G，則DF=2DG=2×DE·cos30°=2×2×=6；（2）過C作CH直線AB于E，那么CH=AD=，由勾股定理D得BH=1。所以CD=7。易知BCEEDC，所以BE：CE=CE：CD，所以CE2=CD×DC，設(shè)BE=x，則CE2=7x。在RtCEH中，由勾股定理得CE2=EH2+CH2，得（x+1）2+3=7x，解之，得x=1或4。當(dāng)x=1時，AE=5；當(dāng)x=4時，AE=2。故AE的長為5

10、或2?！敬鸢浮浚海?）6；（2）2或5【點評】：本題考查梯形、解直角三角形、勾股定理、相似三角形等知識，應(yīng)注意知識點的融會貫通.本題具有一定的難度.（2012江蘇泰州市，18,3分）如圖，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交于點P，則tanAPD的值是 【解析】 要求tanAPD的值，只要將APD放在直角三角形中，故過B作CD的垂線，然后利用勾股定理計算出線段的長度，最后利用正切的定義計算出結(jié)果即可【答案】作BMCD，DNAB垂足分別為M、N，則BM=DM=，易得：DN=，設(shè)PM=x，則PD=-x，由DNPBMP，得：，即，PN=x，由DN

11、2+PN2=PD2，得：+x2=(-x)2，解得：x1=，x2=（舍去），tanAPD=2【點評】選擇合適的格點直角三角形是計算線段長、銳角三角函數(shù)值的基礎(chǔ)，還要注意網(wǎng)格中線段的長度都可以在直角三角形中去解決（2012福州，9，4分，）如圖，從熱氣球C處測得地面A、B兩點的俯角分別為30°、45°，如果此時熱氣球C處的高度CD為100米，點A、D、B在同一直線上，則AB兩點的距離是（ ）A200米 B. 米 C. 米 D. 米解析：由題意，A=30°，B=45°，則，又CD=100，因此AB=AD+DB=。答案：D點評：本題考查了俯角概念、30°

12、;、45°的正切三角函數(shù)值，考察了用三角函數(shù)模型解決實際問題的能力，難度中等。（2012福州,15，4分，）如圖，已知ABC，AB=AC=1，A=36°，ABC的平分線BD交AC于點D，則AD的長是 ，cosA的值是 .（結(jié)果保留根號）解析：由已知條件，可知BDC、ADB是等腰三角形，且DA=DB=BC，可證BDCABC，則有，設(shè)BC=x，則DC=1-x，因此，解方程得，（不合題意，舍去），即AD=；又cosA=答案：點評：本題考查了等腰三角形的判定、性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，一元二次方程的解法，二次根式的化簡，構(gòu)造直角三角形求非特殊角的三角函數(shù)值等，涉及知識點較為廣泛

13、，具有較強的綜合性，難度較大。（2011山東省濰坊市，題號9，分值3）9、輪船從B處以每小時海里的速度沿男偏東30°方向勻速航行，在B處觀測燈塔A位于南偏東75°方向上，輪船航行半小時到達C處，在觀測燈塔A北偏東60°方向上，則C處與燈塔A的距離是（ ）海里AB C 50D25考點：方位角和等腰三角形的判定解答：根據(jù)路程=速度時間得 BC=50×0.5=25海里；根據(jù)方位角知識得，BCD=30°，=75°30°；CB=BCD+ACD=30°+60°=90°；A=CBD=45°所以CA=

14、CB 所以CB=25海里，本題正確答案是D點評：本題考查了方位角和等腰三角形的判定的有關(guān)知識。在解決方位角問題時，利用平行線的有關(guān)知識得到角度的關(guān)系，從而得到線段的關(guān)系是解決問題的常用方法和思路。（2012湖北襄陽，10，3分）在一次數(shù)學(xué)活動中，李明利用一根拴有小錘的細線和一個半圓形量角器制作了一個測角儀，去測量學(xué)校內(nèi)一座假山的高度CD如圖5，已知李明距假山的水平距離BD為12m，他的眼睛距地面的高度為1.6m，李明的視線經(jīng)過量角器零刻度線OA和假山的最高點C，此時，鉛垂線OE經(jīng)過量角器的60°刻度線，則假山的高度為A(41.6)mB(121.6)mC(41.6)mD4m圖5CDAB

15、OE【解析】如下圖，過點A作AFCD于F，則AFBD12m，F(xiàn)DAB1.6m再由OECF可知CAOE60°所以，在RtACF中，CF4，那么CDCFFD(41.6)mAOBEDCF【答案】A【點評】通過作高將問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題是解答關(guān)鍵，其間需要具有良好的閱讀理解能力，能將對應(yīng)線段和角之間的關(guān)系理清（2012浙江麗水4分，16題）如圖，在直角梯形ABCD中，A=90°，B=120°，AD=，AB=6.在底邊AB上取點E，在射線DC上取點F，使得DEF=120°.（1）當(dāng)點E是AB的中點時，線段DF的長度是_；（2）若射線EF經(jīng)過點C，則AE的長是

16、_.【解析】：AE=AB=3.在RtADE中，tanADE=.所以ADE=60°，所以DE=，AED=EDF=BEF=30°，所以ED=EF.過點E作EGDC于G，則DF=2DG=2×DE·cos30°=2×2×=6；（2）【答案】：（1）6；（2）2或5【點評】：本題考查梯形、解直角三角形、勾股定理、相似三角形等知識，應(yīng)注意知識點的融會貫通.本題具有一定的難度.（2012安徽，19，10分）如圖，在ABC中，A=30°，B=45°，AC=，求AB的長，第19題圖解析：本題在一個三角形中已知兩個角和一邊，

17、求三角形的邊.不是直角三角形，要利用三角函數(shù)必須構(gòu)筑直角三角形，過點C作CDAB于D,利用構(gòu)造的兩個直角三角形來解答.解:過點C作CDAB于D,在RtACD中，A=30°，AC=CD=AC×sinA=×0.5=，AD=AC×cosA=×=3，在RtBCD中，B=45°，則BD=CD=，AB=AD+BD=3+點評：解直角三角形中，除了直角外，還知道兩個元素（至少有一個是邊），就能求出其余的邊和角. 一般三角形中，知道三個元素（至少有一個是邊），就能求出其余的邊和角. 這時將三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形時，注意盡量不要破壞所給條件.（2012湖

18、南婁底，20，7分）如圖9，小紅同學(xué)用儀器測量一棵大樹AB的高度，在C處測得ADG=30°，在E處測得AFG=60°，CE=8米，儀器高度CD=1.5米，求這棵樹AB的高度（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字，1.732）.AGBFECD30°60°【解析】在RtADG中，可設(shè)AG=x，利用已知角的三角函數(shù)可用x表示出DG的長，在RtAFG中，根據(jù)AFG的正切函數(shù)可用x表示出FG的長，因為DG-FG=DF，所以可列方程求出x的長，AG再加上儀器的高度即為大樹的高【答案】解：設(shè)AG=xm，在RtADG中，ADG=30°，DG=AG=xm；在RtAED中，AFG

19、=60°，AG=x，F(xiàn)G=x，DG-FG=DF,DF=CE=8 x-x=8,解得x=46.93, AB=AG+BG=6.93+1.58.4.答：大樹AB的高約為8.4米【點評】本題考查直角三角形的解法，首先構(gòu)造直角三角形，再借助角邊關(guān)系、三角函數(shù)的定義解題 (2012重慶，20，6分)已知：如圖，在RtABC中，BAC=90°，點D在BC邊上，且ABD是等邊三角形。若AB=2，求ABC的周長。（結(jié)果保留根號）解析：由ABC是直角三角形和ABD是等邊三角形，可求出C=30°,利用三角函數(shù)可求出答案。答案：解：ABD是等邊三角形B=60°BAC=90

20、6;C=30°sinC=BC=4, cosC= AC=BC·cosC=2 ABC的周長是6+2點評：在直角三角形中計算線段長度問題，通常利用勾股定理和三角函數(shù)來解決，本題也可由勾股定理來計算AC的長。（2012浙江省溫州市，21，9分）某海濱浴場東西走向的海岸線可近似看作直線（如圖）。救生員甲在A處的瞭望臺上觀察海面情況，發(fā)現(xiàn)其正北方向的B處有人發(fā)出求救信號。他立即沿AB方向徑直前往救援，同時通知正在海岸線上巡邏的救生員乙。乙馬上人C處入海，徑直向B處游去。甲在乙入海10秒后趕到海岸線上的D處，再向B處游去。若CD=40米，B在C的北偏東方向，甲、乙的游泳速度都是2米/秒。

21、問誰先到達B處？請說明理由。（參考數(shù)據(jù)：） 【解析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值,利用直角三角形的邊角關(guān)系,利用直角三角形的邊CD建立等式.【答案】解：由題意得BCD=55°，BDC=90°，（米）（米），答：乙先到達B處【點評】本題考查了利用三角函數(shù)值解決實際問題重點考查學(xué)生是否認真審題，挖掘出題目中的隱含條件，運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，難度一般（2011山東省濰坊市，題號20，分值10）20、(本題滿分10分)校車安全是近幾年社會關(guān)注的重大問題，安全隱患主要是超載和超速.某中學(xué)數(shù)學(xué)活動小組設(shè)計了如下檢測公路上行駛的汽車速度的實驗：先在公路旁邊選取一點C，再在筆直的車道上

22、確定點D，使CD與垂直，測得CD的長等于21米，在上點D的同側(cè)取點A、B，使CAD=30°，CBD =60°(1)求AB的長（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，）；(2)已知本路段對校車限速為40千米/小時，若測得某輛校車從A到B用時2秒，這輛校車是否超速？說明理由. 考點：直角三角形的邊角關(guān)系解答：（1）由題意得 ，在RTADC中，AD=，在RTBDC中，所以AB=ADBD=36.3312.11=24.2224.2（米）（2）汽車從A到B用時2秒，所以速度為24.2÷2=12.1（米/秒）因為12.1×3600=43560,所以該車速度為43.56千米/小時

23、大于40千米/小時，所以此校車在AB段超速.點評：本題考察了直角三角形的邊角關(guān)系，已知一邊和一銳角解直角三角形。在解決此類問題時，要找到所解的直角三角形，分析其中已知的邊和角，分析類型，選擇方法求解。（湖南株洲市3,13）數(shù)學(xué)實踐探究課中，老師布置同學(xué)們測量學(xué)校旗桿的高度。小民所在的學(xué)習(xí)小組在距離旗桿底部10米的地方，用測角儀測得旗桿頂端的仰角為60°，則旗桿的高度是 米。 【解析】設(shè)旗桿的高度為x米，由題意，得，解之得：x=【答案】【點評】在直角三角形，已知一角與一個角可以利用直角三角形的邊角關(guān)系來求線段的長.（2012四川攀枝花，19，6分）（6分）如圖6，我漁政310船在南海海

24、面上沿正東方向勻速航行，在A地觀測到我漁船C在東北方向上的我國某傳統(tǒng)漁場若漁政310船航向不變，航行半小時后到達B處，此時觀測到我漁船C在北偏東30°方向上問漁政310船再航行多久，離我漁船C的距離最近？（假設(shè)我漁船C捕魚時移動距離忽略不計，結(jié)果不取近似值）【解析】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題【答案】作CDAB于D，設(shè)BD=x，BCD=30°，CD=x，因為CAD=45°，AD=CD=x，AB=xx，依據(jù)題意，xx=0.5，x=，答：再航行小時，離漁船C的距離最近?！军c評】利用勾股定理或三角函數(shù)都可很順利的解出結(jié)果。此題的關(guān)鍵是用小時來表示AB間的距離。（201

25、2江西，22，9分）小紅家的陽臺上放置了一個曬衣架如圖1如圖2是曬衣架的側(cè)面示意圖，立桿AB、CD相交于點O， B、D兩點立于地面，經(jīng)測量： AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，現(xiàn)將曬衣架完全穩(wěn)固張開，扣鏈EF成一條線段，且EF=32cm(1)求證：ACBD；(2)求扣鏈EF與立桿AB的夾角的度數(shù)（精確到0.1°）；(3)小紅的連衣裙穿在衣架后的總長度達到122cm，垂掛在曬衣架上是否會拖落到地面?請通過計算說明理由（參考數(shù)據(jù)：，可使用科學(xué)計算器） 圖1 圖2解析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)或三角形相似，可得ACBD；（2）過點O作OGEF交EF于G，

26、構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)可求得OEF的度數(shù)；（3）利用三角形相似或三角函數(shù)可求解。答案：解：（1）證法一：AB、CD相交于點O，AOC=BOD，OA=OC， OAC=OCA=（180°-AOC），同理可證： OBD=ODB=（180°-BOD）， OAC=OBD， ACBD 證法二：AB=CD=136 cm，OA=OC=51 cm，OB=OD=85 cm，；又AOC=BOD， AOCBOD， OAC=OBD， ACBD （2）在OEF 中，OEOF34cm ，EF =32cm；作OMEF于點M，則EM=16cm； ， 用科學(xué)計算器求得OEF=61.9°； （3

27、）解法一：小紅的連衣裙曬衣架后會拖落到地面 在RtOEM 中，cm；同（1）可證： EFBD ，ABD=OEF，過點A作AHBD于點H，則RtOEMRtABH， 小紅的連衣裙掛在曬衣架后總長度122cm曬衣架高度AH=120cm 解法二：小紅的連衣裙曬衣架后會拖落到地面 同（1）可證： EFBD ，ABD=OEF=61.9°，過點A作AHBD于點H，在RtABH中，cm； 小紅的連衣裙掛在曬衣架后總長度122cm曬衣架高度AH=120cm 點評：這是一道幾何應(yīng)用題，體現(xiàn)了新課標理念：數(shù)學(xué)來源于生活，并服務(wù)于生活。背景情境的設(shè)置具有普遍性和公平性。涉及到知識點有：平行線的判定、等腰三角

28、形的性質(zhì)或三角形相似、銳角三角函數(shù)等。題目設(shè)置由易到難，體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)建模思想的考察，以及由理論到實踐的原則，比較全面地考察了學(xué)生對幾何基礎(chǔ)知識的掌握情況和對知識的應(yīng)用能力。題目平實、新穎、綜合性強。（2012湖北黃石，22，8分）如圖（9）所示（左圖為實景側(cè)視圖，右圖為安裝示意圖），在屋頂?shù)男逼旅嫔习惭b太陽能熱水器：先安裝支架AB和CD（均與水平面垂直），再將集熱板安裝在AD上為使集熱板吸熱率更高，公司規(guī)定：AD與水平線夾角為1，且在水平線上的的射影AF為14m現(xiàn)已測量出屋頂斜面與水平面夾角為2，并已知tan11082，tan20412如果安裝工人已確定支架AB高為25cm，求支架CD的高（結(jié)

29、果精確到1cm）？【解析】如圖所示，過A作AEBC交CD于點E，則所求CD轉(zhuǎn)化為CEDE，而CEAB25cm，只要求出DE，而DEDFEF，分別在RtDAF與RtEAF中表示出DF與EF【答案】如圖所示，過A作AEBC交CD于點E，則EAFCBG2，且ECAB25cm 2分RtDAF中：DAF1，DFAFtan1 1分RtEAF中：EAF2，EFAFtan2 GDEDFEFAF(tan1tan2)又AF140cm， tan11082， tan20412DE140×(10820412)938DCDEEC938251188 cm119cm答：支架DC的高應(yīng)為119cm【點評】本題著重考查

30、了解直角三角形的應(yīng)用，難點在于作出輔助線，將問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中及線段和差（2012年四川省德陽市，第6題、3分）某時刻海上點P處有一客輪，測得燈塔A位于客輪P的北偏東30°方向，且相距20海里.客輪以60海里/小時的速度沿北偏西60°方向航行小時到達B處，那么tanABP=A. B.2 C. D.【解析】如圖6所示，根據(jù)題意可知APB=90°且AP=20, PB=60×=40. 所以tanABP=,故選D【答案】D【點評】本題主要考查了方向角含義，正確記憶三角函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵（2012連云港，24，10分）（本題滿分10分）已知B港口位于A

31、觀測點北偏東53.2°方向，且其到A觀測點正北方向的距離BD的長為16km。一艘貨輪從B港口以40km/h的速度沿如圖所示的BC方向航行，15min后到達C 處?，F(xiàn)測得C處位于觀測點北偏東79.8°方向。求此時貨輪與A觀測點之間的距離AC的長（精確到0.1km）.(參考數(shù)據(jù)：sin53.2°0.80，cos53.2°0.60，sin79.8°0.98，cos79.8°0.18，tan26.6°0.50，1.41，2.24)【解析】過點B作AC的垂線，把所求線段AC換為兩線段的差。利用RtABH和RtBCH求線段AH、CH的長

32、，利用AHCH確定AC的長。【答案】BC=40×=10.在RtADB中，sinDAB=, sin53.2°0.8。所以AB=20.如圖，過點B作BHAC，交AC的延長線于H。在RtAHB中，BAH=DACDAB=63.6°37°=26.6°，tanBAH=,0.5=,AH =2BH.BH2CH2=AB 2,BH 2+(2BH)2=202,BH=4,所以AH=8，在RtAHB中，BH2CH2=BC 2，CH=所以AC=AHCH=82613.4k.【點評】本題的關(guān)鍵是把方位角放到相應(yīng)的直角三角形中，找到直角三角形利用三角函數(shù)求出線段的長。 (201

33、2山東省聊城，22，8分）周末，小亮一家在東昌湖游玩，媽媽在湖心島P處觀看小亮與爸爸在湖中劃船（如圖），小船從P處出發(fā)，沿北偏東60°方向劃行200米到A處，接著向正南方向劃行一段時間到B處.在B處小亮觀測媽媽所在的P處在北偏西37°的方向上，這時小亮與媽媽相距多少米（精確到1米）？解析：題目相當(dāng)求線段PB長，需要把圖形轉(zhuǎn)化為解直角三角形來解決，過點P作PCAB于C，先解RtAPC，求出PC長，在解RtPBC即可求出PB長.解：過點P作PCAB于C，在RtAPC中，AP=200m，ACP=90°，PAC=60°. PC= 200×sin60&#

34、176;=200 ×=100 m.在RtPBC中，sin37°=， PB=289（m）答：小亮與媽媽相距約289米.（2012山東泰安，13，3分）如圖，為測量某物體AB的高度，在D點測得A點的仰角為30º，朝物體AB方向前進20米到達點C，再次測得A點的仰角為60º，則物體的高度為（ ）A.10米 B.10米 C.20米 D.【解析】設(shè)AB高為x米，在RtABD中，D=30º，所以BD=AB=x，在RtABC中，ACB=60º，所以BC=AB=x，因為BD-BC=CD，所以x-x=20，解得x=10，即物體的高為10米.【答案】A.

35、【點評】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，分別在兩個直角三角形中，設(shè)出未知數(shù)，由銳角三角函數(shù)把與已知線段在同一條直線上的兩條未知線段表示出來，然后構(gòu)建方程，解方程即可求出未知線段的長（2012四川成都，17，8分）如圖，在一次測量活動中，小華站在離旗桿底部(B處)6米的D處，仰望旗桿頂端A，測得仰角為60°，眼睛離地面的距離ED為1.5米試幫助小華求出旗桿AB的高度(結(jié)果精確到0.1米， )解析：由題意可知，四邊形BCED是矩形，所以BC=DE，然后在RtACE中，根據(jù)tanAEC=,可求出AC的長。答案：由題意可知，四邊形BCED是平行四邊形，所以CE=BD=6米，CB=ED=1.

36、5米在RtACE中，tanAEC=即tan60°=AC=×6(米)AB=AC+CB=10.4+1.5=11.9（米）點評：解直角三角形問題時，要選準三角函數(shù)并加以應(yīng)用，是解題的關(guān)鍵。（2012貴州貴陽，19，10分）小亮想知道亞洲最大的瀑布黃果樹夏季洪峰匯成巨瀑時的落差.如圖，他利用測角儀站在C點處測得ACB=68°,再沿BC方向走80m到達D處，測得ADC=34°,求落差A(yù)B.（測角儀高度忽略不計，結(jié)果精確到1m，可以使用計算器）ABCD第19題圖解析： 由已知可得ACD是等腰三角形，故得AC=CD=80,在RtACB中解直角三角形可求AB.解：ACB

37、=68°, D=34°,CAD=68°-34°=34°, CAD=D,AC=CD=80.在RtABC中，AB=AC×sin68°=80×sin68°=74,瀑布的落差約為74m.點評：解直角三角形在實際生活中的應(yīng)用是中考熱點之一，解題時，首先是根據(jù)題意畫出圖形（已經(jīng)畫圖的則需要弄懂圖形所表示的實際意義），解直角三角形時就結(jié)合圖形分清圖形中哪個是直角三角形，已知銳角的對邊、鄰邊和斜邊此外還應(yīng)正確理解俯角、仰角等名詞術(shù)語 （2012浙江麗水，19，6分）學(xué)校校園內(nèi)有一小山坡，經(jīng)測量，坡角ABC=30°

38、;，斜坡AB長為12米.為方便學(xué)生行走，決定開挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1:3（即為CD與BC的長度之比），A，D兩點處于同一鉛垂線上，求開挖后小山坡下降的高度AD.【解析】：因為AD=AC-CD，故欲求AD，只需先求AC、CD.為止可先解直角ABC，求出BC，再根據(jù)坡比即可求出CD.【解】：在RtABC中，ABC=30°，AC=AB=6，BC=ABcosABC=12×=6.斜坡BD的坡比是1:3，CD=BC=2，AD=AC-CD=6-2.答：開挖后小山坡下降的高度AD為（6-2）米.【點評】：把應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，再運用直角三角形的關(guān)系進行求解利用銳角三角函數(shù)

39、解決實際問題中的易錯點有三處, 一是銳角三角函數(shù)關(guān)系式的選擇, 二是特殊角的三角函數(shù)值的識記, 三是計算是否正確.（2012湖北隨州，20,9分）在一次暑假旅游中，小亮在仙島湖的游船上（A處），測得湖西岸的山峰太婆尖（C處）和湖東岸的山峰老君嶺（D處）的仰角都是45°，游船向東航行100米后（B處），測得太婆尖、老君嶺的高度為多少米？（，結(jié)果精確到米）。解析：設(shè)太婆尖高h1米，老君嶺高h2米?？煞謩e在直角三角形中利用正切值表示出水平線段的長度，再利用移動距離為AB=100米，可建立關(guān)于h1、h2的方程組，解這個方程組求得兩山峰高度。答案：設(shè)太婆尖高h1米，老君嶺高h2米，依題意，有

40、（米） （米）答：太婆尖高度為137米，老君嶺高度為237米。點評：本題考查了直角三角形的解法。解題的關(guān)鍵是要首先構(gòu)造直角三角形，再借助角邊關(guān)系、三角函數(shù)的定義解題（2012浙江省紹興，19，8分）如圖1，某超市從一樓到二樓的電梯AB的長為16.50米，按坡角BAC為32°.（1）求一樓與二樓之間的高度BC（精確到0.01米）；（2）電梯每級的水平級寬均是0.25米，如圖2.小明跨上電梯時，該電梯以每少上升2級的高度運行，10秒后他上升了多少米（精確到0.01米）？備用數(shù)據(jù)：sin32°=0.5299，cos32°=0.8480，tan32°=0.624

41、9.【解析】（1）在RtABC中，已知BAC=32°，斜邊AB的長為16.50米，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求得一樓與二樓之間的高度BC（2）先計算1級電梯的高，再根據(jù)10秒鐘電梯上升了20級可計算10秒后他上升的高度【答案】解：（1）sinBAC=，BC=AB×sin32° =16.50×0.52998.74米. （2）tan32°= 級高級寬 ，級高=級寬×tan32°=0.25×0.6249=0.156225，10秒鐘電梯上升了20級，小明上升的高度為：20×0.156225米.【點評】正確地構(gòu)造出

42、直角三角形，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求解，是解決此題的關(guān)鍵（2012四川省資陽市，20，8分）小強在教學(xué)樓的點P處觀察對面的辦公大樓為了測量點P到對面辦公大樓上部AD的距離，小強測得辦公大樓頂部點A的仰角為45°，測得辦公大樓底部點B的俯角為60°，已知辦公大樓高46米，CD10米求點P到AD的距離（用含根號的式子表示）來%&源#:中教網(wǎng)（第20題圖）【解析】連結(jié)PA、PB，過點P作PMAD于點M；延長BC，交PM于點N則APM=45°，BPM=60°，NM=10米1分設(shè)PM=米在RtPMA中，AM=PM×tanAPM=tan45

43、76;（米）3分在RtPNB中，BN=PN×tanBPM=(10)tan60°(10)（米）5分來源:中國#教育%出版網(wǎng)由AM+BN=46米，得 +(10) 466分解得， ，點P到AD的距離為米（結(jié)果分母有理化為米也可）8分【答案】（結(jié)果分母有理化為米也可）【點評】本題綜合考查了直角三角形中的三角函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值及構(gòu)造出的方程思想.解決本題的關(guān)鍵是作垂線構(gòu)造出直角三角形從而再運用三角函數(shù)解題.難度中等.（2012江蘇泰州市，24，本題滿分10分）如圖，一居民樓底部B與山腳P位于同一水平線上，小李在P處測得居民樓頂A的仰角為60°，然后他從P處沿坡角為45

44、°的山坡上走到C處，這時，PC=30m，點C與點A在同一水平線上，A、B、P、C在同一平面內(nèi)（1）求居民樓AB的高度；（2）求C、A之間的距離（精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73，2.45）45°60° （第24題圖）【解析】過C作BP的垂線，垂足為G，利用特殊RtPCG和RtABP中的邊角關(guān)系，我們?nèi)菀子嬎愠鯟G（即AB）的長，最后用AC=BP+PG，就是C、A之間的距離【答案】（1）過C作BP的垂線，垂足為G，在RtPCG中，CG=PCsin450=30×=15，所以AB=15=21.2（m）（2）PG= PCcos450=30×

45、=15，BP=，所以C、A之間的距離=BP+PG=15+5=33.5（m）【點評】解直角三角形是每年中考的必考知識點之一，主要考查直角三角形的邊角關(guān)系及其應(yīng)用，難度一般不會很大，本題是基本概念的綜合題，主要考查考生應(yīng)用知識解決問題的能力，很容易上手，容易出錯的地方是近似值的取舍.（2012四川內(nèi)江，18，9分）水務(wù)部門為加強防汛工作，決定對某水庫大壩進行加固，大壩的橫截面是梯形ABCD如圖9所示，已知迎水坡面AB的長為16米，B60°，背水坡面CD的長為16米，加固后大壩的橫截面為梯形ABED，CE的長為8米（1）已知需加固的大壩長為150米，求需要填土石方多少立方米？（2）求加固后

46、大壩背水坡面DE的坡度ABCD圖9E【解析】（1）求出橫截面DCE的面積，然后乘以壩堤長度即可得出體積可以分別過點A，D作BC邊上的高將問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題（2）求大壩背水坡面DE的坡度就是求坡面DE上一點到BE的鉛直高度與它到點E的水平寬度的比，這一點通常取梯形的頂點【答案】解：（1）過點A作AGBC于G，過點D作DHBC于H，AGDH在RtABG中，AGsin60°·AB×168，DH8SDCE·DH·CE×8×832.需要填土石方32×1504800(m3)（2）在RtDHC中，HC24，HEHCCE2

47、4832加固后大壩背水坡面DE的坡度ABCDEGH【點評】解直角三角形是每年中考必考知識點之一，主要考查直角三角形的邊角關(guān)系及其應(yīng)用，難度一般不會很大，本題是基本概念的綜合題，主要考查學(xué)生應(yīng)用知識解決問題的能力，很容易上手，本題容易出錯的地方是不理解坡度的概念，認為求坡度是求E的度數(shù)（2012湖南益陽，17，8分）超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一上周末，小明和三位同學(xué)嘗試用自己所學(xué)的知識檢測車速，如圖，觀測點設(shè)在A處，離益陽大道的距離（AC）為30米這時，一輛小轎車由西向東勻速行駛，測得此車從B處行駛到C處所用的時間為8秒，BAC=75° （1）求B、C兩點的距離；（2）請判斷此

48、車是否超過了益陽大道60千米小時的限制速度？ （計算時距離精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin75°0.9659， cos75°0.2588， tan75°3.732，60千米小時16.7米秒）【解析】第（1）小題主要考查正切的用法， 第（2）小題主要是計算此車的車速(米秒) <16.7 (米秒) =60(千米小時)【答案】解：法一：在RtABC中 ，ACB=90°，BAC=75°，AC =30，BC=AC·tanBAC=30×tan75°30×3.732112(米)5分 法二：在BC上取一點D，連結(jié)AD，

49、使DAB=B，則AD=BD，BAC=75°，DAB=B=15°，CDA=30°，在RtACD中 ，ACD=90°，AC =30，CDA=30°， AD=60，CD=，BC=60+112(米) 5分 此車速度=112÷8=14(米秒) <16.7 (米秒) =60(千米小時)此車沒有超過限制速度【點評】本題以實際生活中的例子為背景，綜合考查了考生正切的用法，速度的計算方法和單位換算。解法二輔助線的添加成為部分學(xué)生的一大難題,方法二中的輔助線AD的添法是關(guān)鍵,就這輔助線就可以將中下層次的學(xué)生拒之題外.難度較大.一般考生用方法一比較適

50、合。（2012江蘇鹽城，24，10分）如圖所示，當(dāng)小華站立在鏡子EF前A處時，他看自己的腳在鏡中的像的俯角為450 ：如果小華向后退0.5米到B處，這時他看自己的腳在鏡中的像的俯角為300 .求小華的眼睛到地面的距離。（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：1.732）.第24題圖【解析】本題考查了解直角三角形有關(guān)知識掌握直角三角形邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵.在RtACA1中，由條件可求表示出AA1的長；而在RtDBB1中，由條件可表示出BB1的長，最后由BB1-AA1=列出方程解決問題.【答案】設(shè)AC=BD=x，在RtACA1中，AA1C=450，AA1=x，在RtDBB1中，BB1=，又BB1-AA1=

51、,即×-x=，解得：x=1.4（米）【點評】這是一道常規(guī)的三角函數(shù)應(yīng)用題，主要考查利用三角函數(shù)相關(guān)知識解決實際問題的能力，本題不能直接通過計算求解，需要列方程求解，但應(yīng)注意結(jié)果的精確要求.第二十九章解直角三角形29.1銳角三角函數(shù)以及特殊角29.2三角函數(shù)的有關(guān)計算 解直角三角形的應(yīng)用29.1解直角三角形的應(yīng)用航行問題29.2解直角三角形的應(yīng)用測量物體高度問題（2012山東省濱州，10，3分）把ABC三邊的長度都擴大為原來的3倍，則銳角A的正弦函數(shù)值（）A不變B縮小為原來的C擴大為原來的3倍D不能確定【解析】因為ABC三邊的長度都擴大為原來的3倍所得的三角形與原三角形相似，所以銳角A

52、的大小沒改變，所以銳角A的正弦函數(shù)值也不變【答案】選A【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，與角的邊沒有關(guān)系（2012湖南衡陽市，20，3）觀察下列等式sin30°= cos60°=sin45°= cos=45°=sin60°= cos30°=根據(jù)上述規(guī)律，計算sin2a+sin2（90°a）=解析：根據(jù)可得出規(guī)律，即sin2a+sin2（90°a）=1，繼而可得出答案答案：解：由題意得，sin230°+sin2（90°30°）=1；sin245°+

53、sin2（90°45°）=1；sin260°+sin2（90°60°）=1；故可得sin2a+sin2（90°a）=1故答案為：1點評：此題考查了互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，屬于規(guī)律型題目，注意根據(jù)題意總結(jié)，另外sin2a+sin2（90°a）=1是個恒等式，同學(xué)們可以記住并直接運用(2012廣安中考試題第7題，3分)如圖2，某水庫堤壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1：，堤壩高BC=50m，則迎水坡面AB的長度是（ A ）圖2A100mB100m C150m D50m思路導(dǎo)引：注意坡比是垂直高度與水平距離的比值，即是坡角的正切值，注

54、意銳角三角函數(shù)在解直角三角形問題中的靈活運用；解析：tanBAC=，因此BAC=30°,sinBAC=, sinBAC=,AB=2BC=100點評：在解直角三角形問題中，注意三個內(nèi)角與三邊的平方關(guān)系的靈活運用B用科學(xué)計算器計算：（精確到0.01）【解析】利用科學(xué)計算器可得：【答案】2.47【點評】主要考查利用科學(xué)計算器進行計算，應(yīng)注意精確要求.難道較小.（2012，黔東南州，11）計算º= 解析：º=答案：點評：本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，屬于記憶類題目，難度較小.（2012甘肅蘭州，1，4分） sin60°的相反數(shù)是（）A. B. C. D. 解析：

55、根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值和相反數(shù)的定義解答即可sin60°=，相反數(shù)是，故選C答案：C點評：本題考查特殊角的三角函數(shù)值和相反數(shù)的定義，要求學(xué)生牢記并熟練運用（2012湖北武漢，13，3分）計算：tan60° 解析：特殊角的三角函數(shù)需要學(xué)生記憶，如果部分學(xué)生記不住，也可以通過畫圖尋找。答案：點評：本題在于考察特殊角的三角函數(shù)，學(xué)生可以將幾個特殊角的三角函數(shù)加以記憶，也可以通過畫圖尋找，難度低 (2012貴州黔西南州，7，4分)興義市進行城區(qū)規(guī)劃，工程師需測某樓AB的高度，工程師在D處用高2m的測角儀CD，測得樓頂端A的仰角為30°，然后向樓前進20m到達E，又測得樓頂端A的仰角為60°，樓AB的高度為( )A(102)m B(202)m C(52)m D(152)m【解析】設(shè)過C點的平行線與AB交于點G求AB的高度，關(guān)鍵是求出AG的長設(shè)AG=x，由題意知ACG=30°，AFG=60°，則CAF=30°=ACF，所以CF=AF在RtAFG中，AGF90°，CF=