2012年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)_第二章方程與不等式_第7課一元二次方程

1、1定義：定義： 只含有只含有 ，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 ，這樣，這樣的整式方程叫做一元二次方程通?？蓪懗扇缦碌囊话阈蔚恼椒匠探凶鲆辉畏匠掏ǔ？蓪懗扇缦碌囊话阈问剑菏剑?，其中，其中a、b、c分別叫做二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別叫做二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)2解法：解法： ； ； ； 要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理一個(gè)未知數(shù)一個(gè)未知數(shù)2ax2bxc0(a、b、c是已知數(shù)，是已知數(shù)，a0)直接開平方法直接開平方法因式分解法因式分解法配方法配方法公式法公式法3公式：公式： 一元二次方程一元二次方程ax2bxc0的求根公式：的求根公式：4簡(jiǎn)單的高次方程、二次根式方程的概念、解

2、法：簡(jiǎn)單的高次方程、二次根式方程的概念、解法： (1)高次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)大于高次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)大于2的整式方程的整式方程 (2)無理方程：根號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的方程無理方程：根號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的方程 (3)解高次方程的思想是解高次方程的思想是“降次降次”，即把高次方程通過因式分解、，即把高次方程通過因式分解、換元等方法轉(zhuǎn)化為一元一次方程或一元二次方程換元等方法轉(zhuǎn)化為一元一次方程或一元二次方程 (4)解無理方程的思想是通過方程左右兩邊平方、換元等方法去解無理方程的思想是通過方程左右兩邊平方、換元等方法去根號(hào)轉(zhuǎn)化為整式方程，要注意驗(yàn)根，舍去增根

3、根號(hào)轉(zhuǎn)化為整式方程，要注意驗(yàn)根，舍去增根x (b24ac0)b b24ac2a 5二元二次方程組的概念及解法：二元二次方程組的概念及解法： (1)二元二次方程組：由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方二元二次方程組：由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程所組成的方程組或由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組叫做程所組成的方程組或由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組叫做二元二次方程組二元二次方程組 (2)解二元二次方程組的思想是解二元二次方程組的思想是“消元消元”，即把多元通過加減、，即把多元通過加減、代入、換元等方法轉(zhuǎn)化為一元方程來解，或代入、換元等方法轉(zhuǎn)化為一元方程來解，或“降次降次”利用因利用因式分解轉(zhuǎn)化為二

4、元一次方程組或一元一次方程來解式分解轉(zhuǎn)化為二元一次方程組或一元一次方程來解1正確理解并掌握一元二次方程的概念正確理解并掌握一元二次方程的概念 識(shí)別一元二次方程必須抓住三個(gè)條件：識(shí)別一元二次方程必須抓住三個(gè)條件： (1)整式方程；整式方程；(2)含有一個(gè)未知數(shù)；含有一個(gè)未知數(shù)；(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是未知數(shù)的最高次數(shù)是2.滿足上述三個(gè)條件的方程才是一元二次方程，不滿足其中任何一滿足上述三個(gè)條件的方程才是一元二次方程，不滿足其中任何一個(gè)條件的方程都不是一元二次方程，即三個(gè)條件缺一不可個(gè)條件的方程都不是一元二次方程，即三個(gè)條件缺一不可 在確定方程各項(xiàng)系數(shù)時(shí)，應(yīng)把一元二次方程化成一般形式，在確定方程各

5、項(xiàng)系數(shù)時(shí)，應(yīng)把一元二次方程化成一般形式，指明各項(xiàng)系數(shù)時(shí)不要漏掉前面的符號(hào)一元二次方程的一般形式指明各項(xiàng)系數(shù)時(shí)不要漏掉前面的符號(hào)一元二次方程的一般形式不是唯一的，但習(xí)慣上把二次項(xiàng)系數(shù)化為正整數(shù)不是唯一的，但習(xí)慣上把二次項(xiàng)系數(shù)化為正整數(shù) 難點(diǎn)正本難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源疑點(diǎn)清源 2正確使用各種方法解一元二次方程正確使用各種方法解一元二次方程 一元二次方程的解法有四種，在解方程時(shí)，要注意靈活選一元二次方程的解法有四種，在解方程時(shí)，要注意靈活選擇直接開平方法、因式分解法只適用于特殊形式的方程；而公擇直接開平方法、因式分解法只適用于特殊形式的方程；而公式法則是最普遍的方法；配方法用的不多，一般根據(jù)方程的特征式

6、法則是最普遍的方法；配方法用的不多，一般根據(jù)方程的特征靈活運(yùn)用靈活運(yùn)用 解一元二次方程要根據(jù)方程的特點(diǎn)，選擇合適的方法解題，但解一元二次方程要根據(jù)方程的特點(diǎn)，選擇合適的方法解題，但一般順序?yàn)椋褐苯娱_平方法一般順序?yàn)椋褐苯娱_平方法因式分解法因式分解法公式法，一般沒有特公式法，一般沒有特別要求的不用配方法別要求的不用配方法 用直接開平方法解一元二次方程的理論依據(jù)是平方根的定義；用直接開平方法解一元二次方程的理論依據(jù)是平方根的定義；因式分解法解方程的依據(jù)是：若因式分解法解方程的依據(jù)是：若ab0，則，則a0，或，或b0，方程的，方程的右邊一定要化為右邊一定要化為0，才能用因式分解法求解，才能用因式分解

7、法求解 運(yùn)用公式法之前一定要確認(rèn)兩點(diǎn)：其一，該方程是一元二運(yùn)用公式法之前一定要確認(rèn)兩點(diǎn)：其一，該方程是一元二次方程，其二，方程的判別式非負(fù)，滿足這兩點(diǎn)即可使用求次方程，其二，方程的判別式非負(fù)，滿足這兩點(diǎn)即可使用求根公式根公式 配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它既是恒等變形的重要手配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它既是恒等變形的重要手段，又是研究相等關(guān)系、討論不等關(guān)系的常用方法，在配方段，又是研究相等關(guān)系、討論不等關(guān)系的常用方法，在配方前，先將二次項(xiàng)系數(shù)前，先將二次項(xiàng)系數(shù)a提出來，使括號(hào)中的二次項(xiàng)系數(shù)化為提出來，使括號(hào)中的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后通過配方分離出一個(gè)完全平方式然后通過配方分離出一個(gè)完全平方式

8、1(2011嘉興嘉興)一元二次方程一元二次方程x(x1)0的解是的解是() Ax0 Bx1 Cx0或或x1 Dx0或或x1 解析：解析：x(x1)0，x0或或x10，即，即x0或或x1.基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)自測(cè)C2(2011南充南充)方程方程(x1)(x2)x1的解是的解是() A2 B3 C1,2 D1,3 解析：解析：(x1)(x2)x1， (x1)(x2)(x1)0， (x1)(x3)0. x11，x23.D3(2011江西江西)已知已知x1是方程是方程x2bx20的一個(gè)根，則方程的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根是的另一個(gè)根是() A1 B2 C2 D1 解析：當(dāng)解析：當(dāng)x1時(shí)，時(shí)，1b20，b1.

9、x2x20，x11，x22，另一個(gè)根是，另一個(gè)根是2.C4(2011大理大理)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和和6，第三邊的長(zhǎng)是方程，第三邊的長(zhǎng)是方程 x26x80的一個(gè)根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是的一個(gè)根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是() A9 B11 C13 D11或或13 解析：方程解析：方程x26x80的根為的根為x2或或4，而第三邊，而第三邊3x9， 故故x4，三角形周長(zhǎng)為，三角形周長(zhǎng)為36413.C5(2011武漢武漢)若若x1，x2是一元二次方程是一元二次方程x24x30的兩個(gè)根，的兩個(gè)根， 則則x1x2的值是的值是() A4 B3 C4 D3 解析：方程解析：方程x24x30，

10、x11，x23， 所以所以x1x2(1)(3)3. (或根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系直接得出或根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系直接得出x1x2 3.) B31 題型一一元二次方程的解法題型一一元二次方程的解法【例例 1】 解下列方程：解下列方程： (1)3x2750 解：解：3x2750，x225，x5，x15，x25. (2)x(x5)24 解：解：x(x5)24，x25x240，x18，x23.題型分類題型分類 深度剖析深度剖析(3)(y3)(13y)12y2解：解：(y3)(13y)12y2，y3y239y12y2， 5y28y20，y ， y1 ，y2 .(4)(3x5)25(3x5)40解：解：(3x5)2

11、5(3x5)40， (3x51)(3x54)0， (3x4)(3x1)0， 3x40或或3x10， x1 ，x2 .8 10425 4 265 4 265 4 265 13 43 (5)(1997x)2(x1996)21解：解法一：解：解法一：(1997x)2(x1996)210， (1997x)2(x1997)(x1995)0， (x1997)(x1997)(x1995)0， 2(x1997)(x1996)0， x11997，x21996.解法二：因?yàn)榻夥ǘ阂驗(yàn)?1997x)2(x1996)2 (1997x)(x1996)22(1997x)(x1996)， 所以原方程可化為：所以原方程可化

12、為：12(1997x)(x1996)1， 2(1997x)(x1996)0， x11997，x21996.探究提高探究提高 解一元二次方程要根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇合適的方法解題，解一元二次方程要根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇合適的方法解題，但一般順序?yàn)椋褐苯娱_平方法但一般順序?yàn)椋褐苯娱_平方法因式分解法因式分解法公式法一般公式法一般沒有特別要求的不用配方法沒有特別要求的不用配方法知能遷移知能遷移1解方程：解方程：(1)(2x1)29(用直接開平方法用直接開平方法)；解：解：(2x1)29,2x13， x ，x12，x21.132 (2)x23x40(用配方法用配方法)；解：解：x23x40，x23x4， x23

13、x 4 ，(x )2 ， x ，x ， x11，x24.(3)x22x80(用因式分解法用因式分解法)；解：解：x22x80，(x4)(x2)0， x40或或x20， x14，x22.94 94 32 32 254 52 32 52 (4)x(x1)2(x1)0.解：解：x(x1)2(x1)0，x2x2x20， x23x20，x . x1 ，x2 .3 1721 3 172 3 172 題型二配方法題型二配方法【例例 2】 試說明：代數(shù)式試說明：代數(shù)式2x2x3的值不小于的值不小于 .解題示范解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！解：解：2x2x32(x2 x)3

14、 2x2 x( )2( )23 2(x )2 3 2(x )2 32(x )2 . 不論不論x取何實(shí)數(shù)，取何實(shí)數(shù)，2(x )2 0， 2(x )2 . 即代數(shù)式即代數(shù)式2x2x3的值不小于的值不小于 .12 12 18 238 238 238 238 探究提高探究提高 配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它既是恒等變形的重要手段，配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它既是恒等變形的重要手段，又是研究相等關(guān)系，討論不等關(guān)系的常用方法，在配方前，先又是研究相等關(guān)系，討論不等關(guān)系的常用方法，在配方前，先將二次項(xiàng)系數(shù)將二次項(xiàng)系數(shù)2提出來，使括號(hào)中的二次項(xiàng)系數(shù)化為提出來，使括號(hào)中的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后通，然后通過配方

15、分離出一個(gè)完全平方式過配方分離出一個(gè)完全平方式知能遷移知能遷移2對(duì)于二次二項(xiàng)式對(duì)于二次二項(xiàng)式x210 x36，小聰同學(xué)作出如下結(jié)，小聰同學(xué)作出如下結(jié)論：無論論：無論x取什么實(shí)數(shù)，它的值都不可能等于取什么實(shí)數(shù)，它的值都不可能等于11，你是否同意他，你是否同意他的說法？說明你的理由的說法？說明你的理由 解：不同意小聰?shù)恼f法解：不同意小聰?shù)恼f法 理由如下：理由如下：x210 x36x210 x2511(x5)21111，當(dāng)當(dāng)x5時(shí)，時(shí)，x210 x36有最小值有最小值11.題型三應(yīng)用方程根的定義解題題型三應(yīng)用方程根的定義解題【例例 3】(1)(2010綿陽(yáng)綿陽(yáng))若實(shí)數(shù)若實(shí)數(shù)m是方程是方程x2 x10

16、的一個(gè)根，的一個(gè)根，則則m4m4_. 解析：解析： xm, m2 m10， m21 m，m ， 兩邊平方，得兩邊平方，得m22 10，m2 8， 再平方，得再平方，得m42 64，m4 62， 即即m4m462. 6210 10 1m 10 1m2 1m2 1m4 1m4 (2)已知已知a是方程是方程x22009x10的一個(gè)根，試求的一個(gè)根，試求a22008a 值值 解：解：xa，a22009a10， a22008aa1，a212009a， . 原式原式a1 2008.20092009a 2009a21 1a 1a a2a1a a21 aa 2009aaa 2008aa 探究提高探究提高 1.

17、利用方程根的概念，將方程的根代入原方程，再解關(guān)于利用方程根的概念，將方程的根代入原方程，再解關(guān)于待定系數(shù)的方程，就可以求出待定系數(shù)的值待定系數(shù)的方程，就可以求出待定系數(shù)的值 2采用整體的思想方法，結(jié)合一元二次方程根的定義及分采用整體的思想方法，結(jié)合一元二次方程根的定義及分式加減運(yùn)算的法則可得式加減運(yùn)算的法則可得(2)中代數(shù)式的值中代數(shù)式的值知能遷移知能遷移3(1)已知方程已知方程x2kx60的一個(gè)根是的一個(gè)根是2，求它的另，求它的另一個(gè)根及一個(gè)根及k的值；的值； 解：解：x2，42k60，2k2，k1. x2x60，x12，x23. 方程的另一個(gè)根是方程的另一個(gè)根是3，k1.(2)已知關(guān)于已知

18、關(guān)于x的二次方程的二次方程x2mxn0的一個(gè)解是的一個(gè)解是2，另一個(gè)解，另一個(gè)解是正數(shù)，且也是方程是正數(shù)，且也是方程(x4)2523x的解你能求出的解你能求出m和和n的的值嗎？值嗎？ 解：解：(x4)2523x，x25x360，x14，x29， x2mxn0的兩根是的兩根是2和和4， 即即 解得解得 42mn0，164mn0， 2mn4，4mn16， m6，n8. (3)(2010廣州廣州)已知關(guān)于已知關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程ax2bx10(a0)有兩有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求 的值的值分析：分析：對(duì)于對(duì)于(3)，由于這個(gè)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，因此，由于這個(gè)方程有兩個(gè)

19、相等的實(shí)數(shù)根，因此b24a0，可得出，可得出a、b之間的關(guān)系，然后將之間的關(guān)系，然后將 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)后，用含后，用含b的代數(shù)式表示的代數(shù)式表示a，即可求出這個(gè)分式的值，即可求出這個(gè)分式的值ab2 a2 2b24 解：解：ax2bx10(a0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根， b24ac0，即，即b24a0，b24a. . a0， 4.ab2 a2 2b24 ab2a24a4b24 ab2a24ab2 ab2a2 ab2a2 b2a 4aa 題型四與幾何問題的綜合題型四與幾何問題的綜合【例例 4】已知三角形兩邊長(zhǎng)分別為已知三角形兩邊長(zhǎng)分別為2和和4，第三邊是方程，第三邊是方程x24x 30的

20、解，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)的解，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng) 解：解方程解：解方程x24x30得得x11，x23. 又三角形的第三邊又三角形的第三邊a的范圍是的范圍是2a0時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，0時(shí)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根但在解題過程中，往往出現(xiàn)只時(shí)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根但在解題過程中，往往出現(xiàn)只有一個(gè)根的現(xiàn)象，這就表明遺失了一個(gè)根有一個(gè)根的現(xiàn)象，這就表明遺失了一個(gè)根3規(guī)范解答，理解一元二次方程的解法：直接開平方法、配方法、規(guī)范解答，理解一元二次方程的解法：直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法的規(guī)范步驟，才能避免失根因式分解法、求根公式法的規(guī)范步驟，才能避免失根. 方法與技巧方法與技

21、巧1.關(guān)于關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程ax2bxc0(a0)，當(dāng)，當(dāng)b0時(shí)，方程有時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的條件是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的條件是“a、c異號(hào)異號(hào)”用因式分解法解用因式分解法解這個(gè)方程這個(gè)方程ax2c0時(shí)，只有當(dāng)時(shí)，只有當(dāng)a、c異號(hào)，二次式異號(hào)，二次式ax2c才是可才是可以分解的；用開平方法解這個(gè)方程以分解的；用開平方法解這個(gè)方程x2 ，只有當(dāng)，只有當(dāng)a、c異號(hào)異號(hào)時(shí)，正數(shù)時(shí)，正數(shù) 才有兩個(gè)互為相反數(shù)的平方根因此一元二次方才有兩個(gè)互為相反數(shù)的平方根因此一元二次方程程ax2bxc0(a0)根的判別式根的判別式b24ac，在，在a、c異號(hào)時(shí)，異號(hào)時(shí)，b24ac0，方程一定有兩個(gè)

22、不相等的實(shí)數(shù)根，方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根思想方法思想方法 感悟提高感悟提高2. 關(guān)于關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程ax2bxc0(a0) (1)當(dāng)當(dāng)b0，c0時(shí)，只考慮開平方法，時(shí)，只考慮開平方法，x2 ，x ， 其中其中a、c異號(hào)；異號(hào)； (2)當(dāng)當(dāng)c0，b0時(shí)，用因式分解法時(shí)，用因式分解法(提取公因式提取公因式x)，x10，x2 ； (3)當(dāng)當(dāng)b0，c0時(shí)，考慮因式分解時(shí)，考慮因式分解(十字分解十字分解)法，或利用公式法法，或利用公式法 在進(jìn)行以上思考前，使在進(jìn)行以上思考前，使a為正；把為正；把a(bǔ)、b、c都整理為整數(shù)；約去都整理為整數(shù)；約去a、 b、c的公因數(shù)的公因數(shù)3. 解好利用

23、解好利用“根的判別式根的判別式”為工具的有關(guān)問題當(dāng)給出了根為工具的有關(guān)問題當(dāng)給出了根的情況的結(jié)論，求的情況的結(jié)論，求a、b、c中所含字母的取值或取值范圍，中所含字母的取值或取值范圍，先求出并化簡(jiǎn)根的判別式的表達(dá)式，然后根據(jù)所給的結(jié)先求出并化簡(jiǎn)根的判別式的表達(dá)式，然后根據(jù)所給的結(jié)論，以論，以0或或0或或0，再解所得的不等式或，再解所得的不等式或方程方程失誤與防范失誤與防范1. 對(duì)于最高次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)的方程，這并不能斷定該方程即為對(duì)于最高次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)的方程，這并不能斷定該方程即為一元二次方程，解題時(shí)要分一元一次方程和一元二次方程加以一元二次方程，解題時(shí)要分一元一次方程和一元二次方程加以討論對(duì)

24、于二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)的方程，題設(shè)已交代了是一元討論對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)的方程，題設(shè)已交代了是一元二次方程，不能忽視二次項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)為非零實(shí)數(shù)，這是個(gè)隱含二次方程，不能忽視二次項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)為非零實(shí)數(shù)，這是個(gè)隱含條件，最易被忽視任何一個(gè)關(guān)于條件，最易被忽視任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程中有一個(gè)的一元二次方程中有一個(gè)隱含條件：即二次項(xiàng)系數(shù)隱含條件：即二次項(xiàng)系數(shù)a0.2. 正確理解正確理解“方程有實(shí)根方程有實(shí)根”的含義方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根或有兩個(gè)的含義方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根或有兩個(gè)實(shí)數(shù)根：如有一個(gè)實(shí)數(shù)根則原方程為一元一次方程；若有兩個(gè)實(shí)數(shù)根：如有一個(gè)實(shí)數(shù)根則原方程為一元一次方程；若有兩個(gè)實(shí)數(shù)根則原方程為一元二次方程在解題時(shí)，要特別注意實(shí)數(shù)根則原方程為一元二次方程在解題時(shí)，要特別注意“方方程有實(shí)數(shù)根程有實(shí)數(shù)根”、“有兩個(gè)實(shí)數(shù)根有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”等關(guān)鍵文字，要挖掘出它們等關(guān)鍵文字，要挖掘出它們的隱含條件，以免陷入關(guān)鍵字的的隱含條件，以免陷入關(guān)鍵字的“陷阱陷阱”3. 在運(yùn)用直接開平方法求一元二次方程的解時(shí)，容易出現(xiàn)將平在運(yùn)用直接開平方法求