五種數(shù)學(xué)思想在《勾股定理》教學(xué)中的滲透(袁崇煥中學(xué)-曾祥華)

1、五種數(shù)學(xué)思想在勾股定理教學(xué)中的滲透袁崇煥中學(xué) 曾祥華【摘要】 本文論述了教師在勾股定理教學(xué)中要注意滲透方程思想、等積思想、分類討論思想、化歸思想和構(gòu)造思想，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的方法解決問題，從而提高學(xué)生的解題能力【關(guān)鍵詞】 勾股定理；數(shù)學(xué)思想；解題能力數(shù)學(xué)思想方法是人們對數(shù)學(xué)知識內(nèi)容本質(zhì)的認(rèn)識，是人們學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識過程中思維活動的向?qū)Ф鴶?shù)學(xué)思想方法的形成又有賴于合理有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾說過：“與其說讓學(xué)生學(xué)習(xí)公理體系，不如說讓學(xué)生學(xué)習(xí)公理化；與其說讓學(xué)生學(xué)習(xí)形式體系，不如說讓學(xué)生學(xué)習(xí)形式化一句話，與其說讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不如說讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化”這里的所謂數(shù)學(xué)化，是指通過學(xué)習(xí)數(shù)

2、學(xué)知識、技能和方法，逐漸形成自己的數(shù)學(xué)思想和方法，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看待事物，學(xué)會用數(shù)學(xué)的方法解決問題勾股定理是數(shù)學(xué)中的一個重要定理，因此在教學(xué)過程中要注意滲透以下五種思想，從而提高學(xué)生的解題能力1方程思想方程思想是從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，適當(dāng)設(shè)定未知數(shù)，運用定義、公式、性質(zhì)、定理和已知條件、隱含條件，把所研究的數(shù)學(xué)問題中已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程或方程組等數(shù)學(xué)模型，從而使問題得到解決的思想方法方程思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中非常重要的思想，因此，在勾股定理教學(xué)中，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生方程思想，讓學(xué)生學(xué)會設(shè)直角三角形的一邊為，再用的代數(shù)式表示其它邊，然后根據(jù)“”列出方程，最后解決問題【例1】

3、如圖1，ABC是直角三角形，DE是AB的垂直平分線，假設(shè)AC=4cm，BC=3cm，求CE的長 分析：CE是RtABC的直角邊，設(shè)CE 為，則BE可用的代數(shù)式表示，由勾股定理列出關(guān)于的方程，解之即可 解：設(shè)CE=cm，AC=4cm，AE=AC-CE=(4-)cm， DE是AB的垂直平分線，BE=AE=(4-)cm， 在RtABC中，, BC=3cm， CE的長為cm2等積思想等積思想是用不同的方法表示同一個圖形的面積，再利用面積相等建立等量關(guān)系，使問題得到解決的一種思維方法勾股定理的證明就是應(yīng)用了這種思維方法公元三世紀(jì)我國漢代的趙爽在注解周髀算經(jīng)時給出 “弦圖”，其中每一個直角三角形稱為“朱實

4、”，中間的一個正方形稱為“中黃實”，以弦為邊的大正方形叫“弦實”，所以，如果以a、b、c 分別表示勾、股、弦之長因此，大正方形的面積可以表示為，同時，大正方形的面積也可以表示為四個“朱實”的面積加上中間的“中黃實”的面積，即可以表示為，化簡得根據(jù)等積思想：它們都表示同一個大正方形的面積，所以有因此，教師在教學(xué)中要有意識的滲透這種思維方法，從而提高學(xué)生的解題能力【例2】在甲村至乙村的公路有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)有C處需要爆破，已知點C與公路上的?？空続的距離為300米，與公路上的另一?？空綛的距離為400米，且CACB，如圖2所示為了安全起見，爆破點C周圍半徑250米范圍內(nèi)不得進入，問在進行爆破時

5、，公路AB段是否有危險，是否需要暫時封鎖？分析：如圖3，此題關(guān)鍵是要求點C到直線AB的距離CD，等積思想就是求CD的思維方法解：如圖3，作CDAB，垂足為點D，在RtABC中，AC=300，BC=400，根據(jù)勾股定理， = ,爆破時，公路AB段是有危險，需要暫時封鎖在教學(xué)過程中，教師還可以把方程思想和等積思想相結(jié)合進行拓展，進一步提高學(xué)生的解題能力【變式】如圖3，在RtABC中，已知BC=40，AB邊上的高CD=24，求AC和AB分析：此題可先設(shè)AC=，利用等積思想把AB用的代數(shù)式表示出來，再根據(jù)“”列出方程，最后解決問題解：設(shè)AC=， = , BC=40， CD=24，在RtABC中，根據(jù)勾

6、股定理得：解得：，因此，AC=30，AB=503分類討論思想分類討論思想就是把研究對象按照某個標(biāo)準(zhǔn)進行分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的答案數(shù)學(xué)里的許多問題，只有用分類討論的思想才能保證解答完整準(zhǔn)確，做到“不漏不重”因此，教師在教學(xué)過程中要注意滲透分類思想【例3】一個直角三角形的兩邊分別為3cm和4cm，則第三條邊長為_.解析：此題可以根據(jù)斜邊進行分類討論，假設(shè)第三邊是斜邊，則兩直角邊分別為3cm和4cm，根據(jù)勾股定理易得第三條邊長為5cm；假設(shè)第三邊是直角邊，則另一條直角邊為3cm，斜邊為4cm，根據(jù)勾股定理易得第三條邊長為cm；綜上所述，答案為5cm

7、或cm4化歸思想化歸思想是指在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時，采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進而到達解決的一種方法教育家波利亞曾經(jīng)說過“解數(shù)學(xué)題轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，就是把那些陌生的、較為困難或復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)問題，通過某種轉(zhuǎn)化方式轉(zhuǎn)化為某些熟悉的、已經(jīng)解決的或容易解決的數(shù)學(xué)問題”因此，教師在教學(xué)過程中要注意滲透轉(zhuǎn)化思想，從而提高學(xué)生應(yīng)用勾股定理解決實際問題的能力【例4】如圖4，一塊長、寬、高分別是6cm、4cm、3cm的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體的一個頂點A處，沿著長方體的外表到長方體上和A相對的頂點B處吃食物，那么它需要爬行的最短路線的長是 Acm Bcm Ccm D9 cm解：求空間幾何體外表的

8、最短距離問題，通?？蓪缀误w外表展開，把立體何圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形問題由于螞蟻爬行的路徑不同，爬行的路徑的長短不一樣，對此要分三種情況：經(jīng)過前面和右面或經(jīng)過左面和后面，這時螞蟻爬行的最短路線是長為4+6=10cm，寬為3cm的矩形的對角線如圖5中的AB，其長為cm經(jīng)過前面和上面，這時螞蟻爬行的最短路線是長為3+6=9cm，寬為3cm的矩形的對角線如圖6中的AB，其長為cm經(jīng)過左面和上面，這時螞蟻爬行的最短路線是長為3+4=7cm，寬為6cm的矩形的對角線如圖7中的AB，其長為cm比較、的結(jié)果，這時螞蟻爬行的最短路線是長為cm答案：應(yīng)選C在勾股定理教學(xué)中，教師還可通過改變立體圖形來穩(wěn)固和加強學(xué)生的

9、轉(zhuǎn)化思想，以到達提高學(xué)生解題能力的目的【變式】如圖，有一個圓柱形無蓋小杯子，杯口向上，它的高為5cm，底面半徑為cm一只螞蟻沿著外表從點A爬到點B，它爬過的最短路程為 _解：把圓柱的側(cè)面展開，螞蟻爬行的最短路線是RtABC的斜邊AB如圖9，其中BC=5，根據(jù)勾股定理可得：，所以它爬過的最短路程為cm5構(gòu)造思想構(gòu)造思想是把問題的結(jié)論與數(shù)學(xué)定理、推論的結(jié)論結(jié)合思考，構(gòu)造或建立數(shù)學(xué)定理、推論所需要的條件，從而解決問題的一種思維方法勾股定理教學(xué)中所謂的構(gòu)造思想是指通過平移、旋轉(zhuǎn)、折疊、割補等方法來構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理或勾股定理的逆定理來解決問題的一種思維方法【例5】 如圖10所示，在等腰AB

10、C，BC=AC，ACB=90°，D、E為斜邊AB上的點，且DCE=45°，求證：分析：問題的結(jié)論是，這與勾股定理的結(jié)論有相關(guān)的聯(lián)系，但這三條線段在同一直線上，因此可以考慮通過旋轉(zhuǎn)和折疊的方法來構(gòu)造直角三角形證法一：如圖11，因為BC=AC，ACB=90°，所以把ACD繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到BCF，即ACDBCFCD=CF,AD=BF,2=3，A=1，BC=AC，ACB=90°，A=5=1=45°，EBF=5+1=90°，連接EF，在RtEBF中，根據(jù)勾股定理得：DCE=45°2+4=4+3=45°，

11、即DCE=ECF,又 CE=CE, CDECFE，DE=EF，證法二：如圖12，把ACD沿著CD對折，得到FCD，連接EF，則ACDFCD，AC=BC=CF,AD=FD,1=2，A=5，ACB=90°，DCE=45°，1+4=45°，2+3=45°，A+B=90°,3=4又CE=CE，CFECBE，EF=EB,6=B，5+6=90°，因此，在RtEBF中，根據(jù)勾股定理得：【例6】如圖13，ABC中，D是AB的中點，AC=12，BC=5，CD=求證：ABC為直角三角形分析：問題的結(jié)論是ABC為直角三角形，它與勾股定理的逆定理的結(jié)論有聯(lián)系

12、，而且5、12、13是勾股數(shù)，因此可以考慮通過旋轉(zhuǎn)ACD的方法來構(gòu)造直角三角形證明：如圖14，因為AD=BD，所以把ACD繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到BED，且點C、D、E在同一直線上，即ACDBEDCD=DE=,AC=BE=12，A=2，CE=CD+DE=13，,BEC是直角三角形，且CBE=1+2=90°，A+1=90°，ACB=180°-(A+1)=90°, 即ABC為直角三角形筆者在課堂中講完例5后，很多學(xué)生都能用上述方法證明例6，說明學(xué)生的解題能確實得到了提高實際上，例6還可以通過構(gòu)造平行四邊形的方法來證明，但四邊形的內(nèi)容在勾股定理這章的后面，所以此題還可以再放到平行四邊形的內(nèi)容中以加強學(xué)生一題多解的能力勾股定理教學(xué)中蘊含著大量的數(shù)學(xué)思想，而數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識和