知識講解離散型隨機(jī)變量均值及方差

1、離散型隨機(jī)變量的均值與方差【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值或期望的概念，會根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值或期望，并能解決一些實(shí)際問題；2. 理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念，會根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出方差或標(biāo)準(zhǔn)差，并能解決一些實(shí)際問題；【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、離散型隨機(jī)變量的期望1. 定義：一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為x1x2xiPp1p2pi則稱 Ex1 p1x2 p2xn pn為 的均值或數(shù)學(xué)期望，簡稱期望要點(diǎn)詮釋：（1）均值（期望）是隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征數(shù)，它反映或刻畫的是隨機(jī)變量取值的平均水平（2）一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量

2、的概率分布中，令p1p2pn ，則有p1p2pn1 ，E(x1x2xn )1 ，所以的數(shù)學(xué)期望又稱為平nn均數(shù)、均值。（3）隨機(jī)變量的均值與隨機(jī)變量本身具有相同的單位2性質(zhì)：E()EE；若ab (a 、 b是常數(shù) ) ，是隨機(jī)變量，則也是隨機(jī)變量，有E(ab)aEb ；E(ab)aEb 的推導(dǎo)過程如下：的分布列為x1x2xiax1bax2 baxi bPP1P2Pi于是 E(ax1b) p1(ax2b) p2(axib) pi a(x1 p1x2 p2xi pi)b( p1p2pi) aEb E(ab)aEb 。要點(diǎn)二 ：離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差1. 一組數(shù)據(jù)的方差的概念：已知一組數(shù)據(jù)x1

3、 ， x2 ， ，xn ，它們的平均值為x ，那么各數(shù)據(jù)與 x 的差的平方的平均數(shù)S21 ( x1 x ) 2 ( x2 x ) 2 ( xn x ) 2 叫做這組數(shù)據(jù)的方差。n2. 離散型隨機(jī)變量的方差：一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為x1x2xiPp1p2pi則稱 D ( x1E ) 2p1 (x2E ) 2 p2 (xnE )2 pi 稱為隨機(jī)變量的方差，式中的E是隨機(jī)變量的期望D的算術(shù)平方根D叫做隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，記作要點(diǎn)詮釋：隨機(jī)變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量 的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度；

4、方差（標(biāo)準(zhǔn)差）越小，隨機(jī)變量的取值就越穩(wěn)定（越靠近平均值）標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問題中應(yīng)用更廣泛。3. 期望和方差的關(guān)系：DE(2)(E )24. 方差的性質(zhì)：若ab (a 、 b是常 數(shù) ) ，是 隨機(jī) 變 量， 則也 是隨 機(jī) 變量 ，DD (ab)a2 D；要點(diǎn)三：常見分布的期望與方差1、二點(diǎn)分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為p 的二點(diǎn)分布，則期望方差EpDp(1p).證明： P(0)q , P(1)p , 0 p 1, p q 1 E0q 1ppD(0p) 2 q(1p) 2 pp(1p).2、二項(xiàng)分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為n, p 的二項(xiàng)分布，即 B(n，

5、P), 則期望 EnP方差 Dnp(1- p)期望公式證明： P(k) Cnk pk (1 p) n kC nk pk qn k ， E0Cn0 p0 qn1 Cn1 p1qn 12Cn2 p2 qn 2. k Cnk pk qn k. n Cnn pnq0 ，又 kC nkkn!n(n1)!nCnk11 ，k! (n k)! (k1)!( n1)( k1)! Enp( Cn0 1 p0qn 1 C 1n 1 p1 qn 2 C nk 11 p k 1q( n 1) ( k 1) C nn 11 p n 1q 0 )np( pq) n 1np 3、幾何分布：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中， 若事件 A 在每一

6、次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都為p ，事件 A 第一 次 發(fā) 生 時(shí) 所 做 的 試 驗(yàn) 次 數(shù)是 隨 機(jī) 變 量 ， 且 P(k )(1p) k 1 p ，k0,1,2,3, n,， 稱 離 散 型 隨 機(jī) 變 量服 從 幾 何 分 布 ， 記 作 ： P(k ) g(k， P) 。若離散型隨機(jī)變量服從幾何分布，且 P(k) g(k， P)，則期望方差1E .p1- pDp2要點(diǎn)詮釋： 隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布或者幾何分布，要從取值和相應(yīng)概率兩個(gè)角度去驗(yàn)證。4、超幾何分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為N , M , n 的超幾何分布，則期望 E( )nMN要點(diǎn)四：離散型隨機(jī)變量的期望與方差的求法及應(yīng)用1

7、、求離散型隨機(jī)變量的期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的基本步驟：理解的意義，寫出可能取的全部值；求取各個(gè)值的概率，寫出分布列；Px1x2p1p2xipi根據(jù)分布列，由期望、方差的定義求出E 、 D、：Ex1 p1x2 p2xn pnDx1222E p1x2 E p2xn E pnD .注意：常見分布列的期望和方差，不必寫出分布列，直接用公式計(jì)算即可2. 離散型隨機(jī)變量的期望與方差的實(shí)際意義及應(yīng)用離散型隨機(jī)變量的期望，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平；隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度。方差越大數(shù)據(jù)波動越大。對于兩個(gè)隨機(jī)變量1 和2 ，當(dāng)需要了解他們的平均水平時(shí)，可比較E 1

8、 和E2 的大小。 E1 和 E2 相等或很接近，當(dāng)需要進(jìn)一步了解他們的穩(wěn)定性或者集中程度時(shí)，比較D 1 和 D 2 ，方差值大時(shí)，則表明 比較離散，反之，則表明 比較集中品種的優(yōu)劣、儀器的好壞、預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確與否、武器的性能等很多指標(biāo)都與這兩個(gè)特征數(shù)（數(shù)學(xué)期望、方差）有關(guān)【典型例題】類型一、離散型隨機(jī)變量的期望例 1某射手射擊所得環(huán)數(shù) 的分布列如下：789100. 0.Pxy13已知 的期望 E8.9 ，則 y 的值為【思路點(diǎn)撥】分布列中含有字母x、y, 應(yīng)先根據(jù)分布列的性質(zhì)，求出的值，再利用期望的定義求解；x、y【解析】 x0.1 0.3 y1，即 xy 0.6. 又 7x0.8 2.7 10

9、y8.9 ，化簡得 7x10y5.4. 由聯(lián)立解得 x0.2 ，y0.4.【總結(jié)升華】求期望的關(guān)鍵是求出分布列，只要隨機(jī)變量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解，舉一反三：【變式 1】某一離散型隨機(jī)變量 的概率分布如下，且E（）=1.5 ，則 ab 為（）0123P0.1ab0.1A 0.1 B0C 0.1D 0.2【答案】 B由分布列的性質(zhì)知：0.10.1=1 ， 0.8 又 E（） =0× 0.1+1 × 2×3×0.1=1.5 ，即 21.2 解得 0.4 ，0.4 ， a 0【變式 2】隨機(jī)變量 的分布列為0240.0.0.P334，則 E(5

10、4) 等于 ()A13B11C2.2D 2.3【答案】 A由已知得：E( ) 0×0.4 2×0.3 4×0.3 1.8 ， E(5 4) 5E() 45×1.8 4 13.【變式 3】節(jié)日期間，某種鮮花進(jìn)貨價(jià)是每束2.5元，銷售價(jià)每束5 元；節(jié)后賣不出去的鮮花以每束 1.6元價(jià)格處理根據(jù)前五年銷售情況預(yù)測，節(jié)日期間這種鮮花的需求量服從如下表所示的分布，若進(jìn)這種鮮花500 束，則期望利潤是 2003004005000.20.30.30.1P5050A.706 元B 690 元C754 元D 720 元【答案】 A節(jié)日期間預(yù)售的量：E200×0.

11、2 300×0.35 400×0.3 500×0.15 40 105 12075 340( 束) ，則期望的利潤：5 1.6(500 ) 500× 2.5 3.4 450， E 3.4E 4503.4 ×340 450 706.期望利潤為706 元【變式4】設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為1，2，3，4，且P(k )akb（k1,2,3,4），E3 ，則ab；【答案】0.1 ；由分布列的概率和為1，有 (ab) (2 ab)(3ab)(4 a b) 1 ，又 E3，即 1 (a b)2 (2 a b)3 (3a b)4(4 ab)3 ，解得 a0.

12、1， b 0 ，故 a b 0.1。例 2. 某同學(xué)參加科普知識競賽，需回答三個(gè)問題，競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得 100 分，回答不正確得 100 分假設(shè)這名同學(xué)回答正確的概率均為 0.8 ，且各題回答正確與否相互之間沒有影響（ 1）求這名同學(xué)回答這三個(gè)問題的總得分X 的概率分布和數(shù)學(xué)期望；（ 2）求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分（即 X0）的概率【思路點(diǎn)撥】 本題顯然為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的問題， 因此求各個(gè)情況的概率直接用公式即可。（ 1）求 X 的可能取值，即求得分，答對0 道題得 300 分，答對 1 道題得 100200=100 分，答對 2 道題得 2×100 100=100 分，答對

13、 3 道題得300 分；（2）總分不為負(fù)分包括100 分和 300 分兩種情況【解析】（ 1）X 的可能取值為 300， 100，100，300P（ 300）=0.2 3=0.008 。P（ 100）=C31 × 0.2 2×0.8=0.096 ，P（100） =C32 × 0.2 × 0.82=0.384 ，P（300） =0.8 3=0.512 所以 X 的概率分布為X 300100100300P0.0080.0960.3840.512E（X）=(300) ×0.008+(100) ×0.096+100×0.384+30

14、0×0.512=180（ 2）這名同學(xué)總得分不為負(fù)分的概率為P （X0）（100）（ 300）=0.384+0.512=0.896 【總結(jié)升華】求離散型隨機(jī)變量均值的關(guān)鍵在于列出概率分布表舉一反三：【變式 1】籃球運(yùn)動員在比賽中每次罰球命中得1 分，罰不中得 0 分，已知他命中的概率為0.7 ，求他罰球一次得分的期望【答案】因?yàn)镻(1)0.7, P(0)0.3 ，所以 E10.700.30.7【變式 2】一盒中裝有零件12 個(gè)，其中有9 個(gè)正品， 3 個(gè)次品，從中任取一個(gè)，如果每次取出次品就不再放回去，再取一個(gè)零件，直到取得正品為止求在取得正品之前已取出次品數(shù)的期望【答案】設(shè)取得正品

15、之前已取出的次品數(shù)為，顯然所有可能取的值為0，1，2，3當(dāng)0時(shí)，即第一次取得正品，試驗(yàn)停止，則p(0)9312 4當(dāng)1 時(shí)，即第一次取出次品，第二次取得正品，試驗(yàn)停止，則p(1)399121144當(dāng)2時(shí)，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，試驗(yàn)停止，則3299p(2)121110220當(dāng)3時(shí)，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，試驗(yàn)停止，則32191p(3)1211109220分布列為0123p3991444220220E 03192931344422022010【變式 3】某城市出租汽車的起步價(jià)為10 元，行駛路程不超出4 時(shí)租車費(fèi)為10 元，若行駛路程超出4，則按每超出加收2 元計(jì)

16、費(fèi)(超出不足的部分按計(jì))從這個(gè)城市的民航機(jī)場到某賓館的路程為15km某司機(jī)經(jīng)常駕車在機(jī)場與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不同以及途中停車時(shí)間要轉(zhuǎn)換成行車路程(這個(gè)城市規(guī)定，每停車5 分鐘按路程計(jì)費(fèi))，這個(gè)司機(jī)一次接送旅客的行車路程 是一個(gè)隨機(jī)變量設(shè)他所收租車費(fèi)為 ( )求租車費(fèi) 關(guān)于行車路程 的關(guān)系式；( )若隨機(jī)變量 的分布列為15161718P0.10.50.30.1求所收租車費(fèi) 的數(shù)學(xué)期望( ) 已知某旅客實(shí)付租車費(fèi)38 元，而出租汽車實(shí)際行駛了15，問出租車在途中因故停車?yán)塾?jì)最多幾分鐘?【答案】( ) 依題意得 =2( -4) 十 10，即 =2 +2；() E15 0.1 16

17、0.5 17 0.3 18 0.1 16.4 =2 +2E2E +2=34.8（元）故所收租車費(fèi) 的數(shù)學(xué)期望為34.8 元( ) 由 38=2 +2，得 =18 ， 5(18-15)=15所以出租車在途中因故停車?yán)塾?jì)最多15 分鐘例 3若某批產(chǎn)品共100 件，其中有 20 件二等品，從中有放回地抽取3件，求取出二等品的件數(shù)的期望、方差?！舅悸伏c(diǎn)撥】 3 次有放回的抽取就是3 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，取出二等品的件數(shù)這一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布?！窘馕觥坑深}知一次取出二等品的概率為0.2 ，有放回地抽取3 件，可以看作 3 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即取出二等品的件數(shù) B(3,0.2) ，所以 Enp30.20.6，

18、Dnp(1p)30.2(1 0.2) 0.48 .【總結(jié)升華】在確定隨機(jī)變量服從特殊分布以后，可直接運(yùn)用公式求其均值舉一反三：【變式 1】 英語考試有 100 道選擇題， 每個(gè)題有 4 個(gè)選項(xiàng)，選對得 1 分，否則得 0 分，學(xué)生甲會其中的 20 道，學(xué)生乙會其中的 80 道，不會的均隨機(jī)選擇，求甲、乙在這次測驗(yàn)中得分的數(shù)學(xué)期望【答案】設(shè)甲、乙不會的題的得分分別為隨機(jī)變量X 和 Y，由題意知X B（80，0.25 ），YB（20， 0.25 ）， E（X） =80× 0.25=20 ，E（Y） =20×0.25=5 故甲、乙的數(shù)學(xué)期望成績分別為40 分和 85 分【變式 2

19、】 甲、乙兩人各進(jìn)行 3 次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為1 ，乙2每次擊中目標(biāo)的概率為2 ，記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為 X，乙擊中目標(biāo)的次數(shù)為3Y，（ 1）求 X 的概率分布；（ 2）求 X 和 Y 的數(shù)學(xué)期望【答案】甲、乙擊中目標(biāo)的次數(shù)均服從二項(xiàng)分布3（1） P(X 0)C30 11 ，281313 ，P( X1)C3283P( X2)C3213 ，281331 。P( X3)C328所以 X 的概率分布如下表：X0123P13318888（ 2）由（ 1）知 E(X ) 01132 3 31 1.5，8888或由題意 XB 3,1 ，YB 3,2。23E(X) 3 11.5， E(Y)322。2

20、3【變式 3】 一次單元測驗(yàn)由20 個(gè)選擇題構(gòu)成， 每個(gè)選擇題有4 個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案，每題選擇正確答案得5 分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分， 滿分 100 分學(xué)生甲選對任一題的概率為0.9 ，學(xué)生乙則在測驗(yàn)中對每題都從4 個(gè)選擇中隨機(jī)地選擇一個(gè)，求學(xué)生甲和乙在這次英語單元測驗(yàn)中的成績的期望【答案】設(shè)學(xué)生甲和乙在這次英語測驗(yàn)中正確答案的選擇題個(gè)數(shù)分別是,，則B(20,0.9) , B(20,0.25) ,E200.9 18, E20 0.25 5由于答對每題得5 分，學(xué)生甲和乙在這次英語測驗(yàn)中的成績分別是5和 5所以，他們在測驗(yàn)中的成績的期望分別是：E(5 )5E( )5189

21、0,E(5 )5E( )5525類型二、離散型隨機(jī)變量的方差例 4.設(shè) X 是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其概率分布如下表，試求E（ X）和 D（X）X101P112qq22【思路點(diǎn)撥】由概率分布的性質(zhì)求出q 的值后，再計(jì)算 E（X），D（ X）【解析】由概率分布的性質(zhì)，得：1(12q)q212，得 q 12 。012q10q212E(X)1 10(21)13212，22D(X) ( 22)2 1( 12) 2(21)(2)2 322 1 。22【總結(jié)升華】求隨機(jī)變量的方差，應(yīng)先明確隨機(jī)變量的概率分布。然后利用均值與方差的定義列式計(jì)算舉一反三：【變式 1】 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率分布為X12nP111

22、nnn求 D(X）?！敬鸢浮?本題考查方差的求法可由分布列先求出X 的期望 E（X），再利用方差的定義求之也可直接利用公式D（ X）（ X2） E（X） 2 來解解法一：E(X)1121n 1(1 2n) 1nnnnn(n 1) 1n1 ，2n2n21n21n 12VD(X )1121n12n2n2n1 (1222n2 )(n1)(12n)n (n1)2n2 1 。n412解法二：由解法一可求得E(X)n1 。1112又 E(X2) 1222n2nnn1 (1222n2 )(n 1)(2n1) ，n6VD(X ) E(X 2) E(X )2( n 1)(2 n 1) (n 1)2n2 1 。6

23、412【變式 2】1 已知隨機(jī)變量 的分布列如下表：101P111236（ 1）求 E（ ）， D（ ），；（ 2）設(shè) =2 +3，求 E（），D（ ）【答案】（ 1） E( )x1 p1x2 p2 x3 p3( 1)10 1 111 ；2363D ( ) x1E( )2p1 x2E( )2 p2 x3E( ) 2 p35 ，D ( )5 。93（2） E( )2E() 37，D( )4D( )20 。39例 5. 設(shè)某運(yùn)動員投籃投中的概率為0.6 （ 1）求一次投籃時(shí)，投中次數(shù) X 的數(shù)學(xué)期望和方差；（ 2）求重復(fù) 5 次投籃時(shí)，投中次數(shù) Y 的數(shù)學(xué)期望和方差【思路點(diǎn)撥】（1）投籃一次可能中

24、，也可能不中，投中次數(shù)X 服從兩點(diǎn)分布；（ 2）重復(fù)投籃 5 次的投中次數(shù) Y 服從二項(xiàng)分布【解析】（ 1）X 服從兩點(diǎn)分布，其分布列如下：X01P0.40.6所以 E（X） 0.6 ，D（ X）（1 p）=0.24 （ 2）由題設(shè)， Y B（ 5，0.6 ）所以 E（Y） 5×0.6=3 ，D （Y）（1p） =5×0.6 ×0.4=1.2 【總結(jié)升華】對于兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布，可直接運(yùn)用公式計(jì)算舉一反三：【變式 1】籃球運(yùn)動員在比賽中每次罰球命中得1 分，罰不中得0 分，已知他命中的概率為0.7 ，求他罰球三次得分的期望和方差?！敬鸢浮苛P球三次可以看作3 次獨(dú)立

25、重復(fù)試驗(yàn)，即罰球三次得分 B(3,0.7) ，所以 Enp 3 0.7 2.1Dnp(1 p) 3 0.7 (1 0.7) 0.63 .【變式 2】有 10 件產(chǎn)品 , 其中 3 件是次品 . 從中任取 2 件, 若抽到的次品數(shù)為 X, 求 X 的分布列 , 期望和方差 .【答案】類型三、離散型隨機(jī)變量的期望和方差的應(yīng)用例 6.甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分是兩個(gè)隨機(jī)變量，分別記為X1和 X2，它們的概率分布分別為X1012X2012P0.1a0.4p0.20.2b（ 1）求 a， b 的值；（ 2）計(jì)算 X1 和 X2 的數(shù)學(xué)期望和方差，并以此分析甲、乙兩射手的技術(shù)狀況【思路點(diǎn)撥】本題考查

26、分布列的性質(zhì)、 期望與方差的求法及對期望與方差的理解（ 1）可直接由分布列的性質(zhì)列式求解（2）利用定義求期望與方差【解析】（1）由分布列的性質(zhì)知，0.10.4=1 ，0.2+0.21 ，即 0.5 ，0.6 。（ 2）E（X1）=0× 0.1+1 ×0.5+2 ×0.4=1.3 ，E（X2）=0×0.2+1×0.2+2 ×0.6=1.4 ，D（X1）=(0 1.3)2× 0.1+(1 1.3)2× 0.5+(2 1.3)2× 0.4=0.41 ，D（X2）=(0 1.4)2× 0.2+(1 1.

27、4)2× 0.2+(2 1.4)2× 0.6=0.64 。由上述計(jì)算的結(jié)果可知，乙的平均水平較甲好一點(diǎn)，但乙的穩(wěn)定性不如甲【總結(jié)升華】離散型隨機(jī)變量的期望與方差分別反映了隨機(jī)變量的取值的平均水平和波動大小（或離散程度）舉一反三：【變式 1】 A、B 兩臺機(jī)床同時(shí)加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時(shí)，出次品的概率如下表所示：問哪一臺機(jī)床加工質(zhì)量較好.A機(jī)床B機(jī)床次品數(shù)次品數(shù)0123012311概率 P 0.70.20.060.04概率 P 0.80.060.040.10【答案】 E 1=0×0.7+1 ×0.2+2 ×0.06+3 ×0

28、.04=0.44,E 2=0× 0.8+1 ×0.06+2 ×0.04+3 ×0.10=0.44.它們的期望相同，再比較它們的方差.222）D1=（0-0.44 ）×0.7+（1-0.44）×0.2+（ 2-0.44）× 0.06+（3-0.442× 0.04=0.6064,222）D2=（0-0.44 ）×0.8+（1-0.44）× 0.06+（2-0.44）×0.04+（3-0.442× 0.10=0.9264. D1< D2故 A 機(jī)床加工較穩(wěn)定、質(zhì)量較好.【變式

29、 2】有甲乙兩個(gè)單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息：甲單位不同職位月工1111資X/元200 400 600 8001獲得相應(yīng)職位的概率0.40.30.20.1P1乙單位不同職位月工1112資X2/元000 400 800 200獲得相應(yīng)職位的概率0.40.30.20.1P2根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？【答案】根據(jù)月工資的分布列，利用計(jì)算器可算得E(X1) 1 200 ×0.4 1 400 ×0.3 1 600 ×0.2 1 800 ×0.1 1400，D(X1) (1 200 1 400) 2×0.4 (1 400 1 40

30、0) 2×0.3 (1 600 1 400) 2×0.2 (1 800 1 400) 2×0.1 40 000 ；E(X2) 1 000 ×0.4 1 400 ×0.3 1 800 ×0.2 2 200 ×0.1 1400，D(X2) (1 000 1 400) 2×0.4 (1 400 1 400) 2×0.3 (1 800 1 400) 2×0.2 (2 200 1 400) 2×0.1 160 000.因?yàn)?E(X1) E(X2) ，D(X1)<D(X 2) ，所以兩家單位的工資均值相等，但甲單位不同職位的工資相對集中，乙單位不同職位的工資相對分散這樣，如果你希望不同職位的工