圓冪定理課件講義(帶答案).doc

1、圓冪定理STEP 1: 進門考理念： 1.檢測垂徑定理的基本知識點與題型。2.垂徑定理典型例題的回顧檢測。3. 分析學生圓部分的薄弱環(huán)節(jié)。（ 1）例題復習。1. （2015?夏津縣一模）一副量角器與一塊含 30銳角的三角板如圖所示放置，三角板的直角頂點 C 落在量角器的直徑 MN 上，頂點 A ， B 恰好都落在量角器的圓弧上，且AB MN 若 AB=8cm ，則量角器的直徑MN=cm【考點】 M3：垂徑定理的應用；KQ：勾股定理；T7：解直角三角形【分析】 作 CD AB 于點 D ，取圓心 O，連接 OA ，作 OE AB 于點 E，首先求得 CD 的長，即 OE 的長，在直角AOE 中，

2、利用勾股定理求得半徑OA 的長，則MN 即可求解【解答】 解：作 CDAB 于點 D，取圓心O，連接 OA ，作 OE AB 于點 E在直角 ABC 中， A=30，則 BC=AB=4cm ，在直角 BCD 中， B=90 A=60，CD=BC?sinB=4 =2（ cm）， OE=CD=2，在 AOE 中， AE=AB=4cm ，則 OA=2（ cm），則 MN=2OA=4（ cm） 故答案是： 4【點評】 本題考查了垂徑定理的應用，在半徑或直徑、弦長以及弦心距之間的計算中，常用的方法是轉化為解直角三角形1/272. （2017?阿壩州）如圖將半徑為 2cm 的圓形紙片折疊后， 圓弧恰好經過

3、圓心 O，則折痕 AB 的長為（）A 2cm BcmC2cm D2cm【考點】 M2：垂徑定理；PB：翻折變換（折疊問題）【分析】 通過作輔助線， 過點 O 作 OD AB 交 AB 于點 D，根據折疊的性質可知OA=2OD ，根據勾股定理可將AD 的長求出，通過垂徑定理可求出AB 的長【解答】 解：過點 O 作 OD AB 交 AB 于點 D，連接 OA ，OA=2OD=2cm ， AD=（ cm），OD AB ， AB=2AD=2cm 故選： D 【點評】 本題考查了垂徑定理和勾股定理的運用，正確應用勾股定理是解題關鍵3. （2014?瀘州）如圖，在平面直角坐標系中， P 的圓心坐標是（

4、3， a）（ a3），半徑為 3，函數 y=x 的圖象被 P 截得的弦 AB 的長為，則 a 的值是（）A4BCD【考點】 M2：垂徑定理；F8：一次函數圖象上點的坐標特征；KQ ：勾股定理【專題】 11 ：計算題； 16 ：壓軸題【分析】 PC x 軸于 C，交 AB 于 D，作 PE AB 于 E，連結 PB，由于 OC=3 ， PC=a，易得 D 點坐標為（ 3，3），則 OCD 為等腰直角三角形，PED 也為等腰直角三角形由PE2/27AB ，根據垂徑定理得AE=BE=AB=2，在 Rt PBE 中，利用勾股定理可計算出PE=1 ，則 PD=PE=，所以 a=3+【解答】 解：作 PC

5、 x 軸于 C，交 AB 于 D，作 PE AB 于 E，連結 PB，如圖， P 的圓心坐標是（3， a）， OC=3 ，PC=a，把 x=3 代入 y=x 得 y=3， D 點坐標為（ 3， 3）， CD=3， OCD 為等腰直角三角形，PED 也為等腰直角三角形，PEAB ， AE=BE=AB= 4=2，在 Rt PBE 中， PB=3 ，PE=， PD=PE=， a=3+故選： B【點評】 本題考查了垂徑定理： 垂直于弦的直徑平分這條弦， 并且平分弦所對的兩條弧也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性質4. （2013?內江）在平面直角坐標系 xOy 中，以原點 O 為圓心的圓過點 A（ 1

6、3，0），直線 y=kx 3k+4 與 O 交于 B、C 兩點，則弦 BC 的長的最小值為【考點】 FI：一次函數綜合題【專題】 16 ：壓軸題【分析】 根據直線 y=kx 3k+4 必過點 D（ 3， 4），求出最短的弦CB 是過點 D 且與該圓直徑垂直的弦，再求出OD 的長，再根據以原點O 為圓心的圓過點A （ 13， 0），求出OB 的長，再利用勾股定理求出BD ，即可得出答案【解答】 解：直線y=kx 3k+4=k （ x 3） +4， k（ x 3） =y 4， k 有無數個值， x 3=0 ， y 4=0 ，解得 x=3 ，y=4 ，直線必過點D （3， 4），最短的弦CB 是過點

7、 D 且與該圓直徑垂直的弦，點 D 的坐標是（ 3， 4）， OD=5 ，3/27以原點 O 為圓心的圓過點A（ 13， 0），圓的半徑為13，OB=13 ， BD=12 ， BC 的長的最小值為24；故答案為： 24【點評】 此題考查了一次函數的綜合， 用到的知識點是垂徑定理、 勾股定理、 圓的有關性質，關鍵是求出 BC 最短時的位置STEP 2: 新課講解1、熟練掌握圓冪定理的基本概念。2、熟悉有關圓冪定理的相關題型，出題形式與解題思路。3、能夠用自己的話敘述圓冪定理的概念。4、通過課上例題，結合課下練習。掌握此部分的知識。一、相交弦定理相交弦定理（ 1）相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交

8、點分成的兩條線段長的積相等（經過圓內一點引兩條線，各弦被這點所分成的兩段的積相等）幾何語言：若弦 AB 、CD 交于點 P，則 PA?PB=PC?PD（相交弦定理）（ 2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項幾何語言：若 AB 是直徑， CD 垂直 AB 于點 P，則 PC2=PA?PB（相交弦定理推論）基本題型：【例 1】 （2014 秋?江陰市期中）如圖，O 的弦 AB 、CD 相交于點 P，若 AP=3，BP=4，CP=2，則 CD 長為（）A6B12C8D不能確定4/27【考點】 M7：相交弦定理【專題】 11 ：計算題【分析】 由相交線定理可得出

9、 AP?BP=CP?DP，再根據 AP=3 ，BP=4 ， CP=2，可得出 PD 的長，從而得出 CD 即可【解答】 解： AP?BP=CP?DP，PD=， AP=3 ， BP=4 ， CP=2， PD=6 ，CD=PC +PD=2+6=8 故選 C【點評】 本題考查了相交線定理，圓內兩條弦相交，被交點分成的兩條線段的積相等【練習 1】（ 2015?南長區(qū)一模）如圖，矩形 ABCD 為 O 的內接四邊形， AB=2 ，BC=3，點 E 為 BC 上一點，且 BE=1，延長 AE 交 O 于點 F，則線段 AF的長為（）AB5C+1D【考點】 M7：相交弦定理【分析】 由矩形的性質和勾股定理求

10、出AE ，再由相交弦定理求出EF，即可得出AF 的長【解答】 解：四邊形ABCD 是矩形， B=90，AE=， BC=3 ， BE=1 ， CE=2 ，由相交弦定理得： AE?EF=BE?CE，EF=，AF=AE +EF=；故選： A【點評】 本題考查了矩形的性質、勾股定理、 相交弦定理；熟練掌握矩形的性質和相交弦定理，并能進行推理計算是解決問題的關鍵綜合題型【例 2】 （2004?福州）如圖， AB 是 O 的直徑， M 是 O 上一點， MN AB ，垂足為 NP、Q 分別是 、 上一點（不與端點重合），如果 MNP=5/27MNQ ，下面結論： 1=2； P+ Q=180； Q=PMN

11、；PM=QM ；MN 2=PN?QN其中正確的是（）ABCD【考點】 M7：相交弦定理； M2 ：垂徑定理； M4 ：圓心角、弧、弦的關系； M5 ：圓周角定理； S9：相似三角形的判定與性質【專題】 16 ：壓軸題【分析】 根據圓周角定理及已知對各個結論進行分析，從而得到答案【解答】 解：延長MN 交圓于點 W ，延長 QN 交圓于點E，延長 PN 交圓于點 F，連接 PE，QF PNM= QNM ，MN AB ， 1= 2（故正確）， 2 與 ANE 是對頂角， 1= ANE ，AB 是直徑，可得 PN=EN ，同理 NQ=NF ，2點 N 是 MW 的中點， MN?NW=MN=PN?NF

12、=EN?NQ=PN?QN （故正確）， PNM= QNM ， NPM NMQ ， Q= PMN （故正確）故選 B【點評】 本題利用了相交弦定理，相似三角形的判定和性質，垂徑定理求解與代數結合的綜合題【例 3】 （2016?中山市模擬） 如圖，正方形 ABCD 內接于 O，點 P 在劣弧 AB上，連接 DP，交 AC 于點 Q若 QP=QO，則的值為（）6/27ABCD【考點】 M7：相交弦定理；KQ ：勾股定理【專題】 11 ：計算題【分析】 設 O 的半徑為r，QO=m ，則 QP=m ，QC=r +m，QA=r m利用相交弦定理，求出 m 與 r 的關系，即用r 表示出 m，即可表示出所

13、求比值【解答】 解：如圖，設 O 的半徑為 r，QO=m ，則 QP=m ， QC=r +m， QA=r m在 O 中，根據相交弦定理，得QA?QC=QP?QD即（ r m）（ r+m） =m?QD，所以 QD=連接 DO ，由勾股定理，得QD 2=DO 2+QO2，即，解得所以，故選 D【點評】 本題考查了相交弦定理，即 “圓內兩弦相交于圓內一點，各弦被這點所分得的兩線段的長的乘積相等 ”熟記并靈活應用定理是解題的關鍵需要做輔助線的綜合題【例 4】 （2008 秋?蘇州期末）如圖， O 過 M 點， M 交 O 于 A，延長 O的直徑 AB 交 M 于 C，若 AB=8 ，BC=1，則 AM

14、=7/27【考點】 M7：相交弦定理；KQ ：勾股定理； M5 ：圓周角定理【分析】 根據相交弦定理可證AB?BC=EB?BF= （ EM +MB ）（ MF MB ） =AM22，MB =8又由直徑對的圓周角是直角，用勾股定理即可求解AM=6 【解答】 解：作過點 M 、 B 的直徑 EF，交圓于點E、F，則 EM=MA=MF ，22由相交弦定理知，AB?BC=EB?BF= （EM +MB ）（ MF MB ） =AM MB =8， AMB=90 ，由勾股定理得，AM 2+MB 2=AB 2=64 ， AM=6 【點評】 本題利用了相交弦定理，直徑對的圓周角是直角，勾股定理求解二、割線定理割

15、線定理割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等幾何語言： PBA ， PDC 是 O 的割線 PD?PC=PA?PB（割線定理）由上可知： PT2=PA?PB=PC?PD基本題型【例 5】 （1998?紹興）如圖，過點P 作 O 的兩條割線分別交 O 于點 A 、 B和點 C、 D，已知 PA=3，AB=PC=2 ，則 PD 的長是（）8/27A3B7.5 C5D5.5【考點】 MH ：切割線定理【分析】 由已知可得PB 的長，再根據割線定理得PA?PB=PC?PD即可求得PD 的長【解答】 解： PA=3， AB=PC=2 ，PB=5 ，PA?PB=

16、PC?PD，PD=7.5 ，故選 B【點評】 主要是考查了割線定理的運用【練習 2】（ 2003?天津）如圖， RtABC 中， C=90， AC=3，BC=4，以點 C 為圓心、 CA 為半徑的圓與 AB 、BC 分別交于點 D、 E求 AB 、AD 的長【考點】 MH ：切割線定理；KQ ：勾股定理【分析】 Rt ABC 中，由勾股定理可直接求得AB 的長；延長 BC 交 C 于點 F，根據割線定理，得BE?BF=BD?BA ，由此可求出BD 的長，進而可求得 AD 的長【解答】 解：法 1：在 Rt ABC 中， AC=3 ， BC=4 ；根據勾股定理，得AB=5 延長 BC 交 C 于

17、點 F，則有：EC=CF=AC=3 （ C 的半徑），BE=BC EC=1 ， BF=BC +CF=7 ；由割線定理得，BE?BF=BD?BA ，于是 BD=；所以 AD=AB BD=；法 2：過 C 作 CM AB ，交 AB 于點 M ，如圖所示，9/27由垂徑定理可得M 為 AD 的中點，S ABC =AC?BC=AB?CM ，且 AC=3 ， BC=4 ， AB=5 ，CM=，在 Rt ACM 中，根據勾股定理得： AC 2=AM 2+CM 2，即 9=AM 2+（） 2，解得： AM=，AD=2AM=【點評】 此題主要考查學生對勾股定理及割線定理的理解及運用綜合題型【例 6】 （20

18、15?武漢校級模擬） 如圖，兩同心圓間的圓環(huán)的面積為16，過小圓上任意一點 P 作大圓的弦 AB ，則 PA?PB的值是（）A 16B16C 4D4【考點】 MH ：切割線定理【分析】 過 P 點作大圓的直徑CD，如圖，設大圓半徑為R，小圓半徑為r，根據相交弦定22222 r2理得到 PA?PB=（OC OP）?（ OP+OD） =R r ，再利用 R r得到 R=16，所=16以 PA?PB=16【解答】 解：過 P 點作大圓的直徑CD，如圖，設大圓半徑為R，小圓半徑為r， PA?PB=PC?PD， PA?PB=（OC OP） ?（ OP+OD ）10 /27=（R r）（ R+r）22=R

19、 r ，兩同心圓間的圓環(huán)（即圖中陰影部分）的面積為16，22R r=16 ，R2 r2=16 ， PA?PB=16故選 A【點評】 本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧也考查了相交弦定理【思考】觀察講義課后練習最后一道題，是否有思路？三、切割線定理切割線定理切割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等幾何語言： PBA ， PDC 是 O 的割線 PD?PC=PA?PB（割線定理）2由上可知： PT =PA?PB=PC?PD【例 7】 （2013?長清區(qū)二模）如圖， PA 為 O 的切線， A 為切點， O 的割線 PBC

20、過點 O 與 O 分別交于 B、C，PA=8cm，PB=4cm，求 O 的半徑【考點】 MH ：切割線定理【專題】 11 ：計算題【分析】 連接 OA ，設 O 的半徑為rcm，由勾股定理，列式計算即可【解答】 解：連接 OA ，設 O 的半徑為 rcm，（ 2 分）則 r2+82=（r+4） 2，（ 4 分）11/27PC2=PB?PA解得 r=6， O 的半徑為6cm（ 2 分）【點評】 本題考查的是切割線定理，勾股定理，是基礎知識要熟練掌握【練習 3】（ 2013 秋 ?東臺市期中）如圖，點P 是 O 直徑 AB 的延長線上一點，PC 切 O 于點 C，已知 OB=3，PB=2則 PC

21、等于（）A2B3C4D5【考點】 MH ：切割線定理【專題】 11 ：計算題2【分析】 根據題意可得出PC =PB?PA，再由 OB=3 ，PB=2 ，則 PA=8，代入可求出PC2【解答】 解： PC、 PB 分別為 O 的切線和割線，PC =PB?PA，2OB=3 ， PB=2 ， PA=8 ， PC =PB?PA=2 8=16， PC=4故選 C【點評】 本題考查了切割線定理，熟記切割線定理的公式四、切線長定理切割線定理（ 1）圓的切線長定義：經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長（ 2）切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點

22、的連線，平分兩條切線的夾角（ 3）注意：切線和切線長是兩個不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量（ 4）切線長定理包含著一些隱含結論：垂直關系三處；全等關系三對；弧相等關系兩對，在一些證明求解問題中經常用到12 /27【例 8】 （2015?秦皇島校級模擬）如圖，一圓內切四邊形ABCD ，且 BC=10，AD=7 ，則四邊形的周長為（）A32B34C36D38【考點】 MG ：切線長定理【分析】根據切線長定理， 可以證明圓外切四邊形的性質： 圓外切四邊形的兩組對邊和相等，從而可求得四邊形的周長【解答】 解：由題意可得圓外切四邊形的兩

23、組對邊和相等，所以四邊形的周長=2（ 7+10） =34 故選： B【點評】 此題主要考查了切線長定理， 熟悉圓外切四邊形的性質： 圓外切四邊形的兩組對邊和相等是解題關鍵【練習 4】（ 2015?岳池縣模擬）如圖， PA，PB 切 O 于 A ，B 兩點， CD 切 O 于點 E 交 PA，PB 于 C，D，若 O 的半徑為 r， PCD 的周長為 3r，連接OA， OP，則的值是（）ABCD【考點】 MG ：切線長定理；MC ：切線的性質【分析】 利用切線長定理得出CA=CF ， DF=DB ， PA=PB ，進而得出PA=r，求出即可【解答】 解： PA，PB 切 O 于 A，B 兩點，

24、CD 切 O 于點 E 交 PA， PB 于 C，D， CA=CF ， DF=DB ， PA=PB ， PC+CF+DF +PD=PA=PB=2PA=3r ， PA= r，則的值是：=故選： D【點評】 此題主要考查了切線長定理，得出PA 的長是解題關鍵13 /27【例 9】 （2014 秋?夏津縣校級期末）如圖， P 為 O 外一點， PA，PB 分別切 O 于 A ， B，CD 切 O 于點 E，分別交 PA，PB 于點 C，D若 PA=5，則PCD 的周長和 COD 分別為（）A 5，（90+ P）B7，90+C10，90 P D10， 90+ P【考點】 MG ：切線長定理【分析】根據

25、切線長定理， 即可得到PA=PB，ED=AD ，CE=BC ，從而求得三角形的周長=2PA ；連接 OA 、OE、OB 根據切線性質，P+ AOB=180 ，再根據 CD 為切線可知COD=AOB 【解答】 解： PA、PB 切 O 于 A 、 B ，CD 切 O 于 E， PA=PB=10 ， ED=AD ， CE=BC ； PCD 的周長 =PD+DE +PC+CE=2PA，即 PCD 的周長 =2PA=10，；如圖，連接 OA 、 OE、 OB由切線性質得，OA PA， OBPB ， OE CD， DB=DE ，AC=CE ，AO=OE=OB ，易證 AOC EOC（ SAS）， EOD

26、 BOD （ SAS）， AOC= EOC， EOD= BOD ， COD= AOB ， AOB=180 P， COD=90 P故選： C【點評】 本題考查了切線的性質， 運用切線的性質來進行計算或論證， 常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題，是基礎題型五、圓冪定理14 /27請嘗試解出下列例題：【例 10】 （ 2005?廣州）如圖，在直徑為 6 的半圓上有兩動點 M 、N，弦 AM 、BN 相交于點 P，則 AP?AM+BP?BN 的值為【考點】 M7：相交弦定理；KQ ：勾股定理； M5 ：圓周角定理【專題】 16 ：壓軸題； 25 ：動點型【分析】 連接 A

27、N 、BM ，根據圓周角定理，由 AB 是直徑，可證 AMB=90 ，由勾股定理知， BP2=MP 2+BM 2，由相交弦定理知， AP?PM=BP?PN，原式 =AP（AP +PM ）+BP（BP+PN）=AP 2+AP?PM+BP2+BP?PN=AP2 +BP2+2AP?PM=AP 2+MP2+BM 2+2AP?PM=AP 2+ （ AP +PM ）2=AP 2+AM2=AB 2 =36【解答】 解：連接 AN 、 BM ，AB 是直徑， AMB=90 222BP =MP +BM AP?PM=BP?PN原式 =AP （ AP+PM ）+BP（ BP+PN）=AP 2 +AP?PM +BP2

28、+BP?PN=AP 2+BP2+2AP?PM=AP 2+MP 2+BM 2+2AP?PM=BM 2+（ AP+PM ） 2=BM 2+AM 2=AB 2=36 【點評】 本題利用了圓周角定理和相交弦定理，勾股定理求解以上四條定理統(tǒng)稱為圓冪定理。（部分參考書以前三條為圓冪定理）圓冪定理 ：過平面內任一點P（P 與圓心 O 不重合）做 O 的（切）割線，交 O 與點 A 、B，則恒有 PA PBOP 2r 2 。（“ OP 2r 2 ”被稱為點 P 到O 的冪。）15 /27STEP 3: 落實鞏固 查漏補缺理念： 找到自己本節(jié)課的薄弱環(huán)節(jié)。STEP 4: 總結理念： 本結課復習了什么？學到了什么

29、？方法： 學生口述 +筆記記錄。STEP 5: 課后練習一選擇題（共5 小題）1如圖所示，已知 O 中，弦 AB ， CD 相交于點 P，AP=6， BP=2，CP=4，則PD 的長是（）A6B5C4D3【分析】 可運用相交弦定理求解，圓內的弦 AB ， CD 相交于 P，因此 AP?PB=CP?PD，代入已知數值計算即可【解答】 解：由相交弦定理得AP?PB=CP?PD， AP=6 ， BP=2 ， CP=4， PD=AP?PB CP=6 24=3 故選 D【點評】 本題主要考查的是相交弦定理 “圓內兩弦相交于圓內一點，各弦被這點所分得的兩線段的長的乘積相等 ”2O的兩條弦 AB與 CD相交

30、于點 P，PA=3cm，PB=4cm，PC=2cm，則 CD=（）16 /27A 12cmB6cm C8cm D 7cm【分析】 根據相交弦定理進行計算【解答】 解：由相交弦定理得：PA?PB=PC?PD，DP=6cm ，CD=PC+PD=2 +6=8cm 故選 C【點評】 本題主要是根據相交弦定理 “圓內兩弦相交于圓內一點，各弦被這點所分得的兩線段的長的乘積相等 ”進行計算3如圖， O 中，弦 AB 與直徑 CD 相交于點 P，且 PA=4， PB=6，PD=2，則 O 的半徑為（）A9B8C7D6【分析】 根據相交弦定理得出AP BP=CP DP，求出 CP，求出 CD 即可【解答】 解：

31、由相交弦定理得：AP BP=CP DP， PA=4 ，PB=6 ，PD=2 ， CP=12 ， DC=12 +2=14，CD 是 O 直徑， O 半徑是 7故選 C【點評】 本題考查了相交弦定理的應用，關鍵是能根據定理得出AP BP=CP DP4如圖，A 是半徑為 1 的圓 O 外的一點， OA=2 ，AB 是 O 的切線， B 是切點，弦 BCOA ，連接 AC ，則陰影部分的面積等于（）ABCD【分析】 連接 OB ，OC，易證： BOC 是等邊三角形，且陰影部分的面積 = BOC 的面積，據此即可求解【解答】 解：連接 OB， OC，AB 是圓的切線，17 /27 ABO=90 ，在直角

32、 ABO 中， OB=1 ， OA=2 ， OAB=30 ， AOB=60 ，OA BC， COB= AOB=60 ，且 S 陰影部分 =SBOC ， BOC 是等邊三角形，邊長是1，S 陰影部分 =SBOC= 1=故選 A【點評】 本題主要考查了三角形面積的計算，以及切割線定理，正確證明BOC 是等邊三角形是解題的關鍵5如圖， PA，PB 分別是 O 的切線， A ，B 分別為切點，點E 是 O 上一點，且 AEB=60，則 P 為（）A 120B60C30D 45【分析】 連接 OA ，BO ，由圓周角定理知可知AOB=2 E=120，PA、PB 分別切 O 于點A 、 B ，利用切線的性

33、質可知 OAP= OBP=90，根據四邊形內角和可求得 P=180 AOB=60【解答】 解：連接 OA ， BO； AOB=2 E=120， OAP= OBP=90 ， P=180 AOB=60 故選 B【點評】 本題考查了切線的性質，切線長定理以及圓周角定理，利用了四邊形的內角和為360 度求解18 /27二解答題（共3 小題）6如圖， P 為弦 AB 上一點， CPOP 交 O 于點 C，AB=8 ，=，求 PC 的長【分析】延長 CP 交 O 于 D 由垂徑定理可知CP=DP ，由 AB=8 ，=，得到 AP=AB=2 ，PB=AB=6 再根據相交弦定理得出PC?PD=AP?PB，代入

34、數值計算即可求解【解答】 解：如圖，延長CP 交 O 于 DCPOP，CP=DP AB=8 ，=， AP= AB=2 ，PB= AB=6 AB 、 CD 是 O 的兩條相交弦，交點為P， PC?PD=AP?PB， PC2=2 6， PC=2 【點評】本題考查了相交弦定理： 圓內的兩條相交弦， 被交點分成的兩條線段長的積相等 同時考查了垂徑定理，準確作出輔助線是解題的關鍵7如圖， AB ， BC， CD 分別與 O 相切于 E，F，G，且 AB CD， BO=6cm，CO=8cm求 BC 的長19 /27【分析】 根據切線長定理和平行線的性質定理得到BOC 是直角三角形再根據勾股定理求出 BC

35、的長【解答】 解： AB ，BC ， CD 分別與 O 相切于 E， F， G； CBO= ABC ， BCO=DCB ，AB CD， ABC + DCB=180 ， CBO + BCO= ABC +DCB=（ ABC + DCB ） =90cm【點評】 解答此題的關鍵是綜合運用切線長定理和平行線的性質發(fā)現Rt BOC，再根據勾股定理進行計算8如圖， PA 切 O 于點 A，割線 PBC 交 O 于點 B、C（ 1）求證： PA2=PB?PC；（ 2）割線 PDE 交 O 于點 D、E，且 PB=BC=4，PE=6，求 DE 的長【分析】（ 1）連接 AB 、AC 、BO、AO ，可證得 PA

36、B PCA，則，即 PA2 =PB?PC22（2）由 PA =PB?PC，同理得， PA =PD?PE，可證得 PD?PE=PB?PC，根據題意可求得 PD，即得出 DE 的長【解答】 解：（ 1）連接 AB 、 AC 、BO 、 AO ，PA 切O 于點 A，PA AO ，即 PAB+ BAO=90 ，（ 1 分）又 2 BAO +O=180， PAB= O， C=O， PAB= C，20 /27 PAB PCA，（ 4 分），即 PA2=PB?PC（ 5 分）（ 2） PA2=PB?PC，同理， PA2=PD?PE，PD?PE=PB?PC，（ 7 分）且 PB=BC=4 ， PE=6，（9

37、分）即 DE=PE PD=6 = （10分）【點評】 本題考查的是切割線定理，相似三角形的判定和性質，是基礎知識要熟練掌握9.（2014?長沙校級自主招生） 以半圓中的一條弦BC（非直徑）為對稱軸將弧 BC折疊后與直徑 AB 交于點 D，若，且 AB=10 ，則 CB 的長為（）ABCD4【考點】 MH ：切割線定理；KQ ：勾股定理； PB ：翻折變換（折疊問題）【專題】 31 ：數形結合【分析】 作 AB 關于直線 CB 的對稱線段 AB，交半圓于 D，連接 AC 、CA，構造全等三角形，然后利用勾股定理、割線定理解答【解答】 解：如圖，若，且 AB=10 ， AD=4 ，BD=6 ，作

38、AB 關于直線 BC 的對稱線段 AB，交半圓于 D，連接 AC 、CA，可得 A 、C、A三點共線，線段 AB與線段 AB 關于直線 BC 對稱， AB=AB，AC=AC，AD=AD=4， AB=AB=10而 AC?AA=AD?A，B即AC?2AC=4 10=402則 AC，=202222， CB=4又 AC CB， 20=100 CB=AB故選 A21 /27【點評】 此題將翻折變換、勾股定理、割線定理相結合，考查了同學們的綜合應用能力，要善于觀察圖形特點，然后做出解答22 /27贈送以下學習資料和倍差倍問題學習目標通過和倍、差倍問題的學習，除了掌握這類問題的解決方法以外，其重點要學習畫線

39、段圖。二、基礎知識1. 和倍問題是已知兩個數的和及它們之間的倍數關系而求這兩個數各是多少的應用題?；镜臄盗筷P系： 和 ( 倍數 +1)=較小數 ( 即 1 倍數、標準數 )2. 差倍問題是已知兩個數的差及它們之間的倍數關系而求這兩個數各是多少的應用題?；竟剑?差 ( 倍數的差 ) 標準數 ( 一倍數 )例題解析一、和倍問題例 1：某班為“希望工程”捐款，兩組少先隊員共交廢報紙 240 千克，第一組交的廢報紙是第二組的 3 倍，問兩組各交廢報紙多少千克？23 /27小結：解答基本的和倍問題，先確定其中一個數作為標準數 (1 倍數 ) ，再找出兩數的和，及其相對應的倍數關系， 這樣就可以求出

40、標準數， 也就可求出另一個數(較大數)?；镜臄盗筷P系： 和 ( 倍數 +1)=較小數 ( 即 1 倍數、標準數 )練一練： NBA球星姚明到底有多高？現在已知小明和姚明的身高和是 339 厘米，姚明的身高大約是小明身高的 2 倍。你能夠算出來嗎？例 2：哥哥原有 108 元，弟弟有 60 元，如果現在想把哥哥的錢調整到弟弟的 5 倍，弟弟應給哥哥多少錢？練一練：妹妹有課外書 20 本，姐姐有課外書 25 本，姐姐給妹妹多少本后，妹妹課外書是姐姐的 2 倍？例 3：二個同學共做了 23 道題。如果乙同學再多做 1 題，將是甲同學做的 2 倍，二個同學各做了幾題？例 4：熊貓水果店運來水果 380 千克，其中蘋果比梨的 3 倍還少 40 千克，水果店運來蘋果和梨各多少千克 ?練一練： 果