四川省木里縣中學高三數(shù)學總復習-動點軌跡問題-新人教A版.

1、動點軌跡問題一專題內(nèi)容：求動點 P(x, y) 的 軌跡方程實質(zhì)上是建立動點的坐標x, y 之間的關(guān)系式， 首先要分析形成軌跡的點和已知條件的內(nèi)在聯(lián)系，選擇最便于反映這種聯(lián)系的坐標形式，尋求適當關(guān)系建立等式，常用方法有：（ 1）等量 關(guān)系法 ：根據(jù)題意，列出限制動點的條件等式，這種求軌跡的方法叫做等量關(guān)系法，利用這種方法時， 要求對平面幾何中常用的定理和解析幾何中的有關(guān)基本公式很熟悉（ 2）定義法 ：如果動點滿足的條件符合某種已知曲線（如圓錐曲線）的定義，可根據(jù)其定義用待定系數(shù)法求出軌跡方程（ 3）轉(zhuǎn)移代入法 ：如果所求軌跡上的點 P(x, y) 是隨另一個在已知曲線 C ： F ( x, y

2、)0 上的動點 M ( x0 , y0 ) 的變化而變化， 且 x0 , y0 能用 x, y 表示，即 x0f ( x, y) ，y0g (x, y) ，則將 x0 , y0 代入已知曲線F ( x, y)0 ，化簡后即為所求的軌跡方程（ 4）參數(shù)法 ：選取適當?shù)膮?shù)（如直線斜率k 等），分別求出動點坐標x, y 與參數(shù)的關(guān)系式，得出所求軌跡的參數(shù)方程，消去參數(shù)即可（ 5）交軌法 ：即求兩動直線交點的軌跡，可選取同一個參數(shù)，建立兩動直線的方程，然后消去參數(shù)，即可（有時還可以由三點共線，斜率相等尋找關(guān)系）注意：軌跡的完備性和純粹性！一定要檢驗特殊點和線！二相關(guān)試題訓練（一）選擇、填空題1（）已

3、知 F1 、 F2 是定點， | F1F2 |8，動點 M 滿足 |MF1| |MF2 | 8，則動點 M 的軌跡是（A）橢圓（ B）直線（ C）圓（ D）線段2（）設(shè) M (0,5) ， N (0, 5) ，MNP 的周長為36，則MNP 的頂點 P 的軌跡方程是（A） x2y21（ x0 ）（ B） x2y21（ x0 ）25169144169（C）x2y21（ y0 ）x2y21（ y0 ）25（ D）1441691693與圓 x2y 24 x 0外切，又與y 軸相切的圓的圓心軌跡方程是；4P 在以F1 、 F2 為焦點的雙曲線x2y2F1F2 P 的重心G 的軌跡方程161上運動，則9

4、是；5已知圓C： (x3)2y216 內(nèi)一點 A(3, 0 ) ，圓 C 上一動點 Q， AQ 的垂直平分線交 CQ于 P 點，則 P 點的軌跡方程為 x2y2146 ABC的頂點為 A( 5, 0 ) 、 B( 5, 0 ) ， ABC的內(nèi)切圓圓心在直線 x3上，則頂點 C 的軌跡方程是； x2y21 （ x 3）916變式：若點 P 為雙曲線 x2y21 的右支上一點，F(xiàn)1 、 F2 分別是左、右焦點，則 PF1F2916的內(nèi)切圓圓心的軌跡方程是；推廣：若點 P 為橢圓 x2y21 上任一點， F1 、 F2 分別是左、右焦點，圓M 與線段 F1P259的延長線、線段 PF2 及 x 軸分

5、別相切，則圓心 M 的軌跡是；7已知動點 M 到定點 A(3,0) 的距離比到直線x40的距離少 1，則點 M 的軌跡方程是 y212x8拋物線 y2x2 的一組斜率為 k 的平行弦的中點的軌跡方程是xkk 2）（ y849過拋物線2y 4x的焦點 F 作直線與拋物線交于P Q兩點，當此直線繞焦點F 旋轉(zhuǎn)時，、弦 PQ 中點的軌跡方程為解法分析： 解法 1 當直線 PQ 的斜率存在時，設(shè) PQ所在直線方程為yk( x1) 與拋物線方程聯(lián)立，yk (x 1),k 2 x2(2k24)x k 20 y2消去 y 得4x設(shè) P( x1 , y1 ) ， Q(x2 , y2 ) ， PQ 中點為 M

6、(x, y) ，則有xx1x2k 22 ,2k 2消 k 得 y22( x 1) 2 .yk( x1)k當直線 PQ 的斜率不存在時，易得弦PQ 的中點為 F (1,0) ，也滿足所求方程故所求軌跡方程為y22( x1) 解法 2設(shè) P(x1, y1 ) ， Q( x2 , y2 ) ，y124x1 ,y2 )( y1 y2 )4( x1 x2 ) ，設(shè) PQ 中點為 M (x, y) ，由得 ( y1y224x2 .當 x1y1y24 ，又 kPQkMFy，x2 時，有 2 yx2xx11所以， yy2 ，即 y22(x 1)x1當 x1x2 時，易得弦 PQ 的中點為 F (1,0)，也滿

7、足所求方程故所求軌跡方程為y22( x1) 10過定點 P(1, 4) 作直線交拋物線 C : y2x2于 A、B兩點,過 A、B 分別作拋物線C的切線交于點 M, 則點 M的軌跡方程為 _ y 4x4（二）解答題1一動圓過點 P(0, 3) ，且與圓 x2( y3)2100 相內(nèi)切，求該 動圓圓心 C 的軌跡方程（定義法）2過橢圓 x2y 21 的左頂點A作任意弦AE 并延長到 F，使|EF|AE| ，A2為369111橢圓另一頂點，連結(jié) OF 交 A2 E 于點 P ，yF求動點 P 的軌跡方程E（直接法、定義法；突出轉(zhuǎn)化思想）PA1OA2xx2y23已知 A1 、 A2 是橢圓 a2b2

8、1的長軸端點，P 、 Q 是橢圓上關(guān)于長軸A1 A2 對稱的兩點，求直線 PA1和 QA2 的交點 M 的軌跡（交軌法）4已知點 G是 ABC的重心，A(0,1), B (0,1) ，在 x 軸上有一點M，滿足|MA| |MC|，GMABR （1）求點 C 的軌跡方程；（ 2）若斜率為k 的直線 l 與點 C 的軌跡交于不同兩點P、 Q，且滿足 | AP | | AQ | ，試求 k 的取值范圍解：（ 1）設(shè) C ( x, y) ，則由重心坐標公式可得G ( x , y ) 33 GMAB ，點 M 在 x 軸上，M ( x ,0) 3 | MA| |MC|， A(0,1) ，( x)21(

9、xx) 2y2，即x2y21333故點 C 的軌跡方程為x2y21（ y1）（直接法 ）3（2）設(shè)直線 l 的方程為 ykxb （ b1）， P( x1, y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) ， PQ 的中點為 N ykxb,消 y ，得 (13k 2 )x26kbx3(b21)0 由3y 2x23.36k2 b212(1 3k 2 )(b2 1)0，即 13k2b20 又 x1 x216kb， y1y2k( x1x2 ) 2b6k2b2b2b，3k213k 213k 2 N (3kb 2 ,b2 ) 13k13k1b11 ， | AP| | AQ|，ANPQ ， kAN，即 13k2k3

10、kbk13k 2 13k 22b ，又由式可得 2b b20 ， 0 b2 且 b1 013k 24 且 13k 22 ，解得1k 1 且 k33故 k 的取值范圍是1k 13且 k35已知平面上兩定點M (0,2) 、 N (0, 2) ， P 為一動點，滿足MP MNPNMN （）求動點P 的軌跡 C 的方程；（直接法）（）若A、 B 是軌跡 C 上的兩動點，且ANNB 過 A、 B 兩點分別作軌跡C 的切線，設(shè)其交點為 Q ，證明 NQ AB 為定值解： ( ) 設(shè) P( x, y) 由已知 MP( x, y2) ， MN(0,4) ， PN( x,2y) ,MP MN4 y8 PNMN

11、4x2( y2) 2 ， 3分 MPMN PN MN， 4 y 8 4 x2( y 2) 2 整理，得 x28 y 即動點 P 的軌跡 C 為拋物線，其方程為x28 y 6已知 O為坐標原點，點 E( 1,0) 、，動點 A 、M 、N 滿足| AE|（ m1），F(xiàn) (1, 0)m | EF |MN AF0， ON1 (OAOF ) ， AM / ME 求點 M的軌跡 W的方程2解： MN AF0， ON1 (OAOF)，2 MN 垂直平分AF又 AM / ME ， 點 M在 AE上， | AM | | ME | | AE | m | EF | 2m ， | MA | | MF | ， |ME

12、|MF |2m | EF | ， 點 M的軌跡 W是以 E、 F 為焦點的橢圓，且半長軸a m ，半焦距 c1， b2a2c2m2 1 點 M的軌跡 W的方程為 x2y21 （ m1）m2m217若向量axi ( y 2) j，設(shè) x, y R ，i , j 為直角坐標系內(nèi) x, y 軸正方向上的單位向量，b xi ( y 2) j ， 且 | a | |b | 8 （1）求點 M ( x, y) 的軌跡 C 的方程；（定義法）（ 2）過點 (0,3) 作直線 l 與曲線 C 交于 A 、 B 兩點，設(shè) OPOAOB ，是否存在這樣的直線 l ，使得四邊形OAPB 是矩形？若存在，求出直線l

13、的方程，若不存在，試說明理由解：（ 1） x2y21；12 16（ 2）因為 l 過 y 軸上的點 (0,3) 若直線 l 是 y 軸，則 A, B 兩點是橢圓的頂點OPOAOB0，所以 P與O重合，與四邊形OAPB 是矩形矛盾故直線 l的斜率存在，設(shè)l 方程為 y kx 3， A(x1, y1 ), B( x2, y2 ) y kx3,3k 2 ) x2由 x2y21,消 y 得 (418kx210,此時1216(18k)24(43k2)( 21)0 恒成立，且x1x218k，x1 x2212，4 3k24 3kOPOAOB ，所以四邊形 OAPB 是平行四邊形若存在直線 l ，使得四邊形

14、OAPB 是矩形，則 OAOB ，即 OA OB0 OA (x1, y1 ), OB(x2 , y2 ) ，OAOBx xy y20 121即 (1 k2 ) x x3k( xx)90 1212(1 k 2 )(212 )3k (18k 2 )90 k 25，得 k543k43k164故存在直線 l ： y5 x3，使得四邊形OAPB 是矩形48F2| EF |=2EFl 于 G，如圖，平面內(nèi)的定點到定直線 l 的距離為 ，定點 E 滿足：，且點 Q是直線 l 上一動點，點M滿足： FMMQ ，點 P滿足： PQ/ EF ， PM FQ0 （I ）建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担髣狱cP 的軌跡方程；（

15、II ）若經(jīng)過點 E的直線 l1與點 P 的軌跡交于相異兩點 A、B，令AFB，當34時，求直線 l1 的斜率 k 的取值 范圍解：（ 1）以 FG 的中點 O 為原點，以EF 所在直線為y 軸，建立平面直角坐標系xoy ，設(shè)點 P( x, y) ，則 F(0,1) ， E(0, 3) ， l : y1 FMMQ ， PQ / EF ， Q( x, 1)， M ( x , 0) 2PM FQ 0， (x )x ( y) ( 2) 0 ，2即所求點 P 的軌跡方程為 x24 y （ 2）設(shè)點 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )( x1 x2 )設(shè) AF的斜率為 k1， BF 的斜

16、率為 k2 ，直線 l1 的方程為 ykx3ykx3得 x2 4kx 12由4 y 6 分0x2x1x24kx1 x212 7 分y1 y2x12x22( x1 x2 ) 294 2444y1 y2(x1x2) 66 8 分kkFA( x1 , y1 ,1), FB( x2 , y21) FA FBx1 x2( y11)( y21)x1x2y1 y2( y1y2 ) 1129 4k 2614k 28又 | FA | | FB | ( y1 1)(y2 1) y1 y2( y1y2 ) 1 9 4k26 1 4k 2 16cosFA FB4k 28k2210分| FA | | FB | 4 k

17、216k24由于 31cos2 即1k 22211分42k 242k 2222解得 k48或 k4813分k 242k22直線 l1 斜率 k 的取值范圍是 k | k48,或k4 89如圖所示，已知定點F (1, 0)，動點P 在 y 軸上運動，過點P 作 PM 交 x 軸于點 M ，并延長 MP 到點 N ，且 PMPF0，|PM | |PN|（1）求動點 N 的軌跡方程；（2）直線 l 與動點 N 的軌跡交于A、 B兩點，若 OA OB4 ，且4 6|AB| 430 ，求直線 l 的斜率 k 的取值范圍解：（ 1）設(shè) N ( x, y) ，由 | PM | PN |得 M ( x,0)

18、，yNP(0,y(yyP)，PMx, ) ， PF (1,) ，222又PM PF 0，y 20 ，即動點 N 的軌跡方程為MoFxx4y24x （ 2）10已知點 F (0, 1)，點 M 在 x 軸上，點 N 在 y 軸上， P 為動點，滿足 MN MF0 ，MNMP0（1）求 P 點軌跡 E 的方程；（2）將（ 1）中軌跡 E 按向量 a(0, 1)平移后得曲線E ，設(shè) Q 是 E 上任一點，過 Q 作圓x2( y 1)21的兩條切線，分別交 x 軸與 A 、 B 兩點，求 | AB | 的取值范圍解：（ 1）設(shè) M (a, 0)、 N(0,b) 、 P( x, y) ，則MN(a,b)

19、、MF、( a, 1)MP(x a, y) (a, b) (a,1)0,a2b0,1x2 ， y由題意得a, b)(xa, y) (0, 0).x , by,(a42故動點 P 的軌跡方程為 y1x2 4（ 2）11如圖 A(m, 3m) 和 B( n,3n) 兩點分別在射線OS 、 OT 上移動，且 OA OB1，2O 為坐標原點，動點P 滿足 OPOAOB （1）求 m n 的值；（ 2）求 P 點的軌跡 C 的方程，并說明它表示怎樣的曲線？（3）若直線 l 過點 E(2, 0)交（ 2）中曲線 C 于 M 、 N 兩點，且 ME解：（ 1）由已知得 OA OB(m,3m) ( n,3n)

20、2mn1，2mn14（ 2）設(shè) P 點坐標為 ( x, y) （ x0 ），由 OPOAOB 得(x, y)(m, 3m) (n,3n)( mn,3( mn) ，x m n,2消去 m ， n 可得 x2y4mn ，3( myn)3又因 mn2y21 ( x0) 1 ， P 點的軌跡方程為 x343EN ，求 l 的方程yAOxPB它表示以坐標原點為中心，焦點在 x 軸上，且實軸長為2，焦距為 4 的雙曲線 x2y21 的3右支（3）設(shè)直線l 的方程為 xty2 ，將其代入 C 的方程得3(ty2)2y23即(3t 2 1)y2 12ty 90 ，易知 (3t2 1)0 （否則，直線l 的斜率

21、為3 ，它與漸近線平行，不符合題意）又144t 236(3t 21)36(t 21)0 ，設(shè)M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) ，則 y1y212t, y1 y293t 213t2 1 l 與 C的兩個交點 M , N 在 y 軸的右側(cè)x1 x2(ty1 2)(ty22)t2 y1 y22t ( y1y2 )4292t12t43t 240 ，t3t21213t213t 3t 210，即 0t 21，又由 x1x20 同理可得0t 21，33由 ME3EN 得 (2 x1 ,y1)3(2x2 , y2 ) ，2x13(2x2 )y13y2由 y1y23y2y22 y212t得

22、 y26t，3t213t 21由 y1 y2( 3y2 ) y22923，3y23t2得 y23t 211消去 y2 得36t 231考慮幾何求法！ ！(3t 21)23t 2解之得： t 21，滿足0t 21 153故所求直線 l 存在，其方程為：15xy250 或 15xy250 12設(shè) A， B 分別是直線 y2 5 x 和 y25| AB| 20，動點5x 上的兩個動點，并且5P滿足 OPOAOB 記動點 P 的軌跡為 C（I ） 求軌跡 C 的方程；（II ）若點 D 的坐標為 （ 0，16），M、 N是曲線 C 上的兩個動點， 且 DMDN ，求實數(shù)的取值范圍解：（ I ）設(shè) P(

23、 x, y) ，因為 A、B 分別為直線y25 x 和 y25 x 上的點，故可設(shè)552525A(x1,x1) ， B( x2 ,x2 ) 55x x1x2,x1x2x,OP OA OB， 2 5x25 y5(x1x2 )x12y又 AB20 ， ( x1x2 )24 (x1x2 )220 5 5 y24 x220 即曲線 C 的方程為 x2y21 452516（II ） 設(shè) N（ s， t ）， M（ x，y），則由 DMDN ，可得（ x， y-16 ） =(s ， t-16) 故 xs ， y16(t16) s2t 2 251, M、 N在曲線 C 上，162s2( t1616)2251

24、61.消去 s 得2 (16t 2 )( t1616) 211616由題意知0 ，且1 ，解得t17152又t4， 17154 解得35 （1 ）253故實數(shù)的取值范圍是 35（1）5313設(shè)雙曲線y2x21的兩個焦點分別為F1 、 F2 ，離心率為 2a23（ 1）求此雙曲線的漸近線l1 、 l2 的方程；（ y3x ）3（2）若 A、 B 分別為 l1 、 l2 上的動點，且 2| AB |5| F1F2 | ，求線段 AB 的中點 M的軌跡方程，并說明是什么曲線 （ x23y21）7525提示： | AB|10( x1 x2 ) 2210 ，又 y13x1 ， y23x2 ，y1 y23

25、3則 y1y23 ( x2x1 ) ， y2 y13 (x1x2 ) 33又 2xx1x2 ，2yy1 y2 代入距離公式即可（3）過點 N (1, 0)是否存在直線 l ，使 l 與雙曲線交于 P 、 Q 兩點，且 OP OQ0 ，若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，說明理由（不存在）14已知點F (1, 0 ) ，直線 l : x2 ，設(shè)動點 P 到直線 l 的距 離為 d ，已知 | PF |2 d ，2且 2d3（ 1）求動點 P 的軌跡方程；321（2）若PF OF，求向量 OP 與 OF 的夾角；3yMlP（3）如圖所示，若點G滿足 GF2FC ，點 M滿足CxG OFMP 3

26、PF ，且線段 MG的垂直平分線經(jīng)過點P，求PGF的面積15如圖，直線 l : ykx 1 與橢圓22y 2ABOA OBC : ax（ a1）交于兩點，以、為鄰邊作平行四邊形OAPB（ O為坐標原點） （1）若 k1 ，且四邊形 OAPB為矩形，求 a 的值；（ a3）（2）若 a2，當 k 變化時（ k R ），求點 P 的軌跡方程（ 2x2y22y0（ y0 ）x2y21a0 b0A(0,b)B(a, 0)16C2a2b2|OA|2|OB |2 4|OA|2 |OB|21C32Cl ykx 4kIc2,aa2b24a2b2 ,3a2b2c2.a 1,b3, c2.x 2y 21. 63k

27、=0 7k 0M Nll MNMN1y x b 則 M、 N 兩點的坐標滿足方程組ky1 xb,由k消去 y 得3x 2y23.(3k 21)x22kbx (b 23)k 20 9 分顯然 3k 210 ，(2kb) 24(3k 21)(b 23)k 20 即 k 2b23k 2 1 0 設(shè)線段 MN中點 D（ x 0 ,y0 ）x 0kb ,則3k 213k 2 b .y03k 21D（ x0 ,y 0 ）在直線l 上， 3k 2b1k 2b4即 k 2b=3k 213k 23k 21把帶入中得k2 b2 +bk 20 ，解得 b0 或 b1 3k 210 或 3k 2 1 -1 k 2k

28、2即 k3或 k13，且 k 02k的取值范圍是(,3113)( ,0)(0, )( , ) 14分322317已知向量OA=(2 ，0) ， OC =AB=(0 ， 1) ，動點M到定直線y=1的距離等于d，并且滿足OM AM=K( CM BM- d2) ，其中O為坐標原點，K 為參數(shù).（）求動點M的軌跡方程，并判斷曲線類型；（）如果動點M的軌跡是一條圓錐曲線，其離心率e滿足3 2 ，求實數(shù) K 的取3e2值范圍 .18過拋物線 y24x 的焦點作兩條弦 AB 、 CD ，若 AB CD0 ，OM1 (OAOB) ，1(OC OD)2ON2（1）求證：直線MN 過定點；（ 2）記（ 1）中的

29、定點為 Q ，求證AQB 為鈍角；（3）分別以 AB 、 CD 為直徑作圓，兩圓公共弦的中點為H ，求 H 的軌跡方程，并指出軌跡是什么 曲線19（ 05 年江西） 如圖， M 是拋物線上y2x 上的一點， 動弦 ME 、 MF 分別交 x 軸于 A 、B 兩點，且 MA MB （ 1）若 M 為定點，證明：直線EF 的斜率為定值；（2）若 M 為動點，且EMF90 ，求 EMF 的重心 G 的軌跡思路分析：（ 1）由直線 MF （或 ME ）方程與拋物線方程組成的方程組解出點F和點E的坐標，利用斜率公式來證明； （ 2）用 M 點的坐標將 E 、 F 點的坐標表示出來，進而表示出G 點坐標，消去 y0 即得到 G 的軌跡方 程（參數(shù)法） .解：（ 1）法一： 設(shè) M ( y 02 , y0 ) ，直線 ME 的 斜率為 k （ k 0 ），則直線 MF 的斜率為k ，方程為 yy0k (x y02 ) yM由y y0k (xy02 ) ，消 x 得 k