2018屆一輪復(fù)習(xí)蘇教版------平面向量的綜合應(yīng)用教案

1、1.向量在平面幾何中的應(yīng)用(1)用向量解決常見(jiàn)平面幾何問(wèn)題的技巧：?jiǎn)栴}類(lèi)型所用知識(shí)公式表示線(xiàn)平行、點(diǎn)共線(xiàn)等問(wèn)題向量共線(xiàn)定理ababx1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0垂直問(wèn)題數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)aba·b0x1x2y1y20，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b為非零向量夾角問(wèn)題數(shù)量積的定義cos (為向量a，b的夾角)，其中a，b為非零向量長(zhǎng)度問(wèn)題數(shù)量積的定義|a|，其中a(x，y)，a為非零向量(2)用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的步驟：平面幾何問(wèn)題向量問(wèn)題解決向量問(wèn)題解決幾何問(wèn)題.2.向量與相關(guān)知識(shí)的交匯平面向量作為一種工具，常與函數(shù)(三角函數(shù))

2、，解析幾何結(jié)合，常通過(guò)向量的線(xiàn)性運(yùn)算與數(shù)量積，向量的共線(xiàn)與垂直求解相關(guān)問(wèn)題.【知識(shí)拓展】1.若G是ABC的重心，則0.2.若直線(xiàn)l的方程為AxByC0，則向量(A，B)與直線(xiàn)l垂直，向量(B，A)與直線(xiàn)l平行.【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)若，則A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn).()(2)若a·b0，則a和b的夾角為銳角；若a·b0，則a和b的夾角為鈍角.(×)(3)在ABC中，若·<0，則ABC為鈍角三角形.(×)(4)已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有三個(gè)定點(diǎn)A(2，1)，B(0，10)，C(8,0)，若動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足

3、：t()，tR，則點(diǎn)P的軌跡方程是xy10.()1.已知向量a(cos ，sin )，b(，1)，則|2ab|的最大值為_(kāi).答案4解析設(shè)a與b夾角為，|2ab|24a24a·bb284|a|b|cos 88cos ，0，cos 1,1，88cos 0,16，即|2ab|20,16，|2ab|0,4.|2ab|的最大值為4.2.設(shè)O是ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且2，則AOB與AOC的面積之比為_(kāi).答案12解析設(shè)D為AC的中點(diǎn)，如圖所示，連結(jié)OD，則2.又2，所以，即O為BD的中點(diǎn)，從而容易得AOB與AOC的面積之比為12.3.(2016·泰州模擬)平面直角坐標(biāo)系xOy中，若定點(diǎn)A(1,

4、2)與動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿(mǎn)足·4，則點(diǎn)P的軌跡方程是_(填“內(nèi)心”、“外心”、“重心”或“垂心”).答案x2y40解析由·4，得(x，y)·(1,2)4，即x2y4.4.在ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM1，點(diǎn)P在AM上且滿(mǎn)足2，則·()_.答案解析因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，所以2，所以·()·.5.如圖，ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P是以C為圓心，1為半徑的圓上的任意一點(diǎn)，則(·)min_.答案1解析取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)CD、CP(圖略).所以·()·()··()2(2)2×

5、83;2176cos，當(dāng)cos，1時(shí)，·取得最小值1.題型一向量在平面幾何中的應(yīng)用例1(1)在平行四邊形ABCD中，AD1，BAD60°，E為CD的中點(diǎn).若·1，則AB_.(2)已知O是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線(xiàn)的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足()，(0，)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)ABC的_.(填“內(nèi)心”“外心”“重心”或“垂心”)答案(1)(2)重心解析(1)在平行四邊形ABCD中，取AB的中點(diǎn)F，則，又，·()·()2··2|2|cos 60°|21×|21.|0，又|0，|.(2)由原等式，得(

6、)，即()，根據(jù)平行四邊形法則，知是ABC的中線(xiàn)AD(D為BC的中點(diǎn))所對(duì)應(yīng)向量的2倍，所以點(diǎn)P的軌跡必過(guò)ABC的重心.引申探究在本例(2)中，若動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，(0，)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)ABC的_.(填“內(nèi)心”“外心”“重心”“垂心”)答案內(nèi)心解析由條件，得，即，而和分別表示平行于，的單位向量，故平分BAC，即平分BAC，所以點(diǎn)P的軌跡必過(guò)ABC的內(nèi)心.思維升華向量與平面幾何綜合問(wèn)題的解法(1)坐標(biāo)法把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問(wèn)題得到解決.(2)基向量法適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)

7、于未知量的方程進(jìn)行求解.(1)在ABC中，已知向量與滿(mǎn)足()·0，且·，則ABC的形狀為_(kāi)三角形.(2)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90°，AD2，BC1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|3|的最小值為_(kāi).答案(1)等邊(2)5解析(1)，分別為平行于，的單位向量，由平行四邊形法則可知為BAC的平分線(xiàn).因?yàn)?)·0，所以BAC的平分線(xiàn)垂直于BC，所以ABAC.又···cosBAC，所以cosBAC，又0<BAC<，故BAC，所以ABC為等邊三角形.(2)以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC所在直線(xiàn)為x軸、y軸建立如圖

8、所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)DCa，DPy. 則D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，y)，(2，y)，(1，ay)，則3(5,3a4y)，即|3|225(3a4y)2，由點(diǎn)P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，知0ya.因此當(dāng)ya時(shí)，|3|2的最小值為25.故|3|的最小值為5.題型二向量在解析幾何中的應(yīng)用例2(1)已知向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，且A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)，當(dāng)k<0時(shí)，若k為直線(xiàn)的斜率，則過(guò)點(diǎn)(2，1)的直線(xiàn)方程為_(kāi).(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為圓(x2)2y23的圓心，且圓上有一點(diǎn)M(x，y)滿(mǎn)足·0，則_.答案(1)2xy30(2)±

9、;解析(1)(4k，7)，(6，k5)，且，(4k)(k5)6×70，解得k2或k11.由k<0可知k2，則過(guò)點(diǎn)(2，1)且斜率為2的直線(xiàn)方程為y12(x2)，即2xy30.(2)·0，OMCM，OM是圓的切線(xiàn)，設(shè)OM的方程為ykx，由，得k±，即±.思維升華向量在解析幾何中的“兩個(gè)”作用(1)載體作用：向量在解析幾何問(wèn)題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”，導(dǎo)出曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問(wèn)題.(2)工具作用：利用aba·b0(a，b為非零向量)，aba

10、b(b0)，可解決垂直、平行問(wèn)題，特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對(duì)于解決解析幾何中的垂直、平行問(wèn)題是一種比較簡(jiǎn)捷的方法.(2016·鹽城模擬)如圖所示，半圓的直徑AB6，O為圓心，C為半圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則()·的最小值為_(kāi).答案解析圓心O是直徑AB的中點(diǎn)，2，()·2·，與共線(xiàn)且方向相反，當(dāng)大小相等時(shí)，乘積最小.由條件知，當(dāng)POPC時(shí)，最小值為2××.題型三向量的其他應(yīng)用命題點(diǎn)1向量在不等式中的應(yīng)用例3已知x，y滿(mǎn)足若(x,1)，(2，y)，且·的最大值是最小值的8倍，則實(shí)數(shù)a的值是_.

11、答案解析因?yàn)?x,1)，(2，y)，所以·2xy，令z2xy，依題意，不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示(含邊界)，觀察圖象可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z2xy過(guò)點(diǎn)C(1,1)時(shí)，zmax2×113，目標(biāo)函數(shù)z2xy過(guò)點(diǎn)F(a，a)時(shí)，zmin2aa3a，所以38×3a，解得a.命題點(diǎn)2向量在解三角形中的應(yīng)用例4在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若20a15b12c0，則ABC最小角的正弦值等于_.答案解析20a15b12c0，20a()15b12c0，(20a15b)(12c20a)0，與不共線(xiàn)，ABC最小角為角A，cos A，sin A.思維升華利用向

12、量的載體作用，可以將向量與三角函數(shù)、不等式結(jié)合起來(lái)，解題時(shí)通過(guò)定義或坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題的條件結(jié)論明晰化.(2016·揚(yáng)州模擬)如圖，在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A位于兩平行直線(xiàn)m，n的同側(cè)，且A到m，n的距離分別為1,3.點(diǎn)B，C分別在m，n上，|5，則·的最大值是_.答案解析方法一以直線(xiàn)n為x軸，過(guò)A且垂直于n的直線(xiàn)為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A(0,3)，B(x1，2)，C(x2,0)，從而(x1，1)，(x2，3)，則·x1x23，又因?yàn)閨5，即5，故(x1x2)294x1x2，從而x1x2，此時(shí)·x1x23，當(dāng)且僅當(dāng)x1x2時(shí)等號(hào)成立. 方法二

13、設(shè)P為BC的中點(diǎn)，則2，從而由|5得|，又·()·()222，因?yàn)閨2，所以21，故·1，當(dāng)且僅當(dāng)|2時(shí)等號(hào)成立.三審圖形抓特點(diǎn)典例(2016·蘇州一模)已知A，B，C，D是函數(shù)ysin(x)一個(gè)周期內(nèi)的圖象上的四個(gè)點(diǎn)，如圖所示，A，B為y軸上的點(diǎn)，C為圖象上的最低點(diǎn)，E為該函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，B與D關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱(chēng)，在x軸上的投影為，則，的值分別為_(kāi).解析由E為該函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，作點(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，作MFx軸，垂足為F，如圖.B與D關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱(chēng)，在x軸上的投影為，知OF.又A，所以AF，所以2.同時(shí)函數(shù)ysin(x)圖象可以看作是由ysin x的

14、圖象向左平移得到，故可知，即.答案2，1.(教材改編)已知平面向量a，b，滿(mǎn)足|a|，|b|2，a·b3，則|a2b|_.答案解析由題意可得|a2b|.2.(教材改編)已知|a|1，|b| ，且a(ab)，則向量a與向量b的夾角為_(kāi).答案解析a(ab)，a·(ab)a2a·b0，a·ba2，|a|1，|b|，cosa，b，又a，b0，向量a與向量b的夾角為.3.(2016·南京模擬)已知向量a(cos ，2)，b(sin ，1)且ab，則sin 2_.答案解析由ab得cos 2sin 0，cos 2sin ，又sin2cos21，5sin21，

15、sin2，cos2，sin 22sin cos cos2.4.設(shè)ABC的三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，向量m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，若m·n1cos(AB)，則C_.答案解析依題意得sin Acos Bcos Asin B1cos(AB)，sin(AB)1cos(AB)，sin Ccos C1,2sin(C)1，sin(C).又<C<，因此C，C.5.已知點(diǎn)A(2,0)，B(3,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿(mǎn)足·x2，則點(diǎn)P的軌跡是_.答案拋物線(xiàn)解析(2x，y)，(3x，y)，·(2x)(3x)y2x2，y2x6，即點(diǎn)P的軌跡是拋物

16、線(xiàn).6.已知A(1，cos )，B(sin ，1)，若|(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則銳角_.答案解析方法一由向量的幾何意義可知，是以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OADB的對(duì)角線(xiàn)向量，則是對(duì)角線(xiàn)向量，于是對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形為矩形，故OAOB.因此·0，所以cos sin 0，即sin cos ，又因?yàn)闉殇J角，所以.方法二(sin 1，cos 1)，(sin 1，cos 1)，由|可得(sin 1)2(cos 1)2(sin 1)2(cos 1)2，整理得sin cos ，于是銳角.7.在菱形ABCD中，若AC4，則·_.答案8解析設(shè)CAB，ABBCa，由余弦定理得：a216a28

17、acos ，acos 2，·4×a×cos()4acos 8.8.(2016·南京模擬)已知平面向量a，b滿(mǎn)足|a|1，|b|2，a與b的夾角為.以a，b為鄰邊作平行四邊形，則此平行四邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)中較短的一條的長(zhǎng)度為_(kāi).答案解析|ab|2|ab|24a·b4|a|b|cos 4>0，|ab|>|ab|，又|ab|2a2b22a·b3，|ab|.9.設(shè)e1，e2為單位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR.若e1，e2的夾角為，則的最大值等于_.答案2解析.因?yàn)?)2，所以的最大值為2.10.(2016·常州期

18、末)如圖，直角梯形ABCD中，ABCD，DAB90°，ADAB4，CD1，動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上，且滿(mǎn)足mn(m，n均為正實(shí)數(shù))，則的最小值為_(kāi).答案解析方法一建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(4,0)，D(0,4)，C(1,4).又kBC，故BC：y(x4).又mn，(4,0)，(0,4)，所以(4m,4n)，故P(4m,4n)，又點(diǎn)P在直線(xiàn)BC上，即3n4m4，即4()(3n4m)·()77274，所以()min，當(dāng)且僅當(dāng)即m42，n時(shí)取等號(hào)(因?yàn)閙，n均為正實(shí)數(shù)).方法二因?yàn)閙n，所以mn()mn(m)n.又C，P，B三點(diǎn)共線(xiàn)，故mn1，即m1，以下同方法一

19、.11.已知向量a(sin()，3)，b(1,4cos )，(0，).(1)若ab，求tan 的值；(2)若ab，求的值.解(1)因?yàn)閍b，所以sin()12cos 0，即sin cos 12cos 0，即sin cos 0，又由題意得cos 0，所以tan .(2)若ab，則4cos sin()3，即4cos (sin cos )3，所以sin 2cos 22.所以sin(2)1.因?yàn)?0，)，所以2(，)，所以2，即.12.已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0<<<.(1)若|ab|，求證：ab；(2)設(shè)c(0,1)，若abc，求，的值.(1)證明由題意得|ab|22，即(ab)2a22a·bb22.又因?yàn)閍2b2|a|2|b|21，所以22a·b2，即a·b0，故ab.(2)解因?yàn)閍b(cos cos ，sin sin )(0,1)，所以由此得，