導(dǎo)數(shù)：平均變化率與瞬時變化率

1、同步教育信息【同步教育信息】一. 本周教學(xué)內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)平均變化率與瞬時變化率 w二. 本周教學(xué)目標：1、了解導(dǎo)數(shù)概念的廣闊背景，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵.2、通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.三. 本周知識要點：(一)平均變化率1、情境：觀察某市某天的氣溫變化圖C (34, 33.4)TC)Il ni云N !30f 20B (32, 18.6)I10A (1, 3.5)2_0 21020I I30 34 t(d)f(X2)- f (xj2、一般地 屈數(shù)f ( X)在區(qū)間X1, X2上的平均變化率x2 -為平均變化率是曲線陡峭程度的數(shù)量化”，曲線陡峭程度是平均變化率視覺化”1、曲線的切線如圖，設(shè)曲

2、線c是函數(shù)申二f(x)的圖象，點P(X0,yo)是曲線C上一點一作割線PQ,當(dāng)點Q沿著曲線c無限地趨近于點 P,割線PQ無限地趨近于某一極限位置 PT我們就把極限 位置上的直線 PT,叫做曲線c在點P處的切線.f （Xq +Ax） - f （Xo）f（X0 +Ax）_ f（X0）害熾PQ的斜率為kpQ =x,即當(dāng)x > 0時，X無限趨近于點P的斜率.2、瞬時速度與瞬時加速度1）瞬時速度定義：運動物體經(jīng)過某一時刻（某一位置）的速度，叫做瞬時速度2）確定物體在某一點 A處的瞬時速度的方法：要確定物體在某一點 A處的瞬時速度，從A點起取一小段位移 AAi，求出物體在這段位 移上的平均速度，這個

3、平均速度可以近似地表示物體經(jīng)過A點的瞬時速度當(dāng)位移足夠小時，物體在這段時間內(nèi)的運動可認為是勻速的，所得的平均速度就等于物體經(jīng)過A點的瞬時速度.我們現(xiàn)在已經(jīng)了解了一些關(guān)于瞬時速度的知識，現(xiàn)在已經(jīng)知道物體做直線運動時， 它的運動規(guī)律用函數(shù)表示為 s= s （t），也叫做物體的 運動方程或位移公式，現(xiàn)在有兩個時刻t。, to+ t,現(xiàn)在問從to到to+A t這段時間內(nèi)，物體的位移、平均速度各是：位移為 s= s （to+ A t） - s （to）（ a t稱時間增量）SS（t。：t） - S（t。）V =平均速度丄t根據(jù)對瞬時速度的直觀描述，當(dāng)位移足夠小，現(xiàn)在位移由時間t來表示，也就是說時間足夠短

4、時，平均速度就等于瞬時速度現(xiàn)在是從to到to+A t，這段時間是A t.時間A t足夠短，就是A t無限趨近于0 當(dāng)A tS（t。進）-S（to）T0時，位移的平均變化率t無限趨近于一個常數(shù)，那么稱這個常數(shù)為物體在t = to的瞬時速度+V（to ：t） - V（to）同樣，計算運動物體速度的平均變化率，當(dāng)A tt 0時，平均速度V（to 氏）V（to）t無限趨近于一個常數(shù)，那么這個常數(shù)為在t = to時的瞬時加速度.3、導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)y二f(x)在(a,b)上有定義，Xo(a,b) 若 収無限趨近于 o時，比值y f(X。 . ：x) - f(X。)&二二無限趨近于一個常數(shù) A，則稱f

5、(x)在x = xo處可導(dǎo)，并稱該常I數(shù)a為函數(shù)y二f(x)在處的導(dǎo)數(shù)，記作f(xo).幾何意義是曲線y = f(x)上點(Xo, f(Xo)處的切線的斜率.導(dǎo)函數(shù)(導(dǎo)數(shù))：如果函數(shù)y二f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的每點處都有導(dǎo)數(shù)，此時對于每一個x (a,b)，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)f'(x)，從而構(gòu)成了一個新的函數(shù)f'(x)，稱這個函數(shù)f'(x)為函數(shù)y=：f(x)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，也可記作y'.【典型例題】0 1t例1、水經(jīng)過虹吸管從容器甲中流向容器乙，ts后容器甲中水的體積 V(t) = 5><2(單3位：cm ),計算第一個10s

6、內(nèi)V的平均變化率.解：在區(qū)間0 , 10上，體積V的平均變化率為V(1 orV (0)2. 5 50. 2 5 31 0- 010cm即第一個10s內(nèi)容器甲中水的體積的平均變化率為-0.25 cm3.例2、已知函數(shù)f(x)=2x 7 , g(x) = -2x,分別計算在區(qū)間3, - 1, 0, 5上函數(shù)f(x)及g(x)的平均變化率.解：函數(shù)f(x)在3, 1上的平均變化率為g(x)在3,i上的平均變化率為g(-i)-g(-3)2(-1)-(-3) 函數(shù)f(x)在0 , 5上的平均變化率為f (5) - f (0)詔5-0 一g(x)在0, 5上的平均變化率為g(5)-g(0) _ 25-02

7、例3、已知函數(shù)f (x) =x ,分別計算函數(shù)f(x)在區(qū)間1 , 3, 1 , 2, 1 , 1.1, 1 , 1.001 上的平均變化率.解：函數(shù)f (x)在區(qū)間1 , 3上的平均變化率為f(3) - f(1) _43-1 一函數(shù)f(x)在1 , 2上的平均變化率為f(2)-f(1) °32 -1函數(shù)f(x)在1, 1.1上的平均變化率為f(1.1) f(1)_211.1-1函數(shù)f(x)在1 , 1.001上的平均變化率為f(1-001f(12.0011.001 -11例4、物體自由落體的運動方程s= s (t) = 2gt2，其中位移單位 m,時間單位s, g = 9.82m/

8、s .求t= 3這一時段的速度.11_g解：取一小段時間3, 3+ t,位置改變量 s= 2g (3+ t) 2 2 g 32= 2 (6+s 1v = t) t，平均速度 Nt 2 g( 6+A t) 當(dāng)厶t無限趨于0時，V無限趨于3g= 29.4 m/s.例5、已知質(zhì)點M按規(guī)律s= 2t2+3做直線運動(位移單位： cm,時間單位：s),S(1) 當(dāng) t = 2, A t = 0.01 時，求 t .厶S(2) 當(dāng) t = 2, A t = 0.001 時，求 也t .(3) 求質(zhì)點M在t= 2時的瞬時速度.分析：A s即位移的改變量， A t即時間的改變量，比即平均速度，當(dāng) A t越小，

9、求出s的' t越接近某時刻的速度.s _ s(t 迸)- s(t) _ 2(t 迸)23 -(2t23)解: / ttt= 4t+2 A ts( 1)當(dāng) t= 2, A t = 0.01 時， t = 4X 2+2 X 0.01 = 8.02 cm/s.s(2) 當(dāng) t = 2, A t = 0.001 時,t = 4X 2+2 X 0.001 = 8.002 cm/s.(3) A 0,(4t+2 A t)= 4t= 4X 2= 8 cm/s 例6、曲線的方程為 y = x"+1，那么求此曲線在點 P (1, 2)處的切線的斜率，以及切線 的方程.解：設(shè)Q (1+厶x , 2

10、+H)，則割線PQ的斜率為:f (1 X)- f (1) _ (1X)2 1 -(12 1)XXV x > 0-斜率為2切線的斜率為2.切線的方程為y 2 = 2 (x- 1 ),即卩y= 2x.【模擬試題】丄y21、 若函數(shù)f (x)= 2x +1 ,圖象上P (1,3)及鄰近點Q (1+ x,3+ y),則厶x =()A. 4B. 4 xC. 4+2 xD. 2 xis2、 一直線運動的物體，從時間t到t 氏時，物體的位移為 S，那么 t： 0時，石 為( )A.從時間t到tt時，物體的平均速度；B.在t時刻時該物體的瞬時速度；C.當(dāng)時間為 t時物體的速度；D.從時間t到tt時物體的

11、平均速度+3、已知曲線y= 2x2上一點A (1, 2),求(1)點A處的切線的斜率.(2 )點A處的切線 方程24、求曲線y= x+1在點P ( 2, 5)處的切線方程.25、求y= 2x +4x在點x= 3處的導(dǎo)數(shù).6、 一球沿一斜面自由滾下，其運動方程是s= s (t)= t2 (位移單位：m,時間單位：s), 求小球在t= 5時的瞬時速度.7、 質(zhì)點M按規(guī)律s= 2t2+3做直線運動(位移單位：cm,時間單位：s),求質(zhì)點 M在t=2時的瞬時速度.你氨愛生命嗎？那么另広艮費時間»因為時間是組成$匸命的柄料 二富蘭克林【試題答案】1、B2、B2 2f （1. ：x） - f （

12、1）2（1. ：x） 2 13、解：（1） 0 時，k=xx4=x 2（ = x）2（4 2 . ：x） =4Ax點A處的切線的斜率為 4.（2）點A處的切線方程是 y 2= 4 （x 1 ）即y= 4x 2f （一2 . ：x） - f （一2） _ （-2 . ：x）2 1 -（-2）2 -14、 解：x 0時，k=二xlx-4=x （ ：x）：x2一二（一4ex） = -4切線方程是y 5 = 4 （x+2），即卩 y= 4x 3.5、解： y= 22（3+ x） +42 2（3+ x） （ 2 X 3 +4 X 3） = 2 （ x）+16 Ax,x+16：x 0時，y'|x= 3= 166、解：丸 0時，瞬時速度s（5：t） -s（5）（5：t）2 -52v=t（10+ A t） = 10 m/s.瞬時速度 v= 2t= 2 X 5 = 10 m/s.s(2 ：t) s(2)