圓錐曲線定值結(jié)論(共10頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上橢圓中的一組“定值”命題圓錐曲線中的有關(guān)“定值”問題，是高考命題的一個熱點，也是同學(xué)們學(xué)習(xí)中的一個難點。筆者在長時間的教學(xué)實踐中，以橢圓為載體，探索總結(jié)出了橢圓中一組“定值”的命題，當(dāng)然屬于瀚宇之探微，現(xiàn)與同學(xué)們分享。希望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助，也希望同學(xué)們能在雙曲線、拋物線等的后續(xù)學(xué)習(xí)中，能夠利用類比的方法，探索總結(jié)出相關(guān)的結(jié)論。命題1 經(jīng)過原點的直線與橢圓相交于M、N兩點，P是橢圓上的動點，直線PM、PN的斜率都存在，則為定值.證明：設(shè)，則（*），而點P、M均在橢圓上，故，代入（*）便可得到.練習(xí)： 已知A、B分別是橢圓的左右兩個頂點，P是橢圓上異于A、B的任意一

2、點，則 . （答案：）.命題2 設(shè)A、B、C是橢圓上的三個不同點，B、C關(guān)于軸對稱，直線AB、AC分別與軸交于M、N兩點，則為定值.證明：設(shè)，則直線AB的方程為，令得M點的橫坐標(biāo)，同理可得N點的橫坐標(biāo)，于是，由于，因此有.練習(xí)： 設(shè)分別是橢圓的上下兩個頂點，P是橢圓上異于的動點，直線分別交軸于M、N兩點，則 . （答案：25）.命題3 過橢圓上一點任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于M、N兩點，則直線MN的斜率為定值.證明：設(shè)直線PM的方程為，則直線PN的方程為， 聯(lián)立和組成方程組，消去y可得.設(shè)，則，可得，同理可得， 則， ，于是， 故直線MN的斜率為.練習(xí)： 已知橢圓，過點作兩條傾斜角互

3、補且不平行于坐標(biāo)軸的直線，分別交橢圓于P、Q兩點，則直線PQ的斜率為 . （答案：）.命題4分別過橢圓上兩點作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于M、N兩點，則直線MN的斜率為定值.證明：設(shè)直線PM的方程為，聯(lián)立和組成方程組，消去y可得. 設(shè)，則，可得，同理可得，則，于是有. 因為點P、Q都在橢圓上，所以，兩式相減可得，同理可得，令，則，將、代入便有，即直線MN的斜率為定值.練習(xí)： 分別過橢圓上兩點作兩條傾斜角互補且不平行于坐標(biāo)軸的直線，交橢圓于另外兩點P、Q，則直線PQ的斜率為 . （答案：）.與圓錐曲線焦點弦相關(guān)的一個優(yōu)美結(jié)論眾所周知，焦點弦的性質(zhì)能夠體現(xiàn)圓錐曲線幾何特征，是研究圓錐曲線時的主

4、要對象之一，在歷屆高考中也占有重要的地位筆者根據(jù)焦點弦所在直線的傾斜角、焦點分焦點弦所成的比以及圓錐曲線的離心率之間的關(guān)系得出一個優(yōu)美結(jié)論，并結(jié)合高考試題彰顯了它的重要作用，希望能和讀者共勉一結(jié)論及證明定理 已知焦點在軸上的圓錐曲線，經(jīng)過其焦點的直線交曲線于、兩點，直線的傾斜角為，則曲線的離心率滿足等式：下面以橢圓為例證明之證明：如圖1，弦過橢圓的左焦點，左準(zhǔn)線為，由可設(shè)，()，當(dāng)直線的傾斜角為銳角時，如圖（），顯然，分別過兩點作、，垂足分別為，過點作，由橢圓的第二定義可得，在中，故，如果點、的位置互換，則，則有當(dāng)直線的傾斜角為鈍角時，如圖（），顯然，同理在中，可得，故，如果點、的位置互換，則

5、，則有 當(dāng)直線的傾斜角為直角時，顯然且，等式成立；當(dāng)直線的傾斜角時，弦為橢圓長軸，顯然易得原等式也成立綜上，在橢圓中等式恒成立證畢當(dāng)圓錐曲線為雙曲線（如圖2）時，同樣可以證明等式成立；當(dāng)曲線為拋物線（如圖3）時，離心率，等式簡化為（其中）總之，在任意圓錐曲線中，對于其焦點弦所在直線的傾斜角，焦點分對應(yīng)弦的比值（），總有等式成立，它將看似沒有必然聯(lián)系的三個量有機地結(jié)合在一起，顯得如此和諧、優(yōu)美，更加體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的魅力由于在解決具體的數(shù)學(xué)問題中，大多遇到的焦點弦的斜率是存在且不為0的，所以，根據(jù)直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，不難得出：推論1 已知焦點在軸上的圓錐曲線，經(jīng)過其焦點的直線交曲線于、兩點，直線

6、的斜率為（），則曲線的離心率滿足等式當(dāng)圓錐曲線的焦點在軸上時，同理還可得推論2 已知焦點在軸上的圓錐曲線，經(jīng)過其焦點的直線交曲線于、兩點，若直線的傾斜角為，斜率為（），則曲線的離心率滿足等式，（推論的證明從略，讀者可以自行完成）二結(jié)論的應(yīng)用例1（2008年全國卷）已知是拋物線的焦點，過且斜率為1的直線交于，兩點設(shè)，則與的比值等于 解析：焦點弦所在直線的傾斜角為，則由定理可得，所以例2（2008年江西卷）過拋物線的焦點作傾斜角為的直線，與拋物線分別交于、兩點（在軸左側(cè)），則 解析：根據(jù)拋物線的對稱性知，設(shè)，由推論2可得，所以例3（2009年全國卷）已知雙曲線的右焦點為，過且斜率為的直線交于兩點，

7、若，則的離心率為 （ ） A B C D解析：由推論1得，故選A例4（2010全國卷文理）已知橢圓的離心率為，過右焦點且斜率為（）的直線與相交于兩點若，則（ ）A1 B C D2解析：由推論1得，解得，故選B例5（2010全國卷文理）已知是橢圓的一個焦點，是短軸的一個端點，線段的延長線交于點，且，則的離心率為 解析：如圖4，由題意可得，設(shè)直線的傾斜角為，則，由定理可得，所以由此可見，本文的結(jié)論在解決與圓錐曲線焦點弦相關(guān)的問題時非?？旖?，既避免了繁瑣的代數(shù)運算，又節(jié)省了不少時間，可謂是圓錐曲線有力工具之一直線與圓錐曲線的關(guān)系問題典型例題： 例1. （2012年遼寧省文5分）已知P，Q為拋物線上兩

8、點，點P，Q的橫坐標(biāo)分別為4，2，過P、Q分別作拋物線的切線，兩切線交于A，則點A的縱坐標(biāo)為【 】(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 8【答案】C?！究键c】利用導(dǎo)數(shù)求切線方程的方法，直線的方程、兩條直線的交點的求法。【解析】點P，Q的橫坐標(biāo)分別為4，2，代人拋物線方程得P，Q的縱坐標(biāo)分別為8，2。由得，。過點P，Q的拋物線的切線的斜率分別為4，2。過點P，Q的拋物線的切線方程分別為。聯(lián)立方程組解得。點A的縱坐標(biāo)為4。故選C。例2. （2012年湖北省理5分）如圖，雙曲線的兩頂點為，虛軸兩端點為，兩焦點為。若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，切點分別為A，B，C，D。則（）雙曲線的離心率e= ；（

9、）菱形的面積與矩形的面積的比值 。【答案】（）；（）?！究键c】雙曲線的離心率及實軸虛軸的相關(guān)定義，一般平面幾何圖形的面積計算?！窘馕觥浚ǎ┯梢阎?，解得。（）由已知得，又直線的方程為，而直線的方程為，聯(lián)立解得，。例3. （2012年全國大綱卷理12分）已知拋物線與圓 有一個公共點，且在處兩曲線的切線為同一直線。（1）求；（2）設(shè)、是異于且與及都相切的兩條直線，、的交點為，求到的距離。【答案】解：（1）設(shè)，對求導(dǎo)得。直線的斜率，當(dāng)時，不合題意，。圓心為，的斜率，由知，即，解得。（2）設(shè)為上一點，則在該點處的切線方程為即。若該直線與圓相切，則圓心到該切線的距離為，即，化簡可得，解得。拋物線在點處的切線分別為，其方程分別為 。得，將代入得，故。到直線的距離為?！究键c】拋物線與圓的方程，以及兩個曲線的公共點處的切線的運用，點到直線的距離。來源:Z&xx&k.Com【解析】（1）兩個二次曲線的交點問題，并且要研究兩曲線在公共點出的切線，把解析幾何和導(dǎo)數(shù)的工具性結(jié)合起來。首先設(shè)出切點坐標(biāo)，求出拋物線