多面體與球的內(nèi)切和外接常見類型歸納

1、1多面體與球的內(nèi)切和外接常見類型歸納在平常教學(xué)中, 立體幾何的多面體與球的位置關(guān)系, 是培 養(yǎng)學(xué)生的立體感, 空間想象能力的好教材。 可是學(xué)生在兩個幾何 體的組合后,往往感到無從下手。針對這種情況,筆者把日常教 學(xué)中有關(guān)這方面的習(xí)題加以總結(jié)和歸類如下:一.正四面體與球如圖所示,設(shè)正四面體的棱長為 a , r 為內(nèi)切球 的半徑, R 為外接球的半徑。則高 SE=32a, 斜高SD=43a , OE=r=SE-SO, 又SD=BD,BD=SE-OE,則在2222 (OE SE BD EB OE OEB -=+中, 直角r=a 126。 R=SO=OB=a 46 特征分析:1. 由于正四面體是一個中

2、心對成圖形,所以它的內(nèi)切球與外接球的球心為同一個。 2. R=3r. r=a 12R=a 46。此結(jié)論可以記憶。 例題一。 1、一個四面體的所有棱長都為 2,四個頂點在同一球面上,則此球的表面積為( 分析:借助結(jié)論, R=a 46=42=23, 所以 S=42R =3。 22、球的內(nèi)接正四面體又有一個內(nèi)切球,則大球與小球的表面積 之比是( 分析:借助 R=3r,答案為 9:1。二、特殊三棱錐與球四個面都是直角三角形的三棱錐。 SA AB BC ABC ABC 為直角三角形, 面 , 因為 SA AC , SB BC ,球心落在 SC 的中點處。所以R=2SC 。三.正方體與球。1.正方體的外接

3、球即正方體的 8個定點都在球面上。關(guān)鍵找出截面圖 :ABCD為正方體 的體對角面。設(shè)正方體的邊長為 a , 則 AB=2a , BD=2R, AD=a,R=2a 。C2. 正方體的內(nèi)切球。 (1與正方體的各面相 切。如圖:ABCD 為正方 體的平行側(cè)面的正方形。 C D BA C3R=2a(2與正方體的各棱相切。如圖:大圓是正方形 ABCD 的外接圓。 AB=CD=a, R=22a 。3. 在正方體以一個頂點為交點的三條棱組成的三棱錐,特征是:三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直且相等,它的外接球可把 三棱錐補形成正方體的外接球,再求解。例題:1。正方體的全面積是 24,它的頂點都在同一球面上,這 個球的

4、表面積是解析:顯然, 球是正方體的外接球, a=2, 則 R=322=, S=12。 2.一個球與棱長為 1 的正方體的 12條棱都相切,則球的體積 解析:如果明確了上面的結(jié)論, 問題很容易解決。 R=221=22V=323.將棱長為 1 的正方體削成體積最大的球,則球的體積為 解析:削成體積最大,即要求球是正方體的內(nèi)切球,與正方體的 俄各面都相切。 R=21, V=34。4. P 、 A 、 B 、 C 、是球 O 面上的四個點, PA 、 PB 、 PC 兩兩垂 直,且 PA=PB=PC=1,則球的體積是 解析:同過條件分析,可采用把三棱錐補形成正方體,則球是正4方體的外接球,所以 R=2

5、, V=23。 四、正棱柱與球1.正三棱柱外接球。如圖所示:過 A 點作 AD 垂直 BC,D 為三角形 ABC 的中心, D 1同樣得到。 則球心 O 必落在 DD 1的中點上。 利用三角形 OAD 為直角三角形, OA=R,可求出 R. 2. 正四棱柱外接球。道理與上面相似。主要是找截面,構(gòu)造直角三角形,利用勾股定 理求得。例題:1。 已知一個半徑為21的球中有一個各條棱長都相等的內(nèi)接正三棱柱,則這一正三棱柱的體積是 解析:如上圖, OA=21,OD=2a, AD=a 3,可求 a =6, V=54.2. 正四棱柱 ABCD-A 1B 1C 1D 1的各個頂點都在半徑為 R 的球面上, 則正四棱柱的側(cè)面積 有最 解析:截面如圖:ABCD 為正四棱柱的體對 角面 OD=R,設(shè) AD=a,底面正方形的邊長 為 b , 則 有 DC=2b , 則 R 2=(a/2 2+(2b/2 2 ,B 5S=4ba(2222b a +=224R 。五、長方體與球1.長方體的外接球。截面圖如右圖:實質(zhì)構(gòu)造直角三角形, 聯(lián)系半徑與長方體的長寬高。半徑為 體對角線的一半。2.在長方體以一個頂點為交點的三條 棱組成的三棱錐,特征是:三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直不相等, 它的外接球可把三棱錐補形成長方體 的外接球,再求解。例