一階電路的階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)

1、本文格式為Word版，下載可任意編輯一階電路的階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng) 零狀態(tài)是零原始狀態(tài)的簡稱。電路在零原始狀態(tài)下，僅由輸入激勵產(chǎn)生的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)（ zero-state response ）。 電路在單位階躍電壓或單位階躍電流激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響 應(yīng) (unit-step response), 簡稱階躍響應(yīng) (step response) 。 圖1 表示由單位階躍電流激勵的 RC 并聯(lián)電路。圖中（ t ）為單位階躍電流。當(dāng) t0 時(shí)電路無輸入激勵， ；當(dāng) t0 時(shí)，電流源向電路供應(yīng)1A 的恒定電流。這時(shí)，電路中的任一響應(yīng)( 電流或電壓 ) 僅僅是由單位階躍電流激勵產(chǎn)生的，即為電

2、路的的RC 并聯(lián)電路 當(dāng) t=0 時(shí)，由于電容電流是有限值，電容電壓不能跳變，故 uc(0 + )= uc(0 - )=0， iR (0 + )=uc（0 +） /R=0 ，ic(0 + )=1A 。即 此時(shí)電容的充電電流等于電流源的電流。隨著充電過程的進(jìn)行，電容電壓將從零開頭漸漸上升，電阻中的電流也將從零開頭漸漸增大，但電流源輸出的電流 ( 1A )卻保持不變，因此，電容電流必將逐步減小。當(dāng)電容充電結(jié)束后， ，電流源的全部電流通過電阻。 為了討論上述 RC 并聯(lián)電路的階躍響應(yīng)，首先依據(jù)電路的基本約束關(guān)系建 立電路方程 或 （1 ） 當(dāng) t 0 時(shí)，式（ 1 ）變?yōu)?（ 2 ） 此即為 t0

3、時(shí)電路的輸入 - 輸出方程，它是一個一階常系數(shù)線性非齊次微分方程。 令式（ 2 ）的右端等于零，得齊次微分方程 為 于是可得階躍響應(yīng)電壓的自由重量為 由于電路的激勵函數(shù)在 t0 時(shí)是一個常數(shù)，可設(shè)階躍響應(yīng)電壓的強(qiáng)制重量 為一常數(shù) K ，即 將此式代入非齊次微分方程式（ 2 ），得到 于是有 K=R 強(qiáng)制重量 因此式（2 ）的通解為 （ 5 ） 由式 （5 ）令 ，并代入初始條件 ，可得 B+R=0 從而解得積分常數(shù) B=-R 將積分常數(shù)代入式（ 5 ），并將該式右端乘以單位階躍函數(shù) ，便得到電路的階躍響應(yīng)電壓為 或 階躍響應(yīng) 的強(qiáng)制重量 在 t 0 的區(qū)間內(nèi)是一個常量， 因此， 又被稱為階躍響

4、應(yīng) 的穩(wěn)態(tài)重量 (steady-state component) ，或稱穩(wěn)態(tài)響應(yīng) (steaty-state response) 。線性電路對周期性激勵的強(qiáng)迫響應(yīng)雖不是常量 ( 而是周期量 ) ，也稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 階躍響應(yīng) 的自由重量 隨時(shí)間的增長按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減的 決慢打算于電路的時(shí)間常數(shù) =RC ，當(dāng)經(jīng)過 4 5 的時(shí)間后，即可認(rèn)為 已消逝。因此，階躍響應(yīng) 的自由重量又被稱為暫態(tài)重量 (transient component) ，或稱暫態(tài)響應(yīng) ( transient response) 。當(dāng)暫態(tài)重量衰減完后，階躍響應(yīng)即等于其穩(wěn)態(tài)重量。明顯，這就是電路中的電容在充電結(jié)束后( ) 具有的電

5、壓。 但須留意，暫態(tài)響應(yīng)不肯定等于自然響應(yīng)，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不肯定等于強(qiáng)迫響應(yīng)。 假如激勵函數(shù)是隨時(shí)間的增長而衰減的 ( 例如指數(shù)脈沖 ) ，則受激勵函數(shù)約束的強(qiáng)迫響應(yīng)也將隨時(shí)間的增長而衰減，它與激勵同時(shí)存在，同時(shí)消逝。這時(shí)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)等于零，自然響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)一并組成暫態(tài)響應(yīng)。 在暫態(tài)響應(yīng)存在的時(shí)間內(nèi)，電路的工作狀態(tài)稱為暫態(tài) ( 或瞬變狀態(tài) ) 。暫態(tài)響應(yīng)衰減完以后，電路的工作狀態(tài)稱為穩(wěn)定狀態(tài) ( 簡稱穩(wěn)態(tài) ) 。圖1 所示電路在經(jīng)過 4 -5 的時(shí)間后、即可認(rèn)為進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)電路的響應(yīng)即為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 電阻電流和電容電流可依據(jù)歐姆定律和基爾霍夫電流定律分別表示為 階躍響應(yīng) 、 、 的函數(shù)曲線分別描繪

6、在圖2 中。由此 可見， 與 都是從它們的初始值開頭，隨時(shí)間的增長按指數(shù)規(guī)律單調(diào)地上升，而 則是從它的初始值開頭隨時(shí)間的增長按同一指數(shù)規(guī)律衰減，約經(jīng) 4 5 的時(shí)間后，它們分別等于各自的穩(wěn)態(tài)重量 ( 電容電流的穩(wěn)態(tài)重量為零 ) 。但電容電流在 t=0 時(shí)，由 跳變到 。 （a）電容電壓及其穩(wěn)態(tài)重量與暫態(tài)重量 （b）電流曲線 圖2 RC并聯(lián)電路的階躍響應(yīng)曲線 依據(jù)以上所得結(jié)果，不難看出，一階電路對階躍激勵的零狀態(tài)響應(yīng)是激勵的線性函數(shù)。事實(shí)上，零狀態(tài)響應(yīng)是電路在零原始狀態(tài)下僅由輸人激勵產(chǎn)生的響應(yīng)，因而自然是激勵的線性函數(shù)。這對于線性電路而官，具有普遍意義。 上面爭論了一階電路的階躍響應(yīng)。假如作用于同一電路的激勵函數(shù)是移位的單位階躍函數(shù) ，則因電路參數(shù)不隨時(shí)間變化，電路的輸山響應(yīng)與輸入激勵施加于電路的時(shí)刻無關(guān)，響應(yīng)函數(shù)的曲線應(yīng)與階躍響應(yīng)曲線完全相同，僅僅在時(shí)間上延遲 ；這就是所謂電路的非時(shí)變性。例如圖1 所示 RC 并聯(lián)電路的階躍響應(yīng)電壓 式 6) 為 激勵函數(shù) 與響應(yīng) 的曲線示于圖 6(a