函數(shù)與方程思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用(共7頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上函數(shù)與方程思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用張猛【內(nèi)容提要】：函數(shù)與方程思想是初中數(shù)學(xué)中的基本思想。它們密切相關(guān)，有時(shí)需要互相轉(zhuǎn)化來解決問題。本文對(duì)初中數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想的內(nèi)涵作了探討，并結(jié)合一些具體案例說明了函數(shù)與方程思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：函數(shù)；方程；函數(shù)與方程思想應(yīng)用案例數(shù)學(xué)知識(shí)可以記憶一時(shí)，但數(shù)學(xué)思想和方法卻隨時(shí)隨地發(fā)揮作用，使人受益終身。近年來中考考綱已明確提出不僅要考察學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)和思維能力，還要考察學(xué)生思想方法的運(yùn)用能力。其中，函數(shù)與方程思想是眾多考試考查的最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一。學(xué)生僅僅學(xué)習(xí)了函數(shù)與方程的知識(shí)是不夠的，應(yīng)通過解題和對(duì)解題過程

2、的反思來領(lǐng)悟函數(shù)與方程思想。一：函數(shù)與方程思想的地位與作用函數(shù)與方程思想，簡(jiǎn)單地說，就是學(xué)會(huì)用函數(shù)和變量來思考，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化已知與未知的關(guān)系。在解題時(shí)，用函數(shù)思想做指導(dǎo)就需要把字母看作變量，把代數(shù)式看作函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)做工具進(jìn)行分析，或者構(gòu)造一個(gè)函數(shù)把表面上不是函數(shù)的問題化歸為函數(shù)問題。用方程思想做指導(dǎo)就需要把含字母的等式看作方程，研究方程的根有什么要求。函數(shù)與方程思想在解題過程中有著密切的聯(lián)系。目前初中階段主要數(shù)學(xué)思想有：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想、圖形運(yùn)動(dòng)思想、數(shù)學(xué)模型思想。函數(shù)與方程思想，既是函數(shù)與方程思想的體現(xiàn)，也是兩種思想綜合運(yùn)用的體現(xiàn)，是研究變量與函數(shù)

3、，相等與不等過程中的基本數(shù)學(xué)思想。本文例析函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用:二：函數(shù)與方程思想的應(yīng)用案例通過整理與歸納，可以發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)解題中，函數(shù)與方程思想常用于以下幾類問題的解決。1 求代數(shù)式的值例1 已知求的值。解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)， 原式=111=11。解題反思：此題若將a,b的值分別代入所求式中計(jì)算，顯然運(yùn)算過程很麻煩。觀察發(fā)現(xiàn)，所求式中兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的二次項(xiàng)系數(shù)之比與一次項(xiàng)系數(shù)之比相等，因此可先算出a+b=4,ab=1.利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)建一元二次方程，這樣解起來就簡(jiǎn)便多了，體現(xiàn)了方程思想的簡(jiǎn)捷性。2 解應(yīng)用問題例2 某開發(fā)公司生產(chǎn)的960件新產(chǎn)品需要精加工后才能投放市場(chǎng)，現(xiàn)有甲、乙

4、兩個(gè)工廠同時(shí)加工這批產(chǎn)品。已知甲廠單獨(dú)完成加工任務(wù)比乙廠單獨(dú)完成加工任務(wù)多用20天，而乙廠每天比甲廠多加工8件產(chǎn)品。公司每天需付甲廠加工費(fèi)800元，每天需付乙廠加工費(fèi)1200元。（1）甲、乙兩個(gè)工廠每天各加工多少件新產(chǎn)品？（2）請(qǐng)你計(jì)算兩廠合作完成加工任務(wù)公司所付費(fèi)用。解：（1）設(shè)甲廠每天加工x件新產(chǎn)品，則乙廠每天加工（x+8）件。依題意得方程?；?jiǎn)得。解得（不合題意，舍去）當(dāng)x=16時(shí)，x+8=24,則甲、乙兩廠每天各加工16件和24件。甲廠獨(dú)自完成加工任務(wù)需時(shí)間為96016=60（天）；乙廠獨(dú)自完成加工任務(wù)需時(shí)間為96024=40（天）。（2）設(shè)甲、乙兩廠合作完成加工任務(wù)所用時(shí)間為y天可得

5、。解之，得y=24（天）故公司所付費(fèi)用為（800+1200）24=4800（元）。解題反思：本題第（1）小題通過列方程得出結(jié)論，同時(shí)又為第（2）小題列方程提供了條件，思路清晰。這些內(nèi)容主要考查對(duì)基本關(guān)系式的運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的應(yīng)用能力。3 圖形的計(jì)算例3 如圖，在ABC中，ACB=，AC=2，BC=3.D是BC邊上一點(diǎn)，直線DEBC于D，交AB于E,CFAB交直線DE于F。設(shè)CD=x。（1）當(dāng)x取何值時(shí)，四邊形EACF是菱形？請(qǐng)說明理由; (2) 當(dāng)x取何值時(shí)，四邊形EACD的面積等于2？解：（1）由已知可證得四邊形EACF是平行四邊形。 當(dāng)CF=AC時(shí)，該四邊形是菱形。此時(shí)CF=AC=2

6、，BD=3-x可證ACBEDB，得ED=（3-x）,則DF=x。由勾股定理得：，x=±(舍去負(fù)值)， 當(dāng)x=時(shí)，該四邊形是菱形。（2），由題意得， 解得舍去，因此，四邊形EACD的面積等于2。解題反思：在本例（1）中，利用勾股定理建立方程；在（2）中，利用梯形面積的兩個(gè)表示式相等建立方程。除此之外，諸如多邊形內(nèi)角和定理、外角和定理、相似三角形對(duì)應(yīng)所成的比例關(guān)系式等幾何定理、圖形性質(zhì)，都是建立方程的重要橋梁。充分利用這樣的“橋梁”，就能較順利地運(yùn)用方程思想將幾何問題轉(zhuǎn)化成方程問題來解決。4構(gòu)建函數(shù)模型解決應(yīng)用題例4 某水果批發(fā)商場(chǎng)經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克贏利10元，每天可售出500

7、。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20。（1）現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天贏利6000元，同時(shí)又要顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？（2）若該商場(chǎng)單純從經(jīng)濟(jì)角度看，這種水果每千克漲價(jià)多少元能使商場(chǎng)獲利最多？解：設(shè)每千克應(yīng)漲價(jià)元，根據(jù)題意得：解得： 為了使顧客得到實(shí)惠，應(yīng)取x=5(元)。（2）設(shè)每千克漲價(jià)x元時(shí)，總利潤(rùn)為y元。時(shí)，（元）。解題反思：本題屬于商品銷售中的最大利潤(rùn)問題，解答這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)“商品總利潤(rùn)=每件商品的利潤(rùn)×銷售量”構(gòu)建二次函數(shù)模型，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解。運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)求實(shí)際問題中的最大值和最小值的一般步驟：求出函數(shù)解析式

8、和自變量的取值范圍；配方變形，或利用公式求它的最大值或最小值；檢驗(yàn)求得的最大值或最小值對(duì)應(yīng)的自變量的值是否在自變量的取值范圍內(nèi)。5 函數(shù)與幾何綜合題例5 一塊三角形廢料如圖所示，A=,C=，AB=12。用這塊廢料剪出一個(gè)小矩形CDEF。其中點(diǎn)D、E、F分別在AC、AB、BC上，要剪出的矩形CDEF面積最大，點(diǎn)E應(yīng)選在何處？解：由分析可得，利用勾股定理求出AC、AD、AE的長(zhǎng)，然后利用矩形面積公式解答， 設(shè)AE的長(zhǎng)為x,則DE=,AD= 在ACB中，A=,C=，AB=12， 當(dāng)x=6時(shí)，剪出的矩形CDEF面積最大，最大值是.此時(shí)點(diǎn)E應(yīng)選在AB的中點(diǎn)。解題反思：本題從研究變量的變化趨勢(shì)入手，借助勾

9、股定理弄清線段之間的變化關(guān)系來求解矩形的最大面積，構(gòu)造函數(shù)模型，利用函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖像求解問題。例6 如圖，在ABC中，C=，AB=，點(diǎn)P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PDAB，PD交AC于點(diǎn)D，連接AP。(1)求AC、BC的長(zhǎng).（2）設(shè)PC的長(zhǎng)為x，ADP的面積為y.當(dāng)x為何值時(shí)，y最大？求出y的最大值。解：根據(jù)三角函數(shù)的定義知,由，解得AC=2。再利用勾股定理求得另一條直角邊BC的長(zhǎng)為4。（2） 由分析可得： PDAB ABCDPC 又PC=x,則DC=，AD= 當(dāng)x=2時(shí)，y的值最大，最大值是一。解題反思：本題是以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為背景的動(dòng)態(tài)幾何問題，解決這類問題的關(guān)鍵是利用面積計(jì)算公式構(gòu)建二次函數(shù)模型，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值或最小值。三 結(jié)束語函數(shù)思想是用函數(shù)的概念、性質(zhì)去分析和轉(zhuǎn)化問題。我們應(yīng)用函數(shù)思想的幾種常見題型是：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題；有關(guān)方程、最值之類的問題，利用函數(shù)觀點(diǎn)加以分析；實(shí)際應(yīng)用問題，翻譯成數(shù)學(xué)語言，建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)等知識(shí)