（精選）利用MATLAB求線性方程組Word版

1、MATLAB語言課成論文 利用MATLAB求線性方程組 姓名：郭亞蘭 學號：12010245331 專業(yè)：通信工程 班級：2010級通信工程一班 指導老師：湯全武 學院：物電學院 完成日期：2011年12月17日利用MATLAB求解線性方程組（ 郭亞蘭 12010245331 2010 級通信一班 ）【摘要】在高等數(shù)學及線性代數(shù)中涉及許多的數(shù)值問題，未知數(shù)的求解，微積分，不定積分，線性方程組的求解等對其手工求解都是比較復雜，而MATLAB語言正是處理線性方程組的求解的很好工具。線性代數(shù)是數(shù)學的一個分支，它的研究對象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。因而，線性代數(shù)被

2、廣泛地應用于抽象代數(shù)和泛函分析中；由于科學研究中的非線性模型通?？梢员唤茷榫€性模型，使得線性代數(shù)被廣泛地應用于自然科學和社會科學中。線性代數(shù)是數(shù)學的一個分支，它的研究對象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。因而，線性代數(shù)被廣泛地應用于抽象代數(shù)和泛函分析中；由于科學研究中的非線性模型通?？梢员唤茷榫€性模型，使得線性代數(shù)被廣泛地應用于自然科學和社會科學中。線性代數(shù)是討論矩陣理論、與矩陣結合的有限維向量空間及其線性變換理論的一門學科?！娟P鍵字】線性代數(shù) MATLAB語言 秩 矩陣 解一、基本概念1、 N級行列式A：A等于所有取自不同性不同列的n個元素的積的代數(shù)和。2、

3、 矩陣B：矩陣的概念是很直觀的，可以說是一張表。3、 線性無關：一向量組（a1,a2,an）不線性相關，既沒有不全為零的數(shù)k1,k2,kn使得：k1*a1+k2*a2+kn*an=04、 秩：向量組的極在線性無關組所含向量的個數(shù)成為這個向量組的秩。5、 矩陣B的秩：行秩，指矩陣的行向量組的秩；列秩類似。記：R(B)6、 一般線性方程組是指形式：二、基本理論 三種基本變換：1，用一非零的數(shù)乘某一方程；2，把一個方程的倍數(shù)加到另一方程；3，互換兩個方程的位置。以上稱出等變換。消元法首先用初等變換化線性方程組為階梯形方程組：1，如果剩下的方程當中最后的一個等式等于一非零數(shù)，那么方程組無解；否則有解；

4、2，如果階梯形方程組中方程的個數(shù)r等于未知量的個數(shù)，那么方程組有唯一的解；3，如果階梯形方程組中方程的個數(shù)r小于未知量的個數(shù)，那么方程組就有無窮個解。定理1：線性方程組有解的充要條件為：R(A)=R(A,b)線性方程組解的結構：1：對齊次線性方程組，a:兩個解的和還是方程組的解；b:一個解的倍數(shù)還是方程組的解。定義：齊次線性方程組的一組解u1,u2,ui稱為齊次線性方程組的一個基礎解系，如果：齊次線性方程組的任一解都表成u1,u2,ui的線性組合，且u1,u2,ui線性無關。2：對非齊次線性方程組 （1）方程組的兩個解的差是（2）的解。 （2）方程組的一個解與（2）的一個解之和還是（1）的解。

5、定理2 如果R0是方程組（1）的一個特解，那么方程組（1）的任一個解R都可以表成;R=R0+V. 其中V是（2）的一個解，因此，對方稱（1）的任一特解R0，當v取遍它的全部解時，（3）就給出了(1)全部解。三：基本思路 線性方程的求解分為兩類：一類是方程求唯一解或求特解；一類是方程組 求無窮解即通解。（1）判斷方程組解的情況。1:當R(A)=R(B)時，有解（R(A)=R(A，b)）>=n 唯一解，R(A)=R(A,b)(n,有無窮解)；2：當R(B)+1=R(A，b)時無解。（2）求特解；（3）求通解（無窮解），線性方程組的無窮解=對應齊次方程組的通解+非齊 次方程組的一個特解；注：以

6、上針對非齊次線性方程組，對齊次線性方程組，主要使用到（1）,(2)步！四、基本方法基本思路將在解題的過程中得到體現(xiàn)。1、 （求線性方程組的唯一解或特解），這類問題的求法分為兩類：一類主要用于解低階稠密矩陣直接法；一類是解大型稀疏矩陣迭代法。2、 利用矩陣除法求線性方程組的特解（或一個解） 方程：AX=b,解法：X=Ab，（注意此處不是/） (1)求方程組 命令如下： A=2,-1,-1,1;1,1,-2,1;4,-6,2,-2;3,6,-9,7;%產生4x4階系數(shù)矩陣 b=2,4,4,9' %對矩陣進行轉置 x=Ab %進行左初運算 x = NaN Inf Inf-3.0000曾介紹過

7、利用矩陣求逆來解線性方程組，即其結果于使用左除是相同的。2、利用矩陣的分解求線性方程組矩陣分解是指根據(jù)一定的原理用某種運算將一個矩陣分解成若干個矩陣的乘積。常見矩陣分解如，LU,QR和Cholesky分解求方程組的解，這三種分解，再求大型方程組是很有用。其優(yōu)點是運算速度快，可以節(jié)省磁盤空間，節(jié)省內存。（1） LU分解又稱Gauss 消去分解，可把任意方陣分解為下三角矩陣的基本變 換形式（行變換）和上三角矩陣的乘積。即A=LU,L為下三角陣,U為上三角 陣。 則：A*X=b 變成L*U*X=b 所以X=U(Lb) 這樣可以大大提高運算速度。 命令 L,U=lu(A) 在matlab中可以編如下通

8、用m文件；在MATLAB建立M文件如下% exp1.mA;b;L,U=lu(A); %產生一個三角矩陣A和一個變換形式的下三叫矩陣L（交 換行），使之滿足A=LUX=U(Lb) %L右乘b的結果再右乘U得到x的值(2)求方程組 命令如下：A=1,1,-1,-1;2,-5,3,2;7,-7,3,1; %產生3x4階系數(shù)矩陣 b=1,3,6' %對矩陣進行轉置L,U=lu(A); %產生一個三角矩陣A和一個變換形式的 下三叫矩陣L（交換行），使之滿足A=LUx=U(Lb) %L右乘b的結果再右乘U得到x的值x = 0.4286 -0.4286 0 0 rank = 2, tol = 6.7

9、642e-015. 采用第二種格式分解，在MATLAB建立M文件如下%exp1.mA;b;L,U,P=lu(A); X=U(LP*b)(3)求方程組 命令如下：A=1,1,-1,-1;2,-5,3,2;7,-7,3,1;%產生3x4階矩陣b=1,3,7' %對矩陣進行轉置L,U,P=lu(A); %產生一個三角矩陣A和一個下三角陣L以 及一個置換矩陣P,使之滿足PA=LUx=U(LP*b) %x的值x = 0.6667 -0.3333 0 0 rank = 2, tol = 6.7642e-015.(II)Cholesky分解若A為對成正定矩陣，則Cholesky分解可將矩陣A分解成上

10、三角矩陣和其 轉置的乘積，即:A=R*R 其中R為上三角矩陣。方程 A*X=b 變成 R*R*X=b 所以 X=R(Rb)在MATLAB中建立M文件如下%exp2.mA;b;R,R=chol(A); %產生一個上三角矩陣R，使RR=AX=R(Rb) %x的值(4)求方程組 命令如下：A=1,-1,-1,1;1,-1,1,-3;1,-1,-2,3; %產生3x4階的矩陣b=0,1,-0.5' %對矩陣進行轉置R'R=chol(A); %產生一個上三角矩陣R，使R'R=Ax=R(R'b) %x的值? Error using => cholMatrix must

11、 be square.命令執(zhí)行時，此格式將不出現(xiàn)錯誤信息。當A為對稱正定時，則p=0； 否則p為一個正整數(shù)。如果X未滿秩矩陣，則R為一個階數(shù)為q=p-1的上三角 陣，且滿足RR=A(1：q,1:q)。（3）QR分解 對于任何長方矩陣A,都可以進行QR分解，其中Q為正交矩陣，R為上三角 矩陣的初等變換形式，即：A=QR方程 A*X=b 變形成 QRX=b所以 X=R(Qb)上例中 Q,R=qr(A) %產生一個正交矩陣Q和一個上三角矩陣R，使之A=QR X=R(QB) %x的值在MATLAB中建立M文件如下%exp3.mA;b;Q,R=qr(A);X=R(Qb)(5) 求方程組 命令如下：A=4

12、,2,-1;3,-1,2;11,3,0; %產生3x3階的矩陣 b=2,10,8' %對矩陣進行轉置Q,R=qr(A); %產生一個正交矩陣Q和一個上三角矩陣 R，使之滿足A=QRx=R(Qb) %x的值x = 1.0e+015 * 1.3238 -4.8539 -4.4126 RCOND = 4.594136e-017.除了用直接方法求解線性方程組的解之外，還可以用迭代法求解。迭代法適合求解大型系數(shù)矩陣的方程組。它主要包括Jacobi迭代法，Gauss-Serdel迭代法，超松馳迭代法和兩步迭代法。在此只討論Jacobi與Gauss-Serdel迭代法。1 Gauseidel迭代法用

13、迭代法求解下列線性方程組，迭代初值為0，迭代精度為10e-6。Gauseidel.m函數(shù)文件：functiony,n=gauseidel(A,b,x0,eps)if nargin=3 eps =1.0e-6 ; elseif nargin<3 error %錯誤 return %結束該函數(shù)的執(zhí)行End D=diag(diag(A); %求A的對角矩陣L=-tril(A,-1); %求A的下三角陣U=-triu(A,1); %求A的上三角陣G=(D-L)U;f=(D-L)b;y=G*x0+f; %y的值n=1; %迭代次數(shù)while norm(y-x0)>=epsx0=y;y=G*x

14、0+f;n=n+1;End(6)求解方程組 在命令中調用該文件gauseidel.m, 程序如下：A=1,2,1;3,6,-1;5,10,1; %產生一個3*3階系數(shù)矩陣b=1,5,3; %對矩陣進行轉置 x,n=gauseidel(A,b,0,0,0,1.0e-6) %調用gauseidel函數(shù)x = 0/0 0/0 0/0n =13912'Jacobi迭代法Jacobi.m函數(shù)文件：functiony,n=jacobi(A,b,x0,eps)if nargin=3 eps=1.0-6 ; %精確度為10e-6elseif nargin<3 error %錯誤 return %

15、結束該函數(shù)的執(zhí)行endD=diag(diag(A); %求A的對角矩陣L=-tril(A,-1); %求A的下三角陣 U=-triu(A,1); % 求A的上三角陣B=D(L+U);f=Db;y=B*x0+f ; %y的值n=1; %迭代次數(shù) while norm(y-x0)>=eps x0=y; y=B*x0+f; n=n+1;end 用Jacobi迭代法求解下列線性方程組，迭代初值為0，迭代精度為10e-6。(7)求解方程組 在命令中調用該文件jacobi.m, 程序如下：A=3,-1,0;1,2,-3;0,-1,5; %產生一個3*3階系數(shù)矩陣Ab=6,5,7' %產生矩陣

16、bx,n=jacobi(A,b,0,0,0',1.0e-6) %調用jacobi函數(shù)f= 2.0000 2.5000 1.4000n= 1x= NaN NaN NaNn= 1709五、總結 Matlab語言運算以矩陣運算為基礎 ，可視化，程序設計有機的融合到一個簡單易行的互換式工作環(huán)境中，有出色的數(shù)值計算功能和強大的圖形處理功能，而且簡單易學，代碼短小高效。線性代數(shù)是數(shù)學中的一個重要分支，很多理論問題和實際問題都需要借助于線性代數(shù)的理論工具來分析解決，而且隨著計算機的普及，線性代數(shù)被廣泛應用于科學，經濟，工程和管理等各個領域，同時線性代數(shù)也成為高校理工科和經濟管理類各專業(yè)的一門公共基礎

17、課。線性代數(shù)課程是由方程Ax=b發(fā)展起來的，主要研究線性方程組和二次型，對線性方程組的研究引入了行列式，矩陣，向量。這三塊內容是研究線性方程組的三大工具。學習線性代數(shù)有兩大難點：一是概念，理論抽象，二是計算量大。不過利用Matlab語言，就可以輕松快捷的解決很多線性代數(shù)問題。比如說求方陣的逆和行列式，線性方程組中論述的求方陣的逆運算和行列式比較復雜，而在Matlab中，方陣的逆運算只需用函數(shù)“inv”即可六、心得體會 通過寫本次的論文，我受益匪淺，才發(fā)現(xiàn)原來論文的書寫格式要求這么嚴格，以前也沒怎么注意格式。由于學的不精，在Matlab軟件中編程時出現(xiàn)了好多好多問題，格式上的，大小寫，還有軟件中的一些特殊用法等等。在多次的修改后才勉強完成這次論文。在學習Matlab的時候，我感覺這個語言要比我們在大一時學的C語言更加方便，實用，雖然各有各的特點。比如在求解不等式問題上，