例談不完全歸納法在初中數(shù)學中的運用

1、例談不完全歸納法在初中數(shù)學中的運用 鄖西縣城關鎮(zhèn)城北中學 徐華進不完全歸納法是指從一個或幾個(但不是全部)特殊情況作一般性的結論的歸納推理。這種歸納法是用一定數(shù)量數(shù)值為基礎,進行分析探究,從中找出規(guī)律,并將此規(guī)律推廣應用到一般情況下的計算和證明在初中數(shù)學教材中，經(jīng)常會用這種方法進行定義、公式、法則、定理的推導學生在學習中,若能正確運用不完全歸納法,可提高分析、解決問題能力，發(fā)現(xiàn)、探索問題的能力。下面略舉幾例說明它的運用；一. 在推導法則、定理中的運用1利用不完全歸納法推導分式乘方的運算法則 根據(jù)乘方的意義和分式乘法法則，可得： = 由此可推出，當n為正整數(shù)時，=(b0)即分式乘方要把分子、分母

2、分別乘方利用不完全歸納法推導凸多邊形內角和定律將教材的推導過程整理成下表：多邊形邊數(shù)圖 形從一個頂點出發(fā)的對角線把多邊形分割成的三角形個數(shù)多邊形邊的內角和44-2=2（4-2）×18055-2=3（5-2）×18066-2=4(6-2)×180nn-2（n-2）×180通過引導學生填寫上表內容,分析概括,總結歸納出多邊形內角和定理:n邊形內角和等于180×(n-2).說明：本定理的推導，還可以在多邊形內（或一邊上）取任一點，分別連接多邊形的頂點，也可仿照上述方法，得到同樣的結論，可讓學有余力的學生在課外去探討。二.在解題中的應用1 . 從計算結

3、果中探究規(guī)律例 計算: = 3 =33 =333=3333請根據(jù)上述規(guī)律寫出下式的結果:=_.分析：從至式的左邊可以看出：被開方數(shù)中被減數(shù)1的個數(shù)是減數(shù)2的二倍，其結果中3的個數(shù)是減數(shù)2的個數(shù)。解：=說明：解此類題目關鍵是正確分析歸納出題中的結果數(shù)字與算式中數(shù)字之間的特殊關系，再從特殊推廣到一般.2.從圖形的特征中探究規(guī)律例1 下列各三角形圖案是由若干個五角星組成的，每條邊（包括兩個頂點）有n（n>1）五角星,每個圖案中五角星的總數(shù)為s.按此規(guī)律推斷:s與n的關系. n=2，s=3 n=3 s=6 n=4，s=9 圖(1) 圖(2) 圖(3分析方法一:由于每條邊上的五角星數(shù)包括了兩個頂點

4、,若每邊按n個計算,則重算了三角形三個頂點上的三個。故有s=3n-3.分析方法二：由圖可知，每個圖案上的五角星總數(shù)，隨著各邊上五角星的增多而增多，且前面一個圖案中五角星總數(shù)總比其后面一個圖案中五角星總數(shù)少3，因此可猜想：s=，根據(jù)圖（1）、圖（2）中的條件就能求出k，b的值，再驗證是否滿足圖（3）的條件。解：設s=，把n=2，s=3；n=3，s=6分別代入上式，得 解得 s=3n-3經(jīng)檢驗：n=4，s=9也滿足s=3n-3所求s與n的關系為s=3n-3例2 如圖，中，A、A、A、A是邊AC上不同的n個點，首先連接BA，圖中有3個不同的三角形，再連接BA圖中共有6個不同的三角形（1）連接到A時，

5、請用n的代數(shù)式表示圖中共有三角形的個數(shù)。（ 2）若出現(xiàn)45個三角形，則共需連接多少個點？ B 分析：通過觀察圖知，當AC上有1個點A時，連接點B，所得三角形的個數(shù)為（2+1）個；當AC上有2個點A、A時，分別連接點B，所得三角形的個數(shù)為（3+2+1）個，當AC上有3個點A、A、A時，分別連接點B，所得三角形的個數(shù)為（ 4+3+2+1）個； 由此可以推測出：當AC上有n個點A，A、AA時，分別連接點B，所得三角形的個數(shù)為（n+1）+n+（n-1）+ +3+2+1 個 解：（1）當連接到A 時，所得三角形總個數(shù)為： （n+1） +n+（n-1）+（n-2）+4+3+2+1 =（n+1）+1+（n+

6、2）+（n-1+3）+=A A A2 A3 An = （2）由題意，得=45 原方程化為：n+3n-88=0 即（n+11）（n-8）=0 n=8或n=-11 （負值不合題意，舍去）答：當出現(xiàn)45個三角形時，共連接8個點。說明：從例1、例2可以看出,解此類題目常常是先考慮特殊情況,由特殊情況下的結果,推導出一般情況下的結果,它是從特殊到一般的歸納推理,因此必須要求學生對所得出的結論要做出合理性的驗證.學生往往會因所選取的數(shù)值不具有全面的代表性,使得結論產(chǎn)生錯誤.如下面的例子就說明了這一點.如：這里學生忽略了a<0的情況,導致最后的結論不正確.在初中數(shù)學的學習過程中，學生能夠合理地運用數(shù)學不完全歸納法，能使所解決的問題變