初中函數(shù)概念

1、.函數(shù)及其相關(guān)概念1、變量與常量在某一變化過(guò)程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量。一般地，在某一變化過(guò)程中有兩個(gè)變量 x 與 y，如果對(duì)于 x 的每一個(gè)值， y 都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō) x 是自變量， y 是 x 的函數(shù)。2、函數(shù)解析式用來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。3、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點(diǎn)（ 1）解析法兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系，有時(shí)可以用一個(gè)含有這兩個(gè)變量及數(shù)字運(yùn)算符號(hào)的等式表示，這種表示法叫做解析法。（ 2）列表法把自變量x 的一系列值和函數(shù)y 的對(duì)應(yīng)值列成一個(gè)表來(lái)表示函數(shù)關(guān)系

2、，這種表示法叫做列表法。（ 3）圖像法用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。4、由函數(shù)解析式畫(huà)其圖像的一般步驟（ 1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對(duì)應(yīng)值（ 2）描點(diǎn)：以表中每對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)（ 3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點(diǎn)用平滑的曲線連接起來(lái)。一次函數(shù)和正比例函數(shù)1、一次函數(shù)的概念：一般地，如果ykxb （k， b 是常數(shù)， k0），那么 y 叫做 x 的一次函數(shù)。特別地，當(dāng)一次函數(shù)ykxb 中的 b 為 0 時(shí)， ykx （ k 為常數(shù)， k0）。這時(shí)， y 叫做 x 的正比例函數(shù)。2、一次函數(shù)、正比例函數(shù)的圖像所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線一次函

3、數(shù) y kxb( k 0) 的圖像是經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0， b）的直線 ( b 是直線與 y 軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即一次函數(shù)在y 軸上的截距 ) ；正比例函數(shù) ykx 的圖像是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（0， 0）的直線。3、斜率：y2y1k tanx2x1直線的斜截式方程，簡(jiǎn)稱斜截式: y kx b( k 0)由直線上兩點(diǎn)確定的直線的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱兩點(diǎn)式:yA( x1,y )1P(x0 y0)y=kx+bdB( x2,y2)by kx b (tan ) x by2y1 x( x x1 ) y1ax2x10x由直線在x 軸和 y 軸上的截距確定的直線的截距式方程，簡(jiǎn)稱截距式：xy1ab設(shè)兩條直線分別為， l1 ： yk1

4、 x b1l2 ： yk 2 xb2 若l1l 2k 1k 21若 l 1 / l 2 ，則有 l1 / l 2k1 k2 且 b1b 2 。YA點(diǎn) P（ x0，y0）到直線 y=kx+b( 即： kx-y+b=0)的距離 :kx0y0bkx0y0bd1) 2k 2;.k 2(1.4、兩點(diǎn)間距離公式（當(dāng)遇到?jīng)]有思路的題時(shí)，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法）XB如圖：點(diǎn) A 坐標(biāo)為（ x1， y1）點(diǎn) B 坐標(biāo)為（ x2， y2 ）則 AB 間的距離，即線段 AB 的長(zhǎng)度為x1 x22y1 y225、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定確定一個(gè)正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式y(tǒng)kx （ k0

5、）中的常數(shù)k。確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式 y kx b （ k0）中的常數(shù) k 和 b。解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法。6、（1）一次函數(shù)圖象是過(guò)兩點(diǎn)的一條直線， |k|的值越大，圖象越靠近于y 軸。（2）當(dāng) k>0 時(shí)，圖象過(guò)一、三象限，y 隨 x 的增大而增大；從左至右圖象是上升的（左低右高）；（3）當(dāng) k<0 時(shí)，圖象過(guò)二、四象限，y 隨 x 的增大而減小。從左至右圖象是下降的（左高右低）；（4）當(dāng) b>0 時(shí)，與 y 軸的交點(diǎn)（ 0， b）在正半軸；當(dāng) b<0 時(shí)，與 y 軸的交點(diǎn) (0,b)在負(fù)半軸。當(dāng)b 0 時(shí)，一次函數(shù)就是正比例函數(shù)，圖象是

6、過(guò)原點(diǎn)的一條直線（5）幾條直線互相平行時(shí)， k 值相等而 b 不相等。;.反比例函數(shù)1、反比例函數(shù)的概念一般地，函數(shù)yk （ k 是常數(shù)， k 0）叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以寫(xiě)成y kx 1 的形式。自變x量 x 的取值范圍是x0 的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實(shí)數(shù)，也可寫(xiě)成xy=k(k是常數(shù)， k0)反比例函數(shù)中，兩個(gè)變量成反比例關(guān)系：由xy=k ，因?yàn)?k 為常數(shù)， k0，兩個(gè)變量的積是定值，所以y 與 x 成反比變化，而正比例函數(shù)y=kx(k 0) 是正比例關(guān)系：由y =k (k 0) ，因?yàn)?k 為不等于零的常數(shù)，兩個(gè)變量的商是定值。y= k (k 0) 的圖象的

7、畫(huà)法x2、反比例函數(shù)畫(huà)圖方法：描點(diǎn)法。x由于雙曲線的圖象有關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，所以只要描出它在一個(gè)象限內(nèi)的分支，再對(duì)稱地畫(huà)出另一分支。一定要注意： k>0，雙曲線兩分支分別在第一、三象限。 k<0，雙曲線兩分支分別在第二、四象限。 ( 在每一象限內(nèi)，從左向右上升 ) 因此，它的增減性與一次函數(shù)相反反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。特點(diǎn)： y= k =kx- 1(k 0) 中， x0，y0，則有雙曲線不過(guò)原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸永不相交。但無(wú)限靠近x 軸、 yx軸。畫(huà)圖時(shí)圖象要體現(xiàn)這種性質(zhì)，千萬(wàn)注意不要將兩個(gè)分支連起來(lái)。3、反比例函數(shù)的性質(zhì)和圖像反比例yk (k 0)函數(shù)xk 的符k

8、>0k<0號(hào)yy圖像OxOx x 的取值范圍是x0， x 的取值范圍是x0，y 的取值范圍是y0；y 的取值范圍是y0；性質(zhì)當(dāng) k>0 時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別當(dāng) k<0 時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第一、三象限。在每個(gè)象限內(nèi)，y在第二、四象限。在每個(gè)象限內(nèi)，y隨 x 的增大而減小。隨 x 的增大而增大。4、反比例函數(shù)解析式的確定k確定的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)y中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要一對(duì)對(duì)應(yīng)值或圖像上的x一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k 的值，從而確定其解析式。5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何的意義如下圖，過(guò)反比例函數(shù)yk (k 0) 圖像上任一點(diǎn) P

9、 作 x 軸、 y 軸的垂線 PM， PN，則所得的矩形 PMON 的面積x;.S=PM ? PN= y ? xxyykxyk , Sk,x二次函數(shù)1、二次函數(shù)的概念：一般地，如果y ax 2bxc(a, b, c是常數(shù)， a0) ，那么 y 叫做 x 的二次函數(shù)。y ax 2bxc(a, b,c是常數(shù)， a0) 叫做二次函數(shù)的一般式。2、二次函數(shù)的圖像：二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于3、二次函數(shù)圖像的畫(huà)法五點(diǎn)法：xb對(duì)稱的曲線，這條曲線叫拋物線。2a（1）先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M ，并用虛線畫(huà)出對(duì)稱軸（2）求拋物線yax 2bxc 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：當(dāng)拋物線與x

10、軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，描出這兩個(gè)交點(diǎn)A,B 及拋物線與點(diǎn)按從左到右的順序連接起來(lái)，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像。當(dāng)拋物線與x 軸只有一個(gè)或無(wú)交點(diǎn)時(shí)，描出拋物線與y 軸的交點(diǎn)次函數(shù)的草圖。如果需要畫(huà)出比較精確的圖像，可再描出一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)4. 求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法y 軸的交點(diǎn)C，再找到點(diǎn)C 的對(duì)稱點(diǎn) D 。將這五個(gè)C 及對(duì)稱點(diǎn) D。由 C、M 、 D 三點(diǎn)可粗略地畫(huà)出二 A 、 B ，然后順次連接五點(diǎn)，畫(huà)出二次函數(shù)的圖像b2b 2b4acb2b（ 1）公式法：y ax24ac，頂點(diǎn)是（bx c a x4a2a，），對(duì)稱軸是直線 x2a4a2a（ 2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析

11、式化為ya x h 2k 的形式，得到頂點(diǎn)為( h , k ) ，對(duì)稱軸是直線xh .（ 3）運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn)。若已知拋物線上兩點(diǎn) ( x1 , y)、(x2 , y) （及 y 值相同），則對(duì)稱軸方程可以表示為：x1 x2x25. 拋物線 y ax 2bx c 中， a,b, c 的作用（ 1） a 決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小當(dāng)a0 時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；當(dāng)a0 時(shí)，拋物線開(kāi)口向下；頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)。a 相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同. a 越大，圖像開(kāi)口越小，a 越小，圖像開(kāi)口越大。 平行于 y 軸（或重合）的直

12、線記作xh . 特別地， y 軸記作直線 x0 .（ 2） b 和 a 共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置. 由于拋物線 yax 2bx c 的對(duì)稱軸是直線xb ， b2a故： b0 時(shí)，對(duì)稱軸為 y 軸；0 （即 a 、 b 同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在y 軸左側(cè)； ba0 （即 a 、 b 異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在 y 軸右側(cè) .a（ 3） c 的大小決定拋物線 y ax 2bxc 與 y 軸交點(diǎn)的位置 . 當(dāng) x 0時(shí)， y c ，拋物線 yax 2bx c 與 y 軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0， c ）： c 0，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn) ; c0 , 與 y軸交于正半軸；c0, 與 y 軸交于負(fù)半軸 .;.以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)

13、論和條件互換時(shí)，仍成立. 如拋物線的對(duì)稱軸在y 軸右側(cè)，則b0 .a6、二次函數(shù)的解析式有三種形式：（1）一般式： y ax 2bx c(a,b, c是常數(shù)， a 0)（2）頂點(diǎn)式：ya( xh) 2k(a, h, k是常數(shù)， a0)（3）交點(diǎn)式：當(dāng)拋物線 y ax 2bxc與 x 軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)二次好方程ax 2bxc 0 有實(shí)根 x1和 x2 存在時(shí) ， 根 據(jù) 二 次 三 項(xiàng) 式 的 分 解 因 式 ax 2bxc a( x x1 )( x x2 ) ， 二 次 函數(shù) yax2bx c 可 轉(zhuǎn) 化 為 兩 根 式y(tǒng) a( x x1 )( x x2 ) 。如果沒(méi)有交點(diǎn)，則不能這樣表示。

14、幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開(kāi)口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)yax 2x0 （ y 軸）（0,0）當(dāng) a 0 時(shí)yax2k開(kāi)口向上0（ y 軸）(0,k )x當(dāng) a 0 時(shí)ya xh 2開(kāi)口向下xh( h ,0)ya xh 2kxh(h,k)yax 2bxcxb(b4acb22a，)ya( xb)24acb22a4a2a4a7、二次函數(shù)的最值如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng) xb時(shí)，y最值4ac b2。2a4a如果自變量的取值范圍是x1xx2 ，那么， 首先要看bx1xx2 內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，是否在自變量取值范圍2a則當(dāng) x=b時(shí)， y最值4a

15、cb 2；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在x1x x2 范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍2a4a內(nèi)， y 隨 x 的增大而增大，則當(dāng)內(nèi)， y 隨 x 的增大而減小，則當(dāng)8、二次函數(shù)的圖象函數(shù)xx2 時(shí)， y最大ax 22bx2c ，當(dāng) xx1 時(shí)， y最小ax12bx1c ；如果在此范圍xx1 時(shí)， y最大ax12bx1c ，當(dāng) xx2 時(shí)， y最小ax22bx2c 。二次函數(shù) yax 2bxc(a, b, c是常數(shù)， a0)圖像a>0a<0;.yy0x0x1（ 1）拋物線開(kāi)口向上，并向上無(wú)限延伸；（ 1）拋物線開(kāi)口向下，并向下無(wú)限延伸；（ 2）對(duì)稱軸是 x=b（ 2）對(duì)稱軸是 x=b

16、，2a2a頂點(diǎn)坐標(biāo)是（b， 4acb2）；頂點(diǎn)坐標(biāo)是（b ， 4acb2）；2a4a2a4a（ 3）在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<b（ 3）在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<b時(shí)， y 隨 x時(shí)， y 隨 x2a2a性質(zhì)的增大而減小；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)?shù)脑龃蠖龃?；在?duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)b時(shí)， y 隨 x 的增大而增大，簡(jiǎn)記左減bx>x>時(shí)， y 隨 x 的增大而減小，簡(jiǎn)記左2a2a右增；增右減；（ 4）拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)x=b（ 4）拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)x=b時(shí)， y 有最小時(shí)， y 有最2a2a值， y最小值4ac b 2大值， y最大值4acb 24a4a9. 拋物線的交點(diǎn)（ 1）

17、 y 軸與拋物線yax2bxc 得交點(diǎn)為 (0,c ).（ 2）拋物線與x 軸的交點(diǎn)：二次函數(shù)yax 2bxc 的圖像與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、 x2 ，是對(duì)應(yīng)一元二次方程 ax 2bxc0 的 兩 個(gè) 實(shí) 數(shù) 根 . 拋 物 線 與 x 軸 的 交點(diǎn) 情 況 可 以 由 對(duì) 應(yīng) 的一 元 二 次 方 程 的 根 的 判 別 式b24ac 判定：有兩個(gè)交點(diǎn)(0 )拋物線與 x 軸相交；有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x 軸上）(0 )拋物線與 x 軸相切；沒(méi)有交點(diǎn)(0 )拋物線與 x 軸相離 .（ 3）平行于x 軸的直線與拋物線的交點(diǎn)同（ 2）一樣可能有0 個(gè)交點(diǎn)、 1 個(gè)交點(diǎn)、 2 個(gè)交點(diǎn) . 當(dāng)有 2 個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k ，則橫坐標(biāo)是 ax 2bxck 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 .（ 4 ） 一 次 函 數(shù) ykxn k0 的 圖 像 l 與 二 次 函 數(shù) yax 2bxc a0 的 圖 像 G 的 交 點(diǎn) ， 由 方 程 組;.ykxn的解的數(shù)目來(lái)確定：方程組有兩組不同的解時(shí)l 與 G 有兩個(gè)交點(diǎn) ; 方程