立體幾何中的向量方法一：平行和垂直(用)

1、3.2.1立體幾何中的向量方法方向向量與法向量lAPa 直線的方向向量直線的向量式方程 換句話說換句話說, ,直線上的非零向量直線上的非零向量叫做叫做直線的直線的方向向量方向向量APta 一、方向向量與法向量2、平面的法向量、平面的法向量Aa lP平面平面 的向量式方程0a AP 換句話說換句話說, ,與平面垂直的與平面垂直的非零向量非零向量叫做平面叫做平面的的法法向量向量整理課件4oxyzABCO1A1B1C1例1. 如圖所示, 正方體的棱長為1直線OA的一個方向向量坐標(biāo)為_平面OABC 的一個法向量坐標(biāo)為_(1)平面AB1C 的一個法向量坐標(biāo)為_(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0

2、)整理課件5整理課件6整理課件7 練習(xí)練習(xí) 如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，側(cè)棱正方形，側(cè)棱PD底面底面ABCD，PD=DC=1 ,E是是PC的中點，的中點， 求平面求平面EDB的一個法向量的一個法向量.ABCDP PE E解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.(0,0,0),(0,0,1),1 1(0, )2 2PE依依題題意意得得D DB B( (1 1, , 1 1，0 0) )1 1(0, )2 2DE DB =(1, 1，DB =(1, 1，0)0)XYZ設(shè)平面設(shè)平面EDB的法向量為的法向量為( , ,1)nx y,

3、 nnDEDB 則1101, 1, 1220ynxy于是整理課件8 因為方向向量與法向量可以確定因為方向向量與法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們可以利直線和平面的位置，所以我們可以利用直線的用直線的方向向量方向向量與平面的與平面的法向量法向量表表示空間直線、平面間的示空間直線、平面間的平行、垂直、平行、垂直、夾角、距離夾角、距離等位置關(guān)系等位置關(guān)系.用向量方法解決立體問題整理課件9二、立體幾何中的向量方法二、立體幾何中的向量方法證明平行與垂直證明平行與垂直整理課件10mlab（一）（一）. 平行關(guān)系：平行關(guān)系：整理課件11au aAC axAByAD 整理課件12v u u整理課件13(

4、1) lm0aba b （二）、垂直關(guān)系：（二）、垂直關(guān)系：lmab整理課件14(2) l /auau lauABC整理課件153 （）0uvu v u v 整理課件16例例1.用向量方法證明用向量方法證明 定理定理 一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行則這兩個平面平行已知已知 直線直線l與與m相交相交, ,lm,lm.求證 l,ma, .bv 證明 取的方向向量取 , 的法向量u,lm ,av bv v u ab,b 又a 不共線 所以v是 的一個法向量于是 v 同時是 、 的一個法向量 .整理課件17 例例2 四棱錐四棱錐P-A

5、BCD中，底面中，底面ABCD是正方是正方形形, PD底面底面ABCD，PD=DC=6, E是是PB的的中點，中點，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求證：求證：AE/FG.ABCDP PG GXYZF FE EA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2), A AE E = =( (- -3 3, ,3 3, ,3 3) ), ,F FG G = =( (- -2 2, ,2 2, ,2 2) )32 A AE E = =F FG GAE/FG 證證 ：如圖所示：如圖所示, , 建立建立空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系. ./ AEFGAEFGAEAE與與FGFG不共

6、線不共線幾何法呢？幾何法呢？整理課件18 例例3 四棱錐四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正是正方形，方形，PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中點，中點， (1)求證：求證：PA/平面平面EDB.ABCDP PE EXYZG解解1 立體立體幾何法幾何法整理課件19ABCDP PE EXYZG解解2：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點D為坐標(biāo)原點，設(shè)為坐標(biāo)原點，設(shè)DC=1(1)證明：連結(jié)證明：連結(jié)AC,AC交交BD于點于點G,連結(jié)連結(jié)EG(1,0,0),(0,0,1),1 1(0, )2 2APE依依題題意意得得G1 11 1( , ，( ,

7、 ，0)0)2 22 211(1,0, 1),( ,0,)22PAEG EGPAEGPA/2，即所以,EGEDBPAEDB而平面且平面EDBPA 平面所以，/整理課件20ABCDP PE EXYZ解解3：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點D為坐標(biāo)原點，設(shè)為坐標(biāo)原點，設(shè)DC=1(1)證明：證明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0, ),2 2APE依依題題意意得得B B( (1 1, , 1 1，0 0) )(1,0, 1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/1 1(0, )2 2DE DB =(1, 1，DB =(1, 1，0)0)設(shè)平面設(shè)平面E

8、DB的法向量為的法向量為( , ,1)nx y, nnDEDB 則1101, 1, 1220ynxy于是0PA nPAn 整理課件21ABCDP PE EXYZ解解4：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點D為坐標(biāo)原點，設(shè)為坐標(biāo)原點，設(shè)DC=1(1)證明：證明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0, ),2 2APE依依題題意意得得B B( (1 1, , 1 1，0 0) )(1,0, 1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/1 1(0, )2 2DE DB =(1, 1，DB =(1, 1，0)0)PAxDEyDB 設(shè)解得解得 x,2PADEDB

9、即PADEDB 于是、 、 共面整理課件22A1xD1B1ADBCC1yzEF是是BB1,1,，CD中點，求證：中點，求證：D1F1111DCBAABCD 例例4 4 正方體正方體中，中，E、F分別分別平面平面ADE. 證明：設(shè)正方體棱長為證明：設(shè)正方體棱長為1， 為單位為單位正交正交 基底，建立如圖所示坐標(biāo)系基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz，1,DADCDD 以以，1(1,0,0)(1,1,)2DADE ，11(0, 1)2D F 00DADE 則則 ， 所以所以1D FADE 平平面面DADE 則則， 整理課件23A1xD1B1ADBCC1yzEF是是BB1,1,，CD中點，求證：中點，求證：D1F1111DCBAABCD 例例4 4 正方體正方體中，中，E、F分別分別平面平面ADE. 證明證明2：整理課件24,E,E是是AA1 1中點，中點，1111DCBAABCD 例例5 5 正方體正方體平面平面C1 1BD. 證明：證明：E求證：求證：平面平面EBD設(shè)正方體棱長為設(shè)正方體棱長為2, 建立如圖所示坐標(biāo)系建立如圖所示坐標(biāo)系平面平面C1BD的一個法向量是的一個法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)(2,0, 1)EB (0,2, 1)ED 設(shè)平面設(shè)平面EBD的一個法向量是的一個法向量是