專題12銳角三角

1、專題12銳角三角比【目標(biāo)導(dǎo)向】1. 結(jié)合圖形理解記憶銳角三角函數(shù)的定義；2. 會推算30 ° 45 ° 60c角的三角函數(shù)值，并熟練準(zhǔn)確的記住特殊角的三角函數(shù)值：【知識點梢講梳理】3. 理解并能熟練運用“同角三角函數(shù)的關(guān)系及“銳角三角函數(shù)值隨角度變化的規(guī)律 要點一.銳角三角函數(shù)的概念如下圖，在RtAABC中，ZC=90 , ZA所對的邊BC記為/叫做ZA的對邊，也叫做ZB的鄰邊，ZB所對的邊AC記為b,叫做ZB的對邊，也是ZA的鄰邊，直角C所對的邊AB記為c,叫做斜邊.銳角A的對邊即 siosAA =乙4的鄰邊_ b斜邊cZA的對邊斜邊銳角A即can同鄰邊sin B =Z別

2、勺cosB =對邊ZB的鄰邊A =aZ別勺對邊Z別勺鄰邊rb=:1*11caZB的鄰邊_ aZB的對邊一廠要點詮釋：tan B =4由銳角三角函數(shù)的泄義知：當(dāng)角度在0° <ZAv90。間變化時，0<sm蟲<1, 0<COsj4<1. tanA>0 cotA>0.要點二.特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的左義，可求出 30° . 45、° 60°角的各三角函數(shù)值，歸納如下:銳角此sm OLcos atan 4cot a?30 °12苗2苗3亦45 °忑2忑21160 °苗212擊3要點詮

3、釋:那么銳角=45 :1通過該表可以方便地知道 30。、45°、60。角的各三角函數(shù)值， 它的另一個應(yīng)用就是：如果知道了一個銳角的三角函數(shù)值，就可以求出這個銳角的度數(shù)，例如：假設(shè)sin八=的值sin 30 x sin 45 > °依次而 cos 30A cos4 亍、cos60"的值的呼、冬2仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會發(fā)現(xiàn):順序正好相反，tan30 °.tan45 °an60的值依次增大，其變化規(guī)律可以總結(jié)為: 正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大或減小而增大或減小 余弦、余切值隨銳角度數(shù)的增大或減小而減小或增大要點三、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系如下圖

4、，在 RtAABC中，ZC二90°?互余關(guān)系：sin24二 cos9QS4= cos5 , cosA= sir=sih5: °tanA=cot 90 c -ZA =cotB , tanB=cot 90 -ZB=cot°.2平方關(guān)系：sin2 ai+cos2 a = 1.倒數(shù)關(guān)系：畫蟲伽9-0 = 1或_而:4 商的關(guān)系：tanA = "M,cotA = gcos Asin A要點詮釋：銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可由銳角三角函數(shù)的意義推導(dǎo)得出，常應(yīng)用在三角函數(shù)的汁算中，計算時巧用這些關(guān)系式可使運算簡便.【精講例題】A, B. C都往格點上，貯 ABC的正由勾

5、股定理，得AC=V2, AB=2 血 BC=VT Q.? ABC為直角三角形，AB 2應(yīng)選：D.【總結(jié)升華】此題考查了銳角三角函數(shù)的宦義，先求出AC、AB的長.再求正切函數(shù)舉一反三八【變式】在RtAABC中，NC?90°假設(shè)圧3, b二4,那么c二sinA,cosA-,sinB - , cosB ? 類型一、銳角三角函數(shù)值的求 解策略欽安順如圖，在網(wǎng)格中，小正方喚長均林點切值是2可得答案.根據(jù)勾股趙理，可得 AC、AB的長，根據(jù)正切函數(shù)的 立義，【解析】解：如圖:cosA,sinB = cosB 5?5特殊角的三角函數(shù)值求以下各式的值茂名校級一模樂陵市模擬血COS2602cos45

6、+ta n606taxr30 ° - VA>ni60 0 - 2sm45 :11160。- 4cos2300+sm45 °tan60° ；寶山區(qū)一?；セ蜇?+cot30 。 2 -【答案與解析】解：1原式丄屈2原式=V5<a-4 X 衛(wèi)盛忑2 2 2出-3+魚3原式V3 2=V6 7:皿皿苗D 島-血=3八3 - 2V3+2V2 =73+2八2-【總結(jié)升華】 熟記特殊角的三角函數(shù)值或借助兩個三角板推算三角函數(shù)值，先代入待殊角的三角函數(shù)值，再進行化簡.舉一反三:【變式】ARtzABC 中，NC?90°假設(shè) ZA=45，貝 9NBsinAcosA

7、,sinB-cosB"c- A V2鼻血 H J)nB45 sinA" » cosA .sinB" 7oodMmk類型三、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系0八3?河北模擬 ABC中的ZA與ZB滿足1 -tanA 2+|smB -(1) 試判斷AABC的形狀.(2) 求(1+suiA) 2 - 2VcosB -(3+ta nC) °的值.【答案與解析】解：(1) Vil -taiiA) ?+|smB-溝=0,ZA=45 °,ZB=60 , ZC=180 -°45 ° - 60 °? ABC是銳角三角形；(2) V Z

8、A=45 ZB=60 ZC=180- 45 -°0°?原式=(1+2/2 )2.2.S- 1_12【總結(jié)升華】 此題考査的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角度的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵 型四、銳角三角函數(shù)的拓展探究與應(yīng)用WF 4如下圖，AB是00的直徑，且AB=10, CD是00的弦，AD與BC相交于點P,假設(shè)弦CD=6,試求cosZAPC的值.【答案與解析】連結(jié)AC,? ? AB是00的直徑，?ZACP=90 °,又 V ZB= ZD, ZPAB= ZPCD,?APCD八APAB,PC CDPA AB又 T CD=6, AB=10>CD 6cosPA?在

9、 RtAPAC 中,【總結(jié)升華】 直角三角形中，銳角的三角函數(shù)等于兩邊的比值，當(dāng)這個比值無法直接求解，可結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，利用對 應(yīng)線段成比例轉(zhuǎn)換，間接地求出這個比值.銳角的三角函數(shù)是針對直角三角形而言的，PC啟可連結(jié)AC,III AB是00的直徑得ZACB=90，cosZAPC =，PC、PA 均為未知，而 CD=6,PApc CDAB=10,可考慮利用 PCDsAPAB得= ？PA AB5通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確泄，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化.類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系.我們左義:等腰三角形中底邊與腰的

10、比叫做頂角的正對(sad) ?如圖1,AABC中,AB=AC頂角A的正對記作sadA,這時sad A =舊?容易知道個角的大你這個角的正對值也是相互唯確泄的.根據(jù)上述角的正對左義，解以下問題: sad60 °?_(2) 對于OVA<180 ° , ZA的正對值sadA的取值范圍是 如圖1，sinA=，其中ZA為銳角，試求sadA的值.5【答案與解析】1;(2)0<sadA<2 :如圖2所示，延長AC到D,使AD=AB,連接BD.DZ* O設(shè) AD=AB=5a?山 sin A =二一得 BC = 3a,AB 5?AC 二屆產(chǎn)(3d)亍=4a ,CD=5a-4

11、a=a, BD = yja2 +(3a)2 = >/0aA sadA = 75 = 2f-【總結(jié)升華】 將60°角放在等腰三角形中，底邊和應(yīng)相等，故sadA = l:在圖中設(shè)想AB=AC的長 固左，并固泄AB讓AC繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)ZA接近0°時，BC接近0,那么sadA接近0但永遠(yuǎn)不會等 于0,故sadA>0, 當(dāng)ZA接近180°時，BC接近2AB.那么sadA接近2但小于2.故sadA<2: 3將ZA放到等腰三角形中，如圖2所示，根據(jù)左義可求解.C c.SZiBBC=90% AD丄BC于點D,那么以下結(jié)論不正確的選項是A? sinB=/廠B. s

12、inB=aD那么【精練穩(wěn)固】.選擇題 <ZA<30 B.55 °B. 30 °<ZA<45 °1.3.樂山5如圖，徑為AAB的中a經(jīng)過0, 5<Z和點°0 0, 0, B是y軸右側(cè)OA優(yōu)弧上一點，那么Z0BC的余 銳角a滿足sin25 ° =cosa那么a =A. 25 °4.弦值為如下圖，,AB=4,第5題AC=2,那么sinB的值是D.第4題5. 如圖，在 AABC 中，ZA=120 °6. 在 RtAABC 中，ZC=90 °A.擴大2倍；假設(shè)將/C.各邊長飆那么邊題BC7的長為

13、圖所示C.105/3cm D.(I)cos50 11?在ZXABC中，假設(shè)2OS (2) tanIStan21臨夏州如圖，點A貝lj t的值是8. 如下圖.在RtAABC中，ZACB=90°, CD丄AB,垂足為D,假設(shè)AC= JL BC=2?貝ij sinZACD的值為二.填空題9./O3, t在第一象限，0A與x軸所夾的銳角為a,10.用不等號連接下而的式子.sin A=0, ZA. ZB都是12?如下圖，AABC的頂點都在方格紙的格點上，貝UsinA=13?：正方形 ABCD的邊長為2,點P是直線CD上一點，假設(shè)DP=h那么tanZBPC的值是14.如果方程F 4X + 3 =

14、 0的兩個根分別是RtAABC的兩條邊，AABC的最小角為A,那么snA的值為y = -x-,貝U tanA 的值是 216. 假設(shè)u為銳角，且二丄二空，那么m的取值范用是2三、解答題17.如下圖，AABC中，D為AB的中點，DC丄AC且ZBCD=30°求ZCDA的正弦值.余弦值、正切值和余切值18?計算以下各式的值(1)(1 竹二 M ?儀)Asin 30 " V2cos45 +、/A tan60 ；(2)(常州模擬)V2sin45 0 +tan45 -°cos60(奉賢 區(qū)一2s in 30o19?如下圖，在矩形aBCDT中0 E是BC邊上的點，AE=BC&g

15、t; DF丄AE,垂足為F,連接DE.D(1)求證：AB=DF：假設(shè) AD = 10, AB=6,求 tanZEDF 的值.20.如下圖，。0的半徑為2,弦BC的長為2折，點A為弦BC所對優(yōu)弧上任意一點(B、C兩點除外)?求ZBAC的度數(shù):(參考sin60丄一數(shù)據(jù):(2)求AABC而積的最大值COS30T*tan 300 =, cot 30 = >/3 )【精練答案與解析】一、選擇題1.【答案】C.解析】在RCABC中，ZBA5,逓畚sinBA AbVAD 丄 BC,sinB=sin Z DAC=,AC綜上，只有C不正確應(yīng)選：C.2.【答案】B：【解析】：cos45° =-,c

16、os30 ° =-?11-./. cos45 ° <cosA<cos30 ° .22242又? ?在銳角的范幣內(nèi)余弦值大的角反而較小.? 30° vZA<45故應(yīng)選B.3. 【答案】C：【解析】由互余角的三角函數(shù)關(guān)系，cosa = sin(90 -a), A sin25 ° -sin(90 -u), 即 90° -a =25° , ?a =65 °4. 【答案】C：【解析】設(shè)OA交x軸于列一點D,連接CD根據(jù)可以得到0C = 5, CD=10,OD = V102-52 =5>/3 , T Z

17、0BC=Z0DC,? ? cos ZBOC= cos ZODC=絲=也 =週.C°|BCD 1025. 【答案】D：【解析】如下圖，過點 C作CD丄AB于D, V ZBAC = 120°, :. ZCAD = 60又 I AC=2, ?AD=1, CD=>/3 ,?BD=BA-AD=5,在RtABCD 中，BCUBD'+CD，=殛=2- '工142<7BC6. 【答案】D：【解析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的 左義，銳角三角函數(shù)值等于相應(yīng)邊的比，與邊的長度無關(guān)，而只與邊的比值或角的大小有關(guān).7. 【答案】C：心級每3。AB = JAC'+BC1=3

18、, ?sin ZACD= sin ZB =【解析】&【答案】A：二、填空題9.?又tana=*【答案】真2【解析】過點A作AB丄x軸于B,?點A (3, t)在第一象限，/. AB=t? 0B=3,OB"Ta.9* 故答案為:號2【答案】(1)V ；(2)V :【解析】當(dāng)為銳角時，其余弦值隨角度的增大而減小，所以cos50° <cos20 °當(dāng)“為銳角時，其正切值隨角度的增大而增大，所以 tanl8 °Vtan21 °11?si*孚0,【答案】105 °【解析】1sinA-A+cos 322又？T'COSB =

19、0ZA. ZB 均為銳角，？?？ZA=45 , ZB=30 ,在 ZXABC 中，ZA+ZB+ZC=18O , A ZC=105 ?12.【答案】一:5【解析】假設(shè)每一個小正方形的邊長為1,利用網(wǎng)格，從C點向AB所在直線作垂線CH.垂足為H,那么ZA在宜角AACH中，利用勾股宦理得 AC = J7匚去=2亦，？ ？ sinA = = -4=.AC 2x/55213?【答案】2或土3【解析】此題為無圖題，應(yīng)根據(jù)題意畫出圖形，如下圖，由于點 P是宜線CD上一點，所以點P既可以 在邊CD上，也可以在 CD的延長線上，當(dāng)P在邊CD上時，tan ABPC = 一 =2:當(dāng)P任CD延長線上時，tanZBP

20、C =- =一?PCPC314-【答案丐哼【解析】IIF_4x+3 = 0得西=1,勺=3,當(dāng)3為宜角邊時，最小角A的正切值為tanA = |;5斜邊時，另-直角邊為.？.最小角A的正切值為心=越 =拿故應(yīng)填丄或匹.3415.【答案】-:3【解析】由ZkABC的內(nèi)心在y軸上可知0B是ZABC的角平分線，那么Z0BA=45 ,易求AB與x軸的交點為(-2,0),所以直線AB的解析武為4 y = x+29聯(lián)立心2可求八點的坐標(biāo)為f -4) , L 2?AB = yjADPD1 = 6 JI,又 0C = OB = 2,廣 9 /T*/. BC= 2>/2 ? /f. Rt AABC llJ?

21、tan A 二=AB 6x/2【解析】TOVcos 】VI,.? .0<VI,2解得-£ <* £33三、解答題17.【答案與解析】過D作DE AC交BC于點E?V AD=BD, ?CE=EB,/. AC=2DE?又 I DC 丄 AC, DE/AC,?DC 丄 DE.即卩 ZCDE=90° ?又？ ？ ZBCD=3O , ?EC=2DE, DC=JJDE設(shè) DE=k,那么 CD= y/3k > AC=2k?在 RtAACD 中，AD = J AC? + CD=>.sin ZCDA =AD尿7=，cos ZCDACDAD=1/7k =Artan ZCDA = = 5八=.cotACDACD 頁 k318?【答案與解析】=1+3八2 ?原式Sx返<-2x32 2=1+1 - 12X-1=1.2 224'19. 【答案與解析】(1)證明：？ ？四邊形ABCD是矩形，?AD BC, AD=BC?ZDAF=ZAEB又 T AE=BC,?AE=AD又? ZB-ZDFA=90 , ?AEABAAADF.?AB=DF?(2)解：在 RtAABE 中，BE = AAE2-AB2 =>/10 2-62 =8V aeabaaadf>?DF=AB=6, AF=EB=8,? EF=AE-A