1.2多元函數(shù)基本概念ppt課件

1、第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念預(yù)備知識預(yù)備知識多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) function of many variables一、預(yù)備知識一、預(yù)備知識1. 平面點集平面點集 n 維空間維空間一元函數(shù)一元函數(shù)1R平面點集平面點集2R n 維空間維空間nR實數(shù)組實數(shù)組(x, y)的全體的全體,即即,),( 2RyxyxRRR 建立了坐標(biāo)系的平面稱為坐標(biāo)面建立了坐標(biāo)系的平面稱為坐標(biāo)面.坐標(biāo)面坐標(biāo)面坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)P的點的集合的點的集合,稱為稱為平面點集平面點集

2、, 記作記作.),(),( PyxyxE具有性質(zhì)具有性質(zhì) (1) 平面點集平面點集 二元有序二元有序多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 鄰域鄰域 (Neighborhood) 設(shè)P0(x0, y0)是 xOy 平面上的一個點,幾何表示：幾何表示：Oxy. P0)()(),( ),(20200 yyxxyxPU,0鄰域鄰域的的點點 P多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 令令, 0 ).(0PU有時簡記為有時簡記為2R稱之為稱之為 將鄰域去掉中心將鄰域去掉中心,注注稱之為稱之為去心鄰域去心鄰域.),(0 PU (1) 內(nèi)點內(nèi)點顯然顯然, E的內(nèi)點屬于的內(nèi)點屬于E.,EP 點點,)(EPU 使使

3、多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 E (2) 外點外點 如果存在點如果存在點P的某個鄰域的某個鄰域),(PU則稱則稱P為為E的的外點外點.(3) 邊界點邊界點 如點P的任一鄰域內(nèi)既有屬于E的點,也有不屬于也有不屬于E的點的點,稱稱P為為E的邊界點的邊界點.任意一點任意一點2RP 2RE 與任意一點集與任意一點集之間之間必有以下三種關(guān)系中的一種必有以下三種關(guān)系中的一種:設(shè)設(shè)E為一平面點集為一平面點集, 0 若存在若存在稱稱P為為E的的內(nèi)點內(nèi)點.1P )(1P)(2P2P 3P )(3PE的邊界點的全體稱為的邊界點的全體稱為E的的邊境邊境,記作記作.E 使使U(P) E = ,聚點聚點多元函數(shù)

4、的基本概念多元函數(shù)的基本概念 如果對于任意給定的如果對于任意給定的, 0 點點P的去心鄰域的去心鄰域),( PU內(nèi)總有內(nèi)總有E中的點中的點則稱則稱P是是E的的聚點聚點.例如例如, 設(shè)點集設(shè)點集(P本身可屬于本身可屬于E,也可不也可不屬于屬于E ),21),( 22 yxyxE,),(200RyxP 點點, 212020 yx若若則則P為為E的內(nèi)點的內(nèi)點;12020 yx若若, 22020 yx或或則則P為為E的邊界點的邊界點,也是也是E的聚點的聚點.E的邊界的邊界E 為集合為集合.2),( 1),( 2222 yxyxyxyx平面區(qū)域平面區(qū)域設(shè)設(shè)D是開集是開集. 連通的開集稱區(qū)域多元函數(shù)的基本

5、概念多元函數(shù)的基本概念 連通的連通的.如對如對D內(nèi)任何兩點內(nèi)任何兩點,都可用折線連都可用折線連且該折線上的點都屬于且該折線上的點都屬于D,稱開集稱開集D是是 或開區(qū)域或開區(qū)域.如如都是區(qū)域都是區(qū)域.,41),( 22 yxyx0),( yxyx 開集開集若若E的任意一點都是內(nèi)點的任意一點都是內(nèi)點,例例41),( 221 yxyxE稱稱E為開集為開集.E1為開集為開集.0 yx0 yxOxy結(jié)起來結(jié)起來, 開區(qū)域連同其邊界開區(qū)域連同其邊界,稱為稱為有界區(qū)域有界區(qū)域否則稱為否則稱為多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 都是閉區(qū)域都是閉區(qū)域 .,41),( 22 yxyx0),( yxyx如如總可以

6、被包圍在一個以原點為中心、總可以被包圍在一個以原點為中心、適當(dāng)大的圓內(nèi)的區(qū)域適當(dāng)大的圓內(nèi)的區(qū)域, 稱此區(qū)域為稱此區(qū)域為半徑半徑 (可伸展到無限遠(yuǎn)處的區(qū)域可伸展到無限遠(yuǎn)處的區(qū)域 ).閉區(qū)域閉區(qū)域.有界區(qū)域有界區(qū)域.無界區(qū)域無界區(qū)域OxyOxyOxy Oxy有界開區(qū)域有界開區(qū)域有界半開半閉區(qū)域有界半開半閉區(qū)域有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域無界閉區(qū)域無界閉區(qū)域多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 n 元有序數(shù)組元有序數(shù)組),(21nxxx),(21nxxx的全體的全體;nR n n 維空間中的每一個元素維空間中的每一個元素稱為空間中稱為空間中 kx數(shù)數(shù)稱為該點的第稱為該點的第k k個坐標(biāo)個坐標(biāo). .n維空間中

7、兩點維空間中兩點),(21nxxxP的距離定義為的距離定義為2222211)()()(nnyxyxyxPQ n 維空間中點維空間中點0P記作記作及及),(21nyyyQ.,),(00nRPPPPPU 的的鄰域為鄰域為(2) n 維空間維空間多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 n 維空間維空間.稱為稱為即即., 2 , 1,),( 21 iRxxxxin的一個點的一個點, , RRRRn二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念1. 二元函數(shù)的定義二元函數(shù)的定義例例 理想氣體的狀態(tài)方程是理想氣體的狀態(tài)方程是 VTRp 稱稱 p為兩個變量為兩個變量T,V 的函數(shù)的函數(shù),其中其中(1) 定義定義 如溫度

8、如溫度T、體積、體積V都在變化都在變化, 則壓強(qiáng)則壓強(qiáng) p依賴依賴多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 (R為常數(shù)為常數(shù))RTpV 其中其中p為壓強(qiáng)為壓強(qiáng),V為體積為體積, T為溫度為溫度.于于T,V 的關(guān)系是的關(guān)系是,0 T.0 V按著這個關(guān)系有確定的按著這個關(guān)系有確定的點集點集D稱為該函數(shù)稱為該函數(shù)),(yxfz ) )(Pfz 或或稱為該函數(shù)的稱為該函數(shù)的 Dyxyxfzz ),(),(則稱則稱z是是x, y的的定義定義1 1若變量若變量z與與D中的變量中的變量x, y之間有一個依賴關(guān)系之間有一個依賴關(guān)系,設(shè)設(shè)D是是xOy平面上的點集平面上的點集,使得在使得在D內(nèi)內(nèi)每取定一個點每取定一個

9、點P(x, y)時時,z值與之對應(yīng)值與之對應(yīng),多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 記為記為稱稱x, y為為的的數(shù)集數(shù)集二元二元( (點點) )函數(shù)函數(shù). .稱稱z為為自變量自變量, ,因變量因變量, ,定義域定義域, ,值域值域. .二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為(2) 多元函數(shù)定義域多元函數(shù)定義域定義域為符合實際意義的定義域為符合實際意義的自變量取值的全體自變量取值的全體.記為記為 函數(shù) 在點 處的函數(shù)值),(yxfz ),(00yxP),(00yxf多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 ).(0Pf或或類似類似, 可定義可定義n元函數(shù)元函數(shù).多元函數(shù)多元函數(shù). .實

10、際問題中的函數(shù)實際問題中的函數(shù):自變量取值的全體自變量取值的全體.純數(shù)學(xué)問題的函數(shù)純數(shù)學(xué)問題的函數(shù): 定義域為使運算有意義的定義域為使運算有意義的例例 求下面函數(shù)的定義域求下面函數(shù)的定義域解解Oxy無界閉區(qū)域無界閉區(qū)域xyz . 1和和 00yx 00yx多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 即定義域為即定義域為, 0 xy 1解解Oxy12. 22222 yxyxxz1)1(22 yx定義域是定義域是122 yx且且有界半開半閉區(qū)域有界半開半閉區(qū)域多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 2. 二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)的幾何意義 研究單值函數(shù)研究單值函數(shù)二元函數(shù)的圖形通常是一張二元函數(shù)的圖形通

11、常是一張多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 曲面曲面.),(yxfz DxyzOM xyP222yxRz 的圖形是雙曲拋物面的圖形是雙曲拋物面.多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 如如, , 由空間解析幾何知由空間解析幾何知, 函數(shù)函數(shù)的圖形是以原點為中心的圖形是以原點為中心, R為半徑的上半球面為半徑的上半球面.又如又如, ,xyz 最后指出最后指出,從一元函數(shù)到二元函數(shù)從一元函數(shù)到二元函數(shù),在內(nèi)容在內(nèi)容和方法上都會出現(xiàn)一些實質(zhì)性的差別和方法上都會出現(xiàn)一些實質(zhì)性的差別, 而多元而多元函數(shù)之間差異不大函數(shù)之間差異不大.因此研究多元函數(shù)時因此研究多元函數(shù)時, 將以將以二元函數(shù)為主二元函數(shù)為主

12、.17 的圖形是雙曲拋物面的圖形是雙曲拋物面(馬鞍面馬鞍面).xyz xyzO它在它在xOy平面上的投影是全平面平面上的投影是全平面.三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限 討論二元函數(shù)討論二元函數(shù) 怎樣描述呢怎樣描述呢? Oxy (1) P(x, y)趨向于趨向于P0(x0, y0)的的),(yxfz .),(),(000時時的的極極限限即即yxPyxP回憶回憶: 一元函數(shù)的極限一元函數(shù)的極限 路徑又是多種多樣的路徑又是多種多樣的.注注,00yyxx當(dāng)當(dāng)多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 方向有任意多個方向有任意多個, ),(00yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(y

13、x ),(00yx),(yx),(yx),(yxOxy(2) 變點變點P(x,y) 這樣這樣,可以在一元函數(shù)的基礎(chǔ)上得出可以在一元函數(shù)的基礎(chǔ)上得出二元函數(shù)極限的一般定義二元函數(shù)極限的一般定義. 2020)()(yyxx ),(),(000yxPyxP 0 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 0PP總可以用總可以用來表示極限過程來表示極限過程:與定點與定點P0(x0,y0)之間的距離記為之間的距離記為不論不論的過程多復(fù)雜的過程多復(fù)雜,),(),(00yxPyxP趨向于趨向于, 0 ,)()(02020 yyxx當(dāng)當(dāng), 0 ),(yxfzA 為為則則稱稱Ayxfyxyx ),(lim),(),(

14、00記作記作)0(),( Ayxf或或多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 )( 定義定義2 2有有成立成立.的極限的極限.時時當(dāng)當(dāng)),(),(00yxyx 設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù) P0(x0, y0)是是D的聚的聚點點. 的定義的定義 ),()(yxfPf 義域為義域為D, 如果存在常數(shù)如果存在常數(shù) A, AyxfAPf),()(APfPP )(lim0也記作也記作).()(0PPAPf或或 說明說明(1) 定義中定義中0PP (2) 二元函數(shù)的極限也叫二元函數(shù)的極限也叫),(lim00yxfyyxx多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 (double limit)的方式是任意的；的方式是任意

15、的；二重極限二重極限.例例2 2 求證求證 證證01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 當(dāng)當(dāng) 時，時， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原結(jié)論成立原結(jié)論成立 相同點相同點 多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限的多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限的一元函數(shù)在某點的極限存在的充要一元函數(shù)在某點的極限存在的充要定義相同定義相同.差異為差異為必需是點必需是點P在定義域內(nèi)以任何方式和途徑趨在定義域內(nèi)以任何方式和途徑趨而多元函數(shù)而多元函數(shù)于于P0時時,多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 相同點和差異是什么相

16、同點和差異是什么條件是左右極限都存在且相等條件是左右極限都存在且相等;都有極限都有極限,且相等且相等.)(Pf確定極限確定極限 關(guān)于二元函數(shù)的極限概念可相應(yīng)地推廣關(guān)于二元函數(shù)的極限概念可相應(yīng)地推廣到到n元函數(shù)上去元函數(shù)上去.多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 不存在不存在的方法的方法則可斷言極限不存在則可斷言極限不存在;),(yxP令令若極限值與若極限值與 k 有關(guān)有關(guān),(1)(2)此時也可斷言此時也可斷言找兩種不同趨近方式找兩種不同趨近方式,但兩者不相等但兩者不相等,),(lim00yxfyyxx使使處極限不存在處極限不存在.存在存在,在點在點),(yxf),(000yxPkxy ),(0

17、00yxP趨趨向向于于沿直線沿直線當(dāng)當(dāng)P(x, y) 沿直線沿直線 y = kx 的方向的方向2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化的不同而變化.所以所以,極限不存在極限不存在多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 證明：證明：無限接近點無限接近點(0,0)時時,設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證明證明: 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf函數(shù)的極限不存在函數(shù)的極限不存在.,0, 0時時當(dāng)當(dāng)yx極限極限 是否存在？是否存在？24200limyxyxyx 取取,kxy 解解242yxyx ),(lim0yxfkxyx當(dāng)當(dāng)P(x,y)沿沿x

18、軸的方向無限接近點軸的方向無限接近點(0,0)時時, 當(dāng)當(dāng)P(x,y)沿沿y軸的方向無限接近點軸的方向無限接近點(0,0)時時,)0 ,(lim0 xfx0 222243kxkxxkxkx ), 0(lim0yfy0 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 0lim220 kxkxkxyx多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 極限不存在極限不存在.取取,2xy 242yxyx 444xxx極限極限 是否存在？是否存在？24200limyxyxyx 21多元函數(shù)的極限的基本問題有三類多元函數(shù)的極限的基本問題有三類(1) 研究二元函數(shù)極限的存在性研究二元函數(shù)極限的存在性.常研究常研究若其依賴于若其依

19、賴于k,那那么么欲證明極限存在欲證明極限存在,*特別對于特別對于*),(lim00yxfyx),(lim00yxfyx不存在不存在.多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 常用定義或夾逼定理常用定義或夾逼定理.欲證明極限不存在欲證明極限不存在(通過觀察、猜測通過觀察、猜測),常選擇兩條不同路徑常選擇兩條不同路徑, 求出不同的極限值求出不同的極限值.(2) 求極限值求極限值. 常按一元函數(shù)極限的求法求之常按一元函數(shù)極限的求法求之.(3) 研究二重極限與累次極限研究二重極限與累次極限(二次極限二次極限)間的關(guān)系間的關(guān)系.(羅必達(dá)法則除外羅必達(dá)法則除外),(limyxf0 x0 kxy29例例 求極求

20、極限限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解 22200)sin(limyxyxyx其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim01 222yxyx 0 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxxyyx22 )sin(lim200yxyx22yx yx2yx22| x yxu2 0 00用夾逼定理用夾逼定理. .所以所以30).sin(1sin1sin1lim2233)0,0(),(yxyxxyyx 求求解解,)0 , 0(),(時時因因為為yx.)sin(2222yxyx所所以以故故原式原式 =)(1sin1sin1lim2233)0,0(),(yxyxx

21、yyx )(1sin1sinlimlim2233)0 , 0(),()0 , 0(),(yxyxxyyxyx .000 , 022yx31求極限求極限 .42lim00 xyxyyx解解 將分母有理化將分母有理化, , 得得 42lim00 xyxyyxxyxyxyyx )42(lim00)42(lim00 xyyx. 4 四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性 設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù) 則稱函數(shù)則稱函數(shù)定義定義3 3),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 P0(x0, y0)為為D的聚點的聚點, 且且 P0D.假設(shè)假設(shè)連續(xù)連續(xù).),()

22、,(000yxPyxf在點在點如果函數(shù)如果函數(shù) f (x, y) 在開區(qū)域在開區(qū)域(閉區(qū)域閉區(qū)域)D內(nèi)的內(nèi)的每一點連續(xù)每一點連續(xù), 則稱函數(shù)則稱函數(shù)在在D內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù),),(yxf或稱函數(shù)或稱函數(shù)),(yxf是是 D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)內(nèi)的連續(xù)函數(shù). 的定義域為的定義域為D, ),()(yxfPf 的不連續(xù)點的不連續(xù)點,多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 若函數(shù)若函數(shù) 在點在點 P0(x0, y0)不連不連續(xù)續(xù),稱稱P0為函數(shù)為函數(shù) 間斷點間斷點.若在若在D內(nèi)某些孤立點內(nèi)某些孤立點,沒有定義沒有定義,或沿或沿D內(nèi)某些曲線內(nèi)某些曲線,但在但在D內(nèi)其余部分內(nèi)其余部分,),(yxf都有定義都有定義, 則在

23、這些孤立點或這些曲線則在這些孤立點或這些曲線上上,即間斷點即間斷點.函數(shù)函數(shù)),(yxf都是函數(shù)都是函數(shù)),(yxf),(yxf那那么么的的),(yxf在單位圓在單位圓122 yx處處是間斷點處處是間斷點.2211sin),(yxyxf 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 函數(shù)函數(shù) (0,0)點是該函數(shù)的間斷點點是該函數(shù)的間斷點. 函數(shù)函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf),0, 0(前前面面已已證證函函數(shù)數(shù)的的極極限限不不存存在在時時yx稱為多元初等函數(shù)稱為多元初等函數(shù),多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 積、商分母不為零及復(fù)合仍是連續(xù)的積、商分母不為零及復(fù)合仍是連

24、續(xù)的.同一元函數(shù)一樣同一元函數(shù)一樣, 多元函數(shù)的和、差、多元函數(shù)的和、差、每個自變量的基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則每個自變量的基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算和有限次復(fù)合運算和有限次復(fù)合,由一個式子表達(dá)的函數(shù)由一個式子表達(dá)的函數(shù)處均連續(xù)處均連續(xù).在它們的定義域的內(nèi)點在它們的定義域的內(nèi)點有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數(shù)的性質(zhì)有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數(shù)的性質(zhì)至少取得它的最大值和最小值各一次至少取得它的最大值和最小值各一次介于這兩值之間的任何值至少一次介于這兩值之間的任何值至少一次(1) 最大值和最小值定理最大值和最小值定理(2) 介值定理介值定理多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D

25、D上的多元連續(xù)函數(shù)上的多元連續(xù)函數(shù), ,在在D D上上在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)上的多元連續(xù)函數(shù), , 假設(shè)假設(shè)在在D D上取得兩個不同的函數(shù)值上取得兩個不同的函數(shù)值, ,則它在則它在D D上取得上取得提示提示2222),(yxyxyxf ),(lim00yxfyyxx解解22220limyxyxy 0limx122 xx多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 是否把極限是否把極限理解為理解為:先求先求0 xx 的極限的極限,再求再求0yy 的極限的極限;或者或者先求先求0yy 的極限的極限, 再求再求0 xx 的極限的極限研究研究二次極限二次極限對對任任意意的的)1(有有1 有有 22220limyxyxy, 0 x (2) 同理同理: (3)再來分析當(dāng)點(x, y)沿過原點的直線 因而因而 1limlim222200 yxyxxy222200limyxyxyx 2222220limxkxxkxkxy 2211kk ),(lim00yxfyx不存在不存在.多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 對任意的對任意的有有2222),(yxyxyxf 趨向于趨向于kxy , 0 y有有)0 , 0(時時,可證明當(dāng)可證明當(dāng) f( x, y)在在P0(x0,