初中數(shù)學(xué)初三上冊圓周角定理及其運

1、24.1.4 24.1.4 圓周角圓周角 復(fù)習(xí)舊知：請說說我們是如何給復(fù)習(xí)舊知：請說說我們是如何給圓心角下定義的，試回答？圓心角下定義的，試回答？頂點在圓心的角叫圓心角。頂點在圓心的角叫圓心角。能仿照圓心角的定義，能仿照圓心角的定義， 給下圖中象給下圖中象ACB ACB 這樣的角下個定義嗎？這樣的角下個定義嗎？頂點頂點在在圓圓上，并且上，并且兩邊兩邊都和都和圓相交圓相交的角叫做的角叫做圓周角圓周角 問題探討：問題探討：判斷下列圖形中所畫的判斷下列圖形中所畫的PP是否為圓周角？并說明理由。是否為圓周角？并說明理由。PPPP不是不是是是不是不是不是不是頂點不頂點不在圓上。在圓上。頂點在圓上，頂點在

2、圓上，兩邊和圓相兩邊和圓相交。交。兩邊不和兩邊不和圓相交。圓相交。有一邊和圓有一邊和圓不相交。不相交。ABCO有沒有圓周角？有沒有圓周角？有沒有圓心角？有沒有圓心角？它們有什么共同的特點？它們有什么共同的特點？它們都對著它們都對著同一條弧同一條弧 當(dāng)球員在當(dāng)球員在B,D,EB,D,E處射門時處射門時, ,他所處的位置對球門他所處的位置對球門ACAC分別形成三個張角分別形成三個張角ABC, ABC, ADC,AEC.ADC,AEC.這三個角這三個角的大小有什么關(guān)系的大小有什么關(guān)系?.?.BACDEE EO OB BD DC CA A你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？AC所對的圓周角所對的圓周角

3、 AEC ABC ADC的大小的大小有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？實踐活動實踐活動 畫畫一個圓一個圓, ,再任意畫一個圓周角再任意畫一個圓周角, ,看一下圓心在什么位置看一下圓心在什么位置? ?圓心在一邊上圓心在一邊上圓心在角內(nèi)圓心在角內(nèi)圓心在角外圓心在角外 如圖如圖, ,觀察圓周角觀察圓周角ABCABC與圓心角與圓心角AOC,AOC,它們的大它們的大小有什么關(guān)系小有什么關(guān)系? ?OABCOABCOABC圓周角圓周角和和圓心角圓心角的關(guān)系的關(guān)系 1 1. .首先考慮第一種情況：首先考慮第一種情況： 當(dāng)當(dāng)圓心圓心O O在在圓周角圓周角(ABC)(ABC)的一邊的一邊(BC)(BC)上時上時, ,圓周角

4、圓周角ABCABC與圓心角與圓心角AOCAOC的大小關(guān)系的大小關(guān)系. .nAOCAOC是是ABOABO的外角，的外角，nAOC=B+A.AOC=B+A.nOA=OBOA=OB，OABCnA=B.A=B.AOC=2B.AOC=2B.即即 ABC = AOC.ABC = AOC.21你能寫出這個命題嗎你能寫出這個命題嗎? ?同弧所對的同弧所對的圓周角圓周角等于它所對等于它所對的的圓心角的一半圓心角的一半. .期望期望: :你你可要理解可要理解并掌握這并掌握這個模型個模型. . 第二種情況：第二種情況：如果圓心不在圓周角的如果圓心不在圓周角的一邊上一邊上, ,結(jié)果會怎樣結(jié)果會怎樣? ? 2.2.當(dāng)當(dāng)

5、圓心圓心O O在圓周角在圓周角(ABC)(ABC)的內(nèi)部時的內(nèi)部時, ,圓周角圓周角ABCABC與圓心角與圓心角AOCAOC的大小關(guān)的大小關(guān)系會怎樣系會怎樣? ?n提示提示: :能否轉(zhuǎn)化為能否轉(zhuǎn)化為1 1的情況的情況? ?n過點過點B B作直徑作直徑BD.BD.由由1 1可得可得: :O ABC = AOC. ABC = AOC.21能寫出這個命題嗎能寫出這個命題嗎? ?同弧所對的同弧所對的圓周角圓周角等于它所對等于它所對的的圓心角圓心角的一半的一半. .ABCDnABD = AOD, CBD = COD,ABD = AOD, CBD = COD,2121OABC 第三種情況：第三種情況：如果

6、圓心不在圓周角如果圓心不在圓周角的一邊上的一邊上, ,結(jié)果會怎樣結(jié)果會怎樣? ? 3.3.當(dāng)當(dāng)圓心圓心O O在圓周角在圓周角(ABC)(ABC)的外部的外部時時, ,圓周角圓周角ABCABC與圓心角與圓心角AOCAOC的大的大小關(guān)系會怎樣小關(guān)系會怎樣? ?n提示提示: :能否也轉(zhuǎn)化為能否也轉(zhuǎn)化為1 1的情況的情況? ?n過點過點B B作直徑作直徑BD.BD.由由1 1可得可得: :O ABC = AOC. ABC = AOC.21你能寫出這個命題嗎你能寫出這個命題嗎? ?同弧所對的同弧所對的圓周角圓周角等于它所對等于它所對的的圓心角圓心角的一半的一半. .DnABD = AOD,CBD = C

7、OD,ABD = AOD,CBD = COD,2121ABCOABC鞏固練習(xí)：鞏固練習(xí)：如圖，點如圖，點A,B,C,DA,B,C,D在同一個圓上，四在同一個圓上，四邊形邊形ABCDABCD的對角線把的對角線把4 4個內(nèi)角分成個內(nèi)角分成8 8個角，這些角中哪些是相等的角？個角，這些角中哪些是相等的角？ABCD12345678.OBC 我們把頂點在圓心的周角等我們把頂點在圓心的周角等分成分成360360份時，每一份的份時，每一份的圓心角圓心角是是1 1的角。的角。 在同圓或等圓中，圓心角的度數(shù)和它所對的在同圓或等圓中，圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等弧的度數(shù)相等。 因為同圓中相等的圓心角所因為同

8、圓中相等的圓心角所對的弧相等，所以整個圓也被對的弧相等，所以整個圓也被等分成等分成360360份。我們把每一份這份。我們把每一份這樣的樣的弧弧叫做叫做1 1的弧。的弧。在同圓或等圓中，在同圓或等圓中，DABC1OC2C3歸納：歸納： 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半定定 理理 半圓（或直徑）所對的圓周半圓（或直徑）所對的圓周角是直角角是直角; ; 90 90的圓周角所對的弦是直徑的圓周角所對的弦是直徑在同圓或等圓中，相等的圓周在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等角所對的弧相等

9、推推 論論練習(xí)：練習(xí)：2.如圖，圓心角如圖，圓心角AOB=100，則，則ACB=_。OABCBAO.70 x1.求圓中角求圓中角X的度數(shù)的度數(shù)AO.X120AO.X120 C C D B在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對弧一定相等嗎？為什么？它們所對弧一定相等嗎？為什么？在同圓或等圓中，如果兩個在同圓或等圓中，如果兩個圓周角圓周角相等，它們所對的相等，它們所對的弧弧一定相等一定相等 O F B A C E G 當(dāng)球員在當(dāng)球員在B,D,EB,D,E處射門時處射門時, ,他所處的位置對球門他所處的位置對球門ACAC分別形成三個張角分別形成三個張角ABC

10、, ABC, ADC,AEC.ADC,AEC.這三個角這三個角的大小有什么關(guān)系的大小有什么關(guān)系?.?.BACDEE EO OB BD DC CA A規(guī)律：都相等，都等于圓心角規(guī)律：都相等，都等于圓心角AOCAOC的一半的一半ACAC所對的圓周角所對的圓周角 AEC ABC AEC ABC ADC ADC的大小有什么關(guān)系？的大小有什么關(guān)系？結(jié)論：結(jié)論：同弧或等弧同弧或等弧所對的圓周角相等。所對的圓周角相等。ABCD在同圓或等圓中在同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧相等相等的圓周角所對的弧相等. .則則 D=AABCD如圖如圖, 若若 AC = BD 問題問題1：如圖，：如圖，AB是是 O的直徑，請

11、問：的直徑，請問：C1、C2、C3的度數(shù)是的度數(shù)是 。ABOC1C2C3 推論：半圓（或直徑）所對的推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是圓周角是直角直角；90的圓周的圓周角所對的弦是角所對的弦是直徑直徑。 問題問題2： 若若C1、C2、C3是直角，那么是直角，那么AOB是是 。90180探究與思考：練一練1、如圖，在、如圖，在 O中，中，ABC=50，則則AOC等于（等于（ ）A、50； B、80；C、90； D、100ACBOD2、如圖，、如圖，ABC是等邊三角形，是等邊三角形，動點動點P在圓周的劣弧在圓周的劣弧AB上，且不上，且不與與A、B重合，則重合，則BPC等于（等于（ ）A、30； B

12、、60；C、90； D、45CABPB練一練3、如圖，、如圖，A=50， AOC=60 BD是是 O的直徑，則的直徑，則AEB等于（等于（ ）A、70； B、110；C、90； D、120B4、如圖，、如圖，ABC的頂點的頂點A、B、C都在都在 O上，上，C30 ，AB2，則則 O的半徑是的半徑是 。ACBODECABO解：連接解：連接OA、OBC=30 ，AOB=60 又又OA=OB ，AOB是等邊三角形是等邊三角形OA=OB=AB=2，即半徑為，即半徑為2。23 3：已知：已知OO中弦中弦ABAB的等于半徑，的等于半徑，求弦求弦ABAB所對的圓心角和圓周角的度數(shù)。所對的圓心角和圓周角的度數(shù)

13、。 OAB圓心角為圓心角為6060度度圓周角為圓周角為 30 30 度度或或 150 150 度。度。在在O中，中，CBD=30 ,BDC=20,求求A在在OO中，中，CBD=30CBD=30 ,BDC=20 ,BDC=20, ,求求AA 2 2、如圖，在、如圖，在OO中，中，ABAB為直徑，為直徑，CB = CF,CB = CF, 弦弦CGABCGAB，交，交ABAB于于D D，交，交BFBF于于E E 求證：求證：BE=ECBE=EC P D B O A C例例: : 如圖，如圖，ABAB是是OO的直徑的直徑AB=10cm,AB=10cm,弦弦AC=6cm,ACBAC=6cm,ACB的平分

14、線交的平分線交OO于點于點D . D . 求求 BC, AD ,BD BC, AD ,BD 的長的長. .106練習(xí)練習(xí):如圖如圖 AB是是 O的直徑的直徑, C ,D是圓上的兩是圓上的兩點點,若若ABD=40,則則BCD=.ABOCD405.如圖，你能設(shè)法確定一個圓形紙片的圓心嗎？你有多如圖，你能設(shè)法確定一個圓形紙片的圓心嗎？你有多少種方法？與同學(xué)交流一下少種方法？與同學(xué)交流一下DABCOOO方法一方法一方法二方法二方法三方法三方法四方法四AB練練 習(xí)習(xí)例例2 2 在足球比賽場上，甲、乙兩名隊員互相配在足球比賽場上，甲、乙兩名隊員互相配合向?qū)Ψ角蜷T合向?qū)Ψ角蜷TMNMN進攻，當(dāng)甲帶球沖到進攻，

15、當(dāng)甲帶球沖到A A點時，乙已點時，乙已跟隨沖到跟隨沖到B B點點( (如圖如圖2)2)此時甲是自己直接射門好，此時甲是自己直接射門好，還是迅速將球回傳給乙，讓乙射門好？還是迅速將球回傳給乙，讓乙射門好？分析 在真正的足球比賽中情況會很復(fù)雜，這里僅用數(shù)學(xué)方法從兩點的靜止?fàn)顟B(tài)加以考慮，如果兩個點到球門的距離相差不大，要確定較好的射門位置，關(guān)鍵看這兩個點分別對球門MN的張角大小，當(dāng)張角較小時，則球容易被對方守門員攔截.怎樣比較A、B兩點對MN張角的大小呢？解解 考慮過M、N以及A、B中的任一點作一圓，這里不妨作出 BMN，顯然，A點在 BMN外，設(shè)MA交圓于C，則MANMCN，而MCN=MBN，所以

16、MANMBN因此，甲應(yīng)將球回傳給乙，讓乙射門.ABECOD 如圖所示，已知如圖所示，已知ABCABC的三個頂點都在的三個頂點都在OO上，上，ADAD是是ABCABC的高，的高，AEAE是是OO的直徑的直徑. . 求證：求證：BAEBAECADCAD第二課時應(yīng)用 回顧：圓周角定理及推論？ 思考：判斷正誤：1.同弧或等弧所對的圓周角相等（）2.相等的圓周角所對的弧相等（）3.90角所對的弦是直徑（）4.直徑所對的角等于90（ ）5.長等于半徑的弦所對的圓周角等于30（ ）例例 如圖，如圖， O直徑直徑AB為為10cm，弦，弦AC為為6cm，ACB的平的平分線交分線交 O于于D，求，求BC、AD、B

17、D的長的長86102222ACABBC又在又在RtABD中，中，AD2+BD2=AB2，221052(cm)22ADBDAB解：解：AB是直徑，是直徑， ACB= ADB=90在在RtABC中，中，CD平分平分ACB，AD=BD.ACDBCD 例題例題OABCD3.求證：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個求證：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形（提示：作出以這條邊為直徑的圓三角形是直角三角形（提示：作出以這條邊為直徑的圓.）ABCO求證：求證： ABC 為直角三角形為直角三角形.證明：證明：CO= AB,12以以AB為直徑作為直徑作 O，AO=BO，A

18、O=BO=CO.點點C在在 O上上.又又AB為直徑為直徑,ACB= 180= 90.12已知：已知：ABC 中，中，CO為為AB邊上的中線，邊上的中線，12且且CO= AB ABC 為直角三角形為直角三角形.課本練課本練 習(xí)習(xí)課堂練習(xí) 1.1.如圖，如圖，OAOA、OBOB、OCOC都是都是OO的半徑，的半徑，AOB=2BOCAOB=2BOC，ACBACB與與BACBAC的大小有什的大小有什么關(guān)系？為什么？么關(guān)系？為什么？OABC2.2.如圖，如圖，A A、B B、C C、D D是是OO上的四個點，且上的四個點，且BCD=100BCD=100，求，求BODBOD（ 所對的圓心角）所對的圓心角）和和BADBAD的大小。的大小。OBDCA探究3 3、如圖，、如圖，ABAB是是OO的直徑，的直徑，BDBD是是OO的弦，延長的弦，延長BDBD到到點點C C，使，使DC=BDDC=BD，連接，連接ACAC交交OO于點于點F F，點，點F F不與點不與點A A重合。重合。（1 1）ABAB與與ACAC的大小有什么關(guān)系？為什么？的大小有什么關(guān)系？為什么？（2 2）按角的大小分類，請你判斷）按角的大小分類，請你判斷