第二十二講(晶體的各向異性)

1、晶體的壓電性質(zhì)晶體的壓電性質(zhì) 晶體的各向異性 晶體的對(duì)稱性與對(duì)稱操作 晶體的結(jié)構(gòu)是以一個(gè)抽象的幾何圖形代表的一組原子，這種幾何圖形具有一定的對(duì)稱性，這種對(duì)稱性就稱為晶體的宏觀對(duì)稱性，如果深入到晶體結(jié)構(gòu)內(nèi)部，研究以空間點(diǎn)陣方式無限分布的各種質(zhì)點(diǎn)的分布規(guī)律，這種對(duì)稱性稱晶體的微觀對(duì)稱性。 晶體的對(duì)稱性與對(duì)稱操作 微觀對(duì)稱：晶體在微觀研究中作為一個(gè)周期性的不連續(xù)的結(jié)構(gòu)所表現(xiàn)出來的對(duì)稱，經(jīng)過對(duì)稱操作后晶體中每一點(diǎn)都移動(dòng)到具有相同電子密度的另一點(diǎn)，微觀對(duì)稱的對(duì)稱元素是平移，滑移反射面和螺旋軸； 宏觀對(duì)稱：晶體在宏觀觀察（宏觀物理性質(zhì)測(cè)試）中作為一個(gè)均勻的連續(xù)的各向異性的物體所表現(xiàn)出來的對(duì)稱，經(jīng)過對(duì)稱操作

2、后晶體宏觀物理性質(zhì)不變，宏觀對(duì)稱的對(duì)稱元素是旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)反演軸（包括對(duì)稱中心和對(duì)稱面）； 稱操作（對(duì)稱變換）：能使某一圖形作有規(guī)律重復(fù)操作或變換。保持晶體內(nèi)任意兩點(diǎn)之間距離不變，把晶體移到與原始位置不能區(qū)別的位置上的操作，經(jīng)過對(duì)稱操作后，晶體的所有性質(zhì)不變 晶體的對(duì)稱性與對(duì)稱操作 進(jìn)行對(duì)稱操作時(shí)所憑借的幾何元素稱對(duì)稱素，晶體只有為數(shù)不多的幾種對(duì)稱素，這些對(duì)稱素組合而產(chǎn)生的對(duì)稱類型也是有限的； 對(duì)稱元素：對(duì)稱操作所依賴的幾何元素（點(diǎn)、軸、面），宏觀對(duì)稱的對(duì)稱元素是旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)反演軸，包括對(duì)稱中心和對(duì)稱面；微觀對(duì)稱的對(duì)稱元素是平移，滑移反射面和螺旋軸； 宏觀對(duì)稱素：對(duì)稱中心（i）；對(duì)稱面（m） 晶

3、體的對(duì)稱性與對(duì)稱操作晶體的對(duì)稱性與對(duì)稱操作晶系名稱晶系名稱 晶軸上的周期晶軸上的周期 晶軸間的夾角晶軸間的夾角 三斜晶系abc90單斜晶系abc =90， 90正交晶系abc=90四方晶系a=bc=90六角晶系a=bc=90， =120三角晶系a=b=c=90立方晶系a=b=c=90晶體的對(duì)稱性與對(duì)稱操作 對(duì)稱操作晶體的對(duì)稱性與對(duì)稱操作晶體的對(duì)稱性與對(duì)稱操作晶體的物理性質(zhì) 晶體的物理性質(zhì)是晶體本身所固有的一種屬性，晶體的物理性質(zhì)大多是各向異性的，而這些物理量可以用張量來表征。 張量的定義：其是一種物理量，在坐標(biāo)變換時(shí)，其是一種物理量，在坐標(biāo)變換時(shí)， 只改變表達(dá)形式，不改變物理本質(zhì)。只改變表達(dá)形

4、式，不改變物理本質(zhì)。在三維實(shí)空間，用在三維實(shí)空間，用3n個(gè)分量來表征的物理量稱個(gè)分量來表征的物理量稱n階張量，故有：階張量，故有：零階張量（標(biāo)量，一個(gè)分量）一階張量（三個(gè)分量；矢量）二階張量（九個(gè)分量）1. 三階張量（二十七個(gè)分量）晶體的物理性質(zhì) 標(biāo)量：沒有方向性的物理量，用一個(gè)與任何參考軸無 關(guān)的簡(jiǎn)單數(shù)來確定TWVUS（密 度）C（比熱） 矢量：有確定方向和大小的物理量，共有三個(gè)分量 ),(321EEEE ),(321PPPP ),(321DDDD 晶體的物理性質(zhì) 二階張量：二階張量：由九個(gè)分量所確定，二階張量把兩個(gè)矢量 聯(lián)系起來 例如：例如： jijiED33323123222113121

5、1ij是一個(gè)二階張量是一個(gè)二階張量 jkijkiTdP klijklijTsS 三階張量：三階張量：27個(gè)分量組成。三階張量可把矢量和二階張量聯(lián)系起來。例電場(chǎng)強(qiáng)度與應(yīng)力的關(guān)系即壓電效應(yīng)用三階張量的壓電系數(shù) 四階張量：四階張量：81個(gè)分量。 klijklijScT 晶體的物理性質(zhì)諾埃曼原理：諾埃曼原理：晶體對(duì)稱性與晶體宏觀物理性質(zhì)是有聯(lián)系的，即：晶體的任一物理性質(zhì)所擁有的對(duì)稱元素，必須包含晶體所屬晶類的對(duì)稱元素。也就是，晶體的宏觀物理性質(zhì)可以而且經(jīng)常具有比晶類更高的對(duì)稱性。思考：意義思考：意義以及重要性以及重要性晶體的物理性質(zhì)坐標(biāo)變換 設(shè)原坐標(biāo)系統(tǒng)為Z1Z2Z3，新坐標(biāo)系統(tǒng)為321ZZZ其滿足如

6、下關(guān)系（正交坐標(biāo)系）：333232131332322212123132121111ZaZaZaZZaZaZaZZaZaZaZ321333231232221131211321ZZZaaaaaaaaaZZZ晶體的物理性質(zhì)321332313322212312111321ZZZaaaaaaaaaZZZ將上式寫成張量形式：jjijjijiZaZaZ 注意其簡(jiǎn)寫形式注意其簡(jiǎn)寫形式同時(shí)新坐標(biāo)系統(tǒng)也可由原坐標(biāo)系統(tǒng)表示如下：jjjijjiiZaZaZ晶體的物理性質(zhì)在直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變換矩陣中元素應(yīng)滿足：1232221iiiaaa1232221iiiaaa00231312122111323122211211aa

7、aaaaaaaaaa晶體的物理性質(zhì)ijkjkijkikaaaa思考：思考：以上關(guān)系如何推導(dǎo)以上關(guān)系如何推導(dǎo)晶體的物理性質(zhì)張量空間變換 jijiEDjjiiEaE ttjijjijiEaEDjijiDaD ttjijpiipipEaaDaDpt晶體的物理性質(zhì)mnoplpkojnimijklTaaaaTjkllpoknjmimnopiTaaaaT對(duì)于多階張量，同理仍有以下關(guān)系：對(duì)于多階張量，同理仍有以下關(guān)系：晶體宏觀物理性能隨空間方向變化的理論依據(jù)理論依據(jù)：空間中任何的轉(zhuǎn)動(dòng)都可以依據(jù)歐拉轉(zhuǎn)動(dòng)定理 （Eulers rotation theorem)用三個(gè)歐拉角來 描述。歐拉角：是三個(gè)連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，

8、三次轉(zhuǎn)動(dòng)可以給出三 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣。根據(jù)繞不同坐標(biāo)軸的不同轉(zhuǎn)動(dòng)次 序，在實(shí)際應(yīng)用中有一些慣例?！皒慣例”：對(duì)于坐標(biāo)系xyz,首先繞z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 角，得 到新坐標(biāo)系 ；再繞 軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 角，得 到坐標(biāo)系 ；最后再繞 軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 角，此時(shí)得到坐標(biāo)系xyz。晶體宏觀物理性能隨空間方向變化的理論依據(jù) 設(shè)xyz繞z軸旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)變換矩陣為D，則 設(shè) 繞 軸轉(zhuǎn)動(dòng)的變換矩陣為C，則 最后繞 軸的變換矩陣為B，則 設(shè)直接的坐標(biāo)變換為： ，則： A=BCD晶體宏觀物理性能隨空間方向變化的理論依據(jù)DxCBx Axx 晶體宏觀物理性能隨空間方向變化的理論依據(jù)1000cossin0sincosBcossin0sincos0001C1000cossin0sincosD物理性能隨空間方向變化（例） 4mm 以鈦酸鋇晶體為例：00000000000003331311515ddddd物