第九講模糊模式識(shí)別

1、第九講 模糊模式識(shí)別一、 模糊數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)1、集合及其特征函數(shù)：（1）集合：論域E中具有性質(zhì)P的元素組成的總體稱(chēng)為集合。（2）集合的運(yùn)算：集合的常用運(yùn)算包括：交（）、并（）、補(bǔ)（3）特征函數(shù)： 對(duì)于論域E上的集合A和元素x，如有以下函數(shù)： l 特征函數(shù)表達(dá)了元素x對(duì)集合A的隸屬程度l 可以用集合來(lái)表達(dá)各種概念的精確數(shù)學(xué)定義和各種事物的性質(zhì)2、模糊集合（1）概念的模糊性： 許多概念集合具有模糊性，例如：成績(jī)：好、差身高：高、矮年齡：年輕、年老頭發(fā)：禿、不禿 （2） 隸屬度函數(shù)： 如果一個(gè)集合的特征函數(shù)A(x)不是0,1二值取值，而是在閉區(qū)間0，1中取值，則A(x)是表示一個(gè)對(duì)象x隸屬于集合A的

2、程度的函數(shù)，稱(chēng)為隸屬度函數(shù)。 l 隸屬度函數(shù)用精確的數(shù)學(xué)方法描述了概念的模糊性。扎德 L. A. Zadeh(1921)美國(guó)控制論專(zhuān)家，美國(guó)工程科學(xué)院院士?，F(xiàn)任伯克利加利福尼亞大學(xué)電機(jī)工程與計(jì)算機(jī)科學(xué)系教授。因發(fā)展模糊集理論的先驅(qū)性工作而獲電氣與電子工程師學(xué)會(huì)(IEEE)的教育勛章。 1965年，扎德在信息與控制雜志第8期上發(fā)表模糊集的論文, 開(kāi)創(chuàng)了以精確數(shù)學(xué)方法研究模糊概念的模糊數(shù)學(xué)領(lǐng)域。（3）模糊子集： 設(shè)集合A是集合U的一個(gè)子集，如對(duì)于任意U中的元素x，用隸屬度函數(shù)A(x)來(lái)表示x對(duì)A的隸屬程度，則稱(chēng)A是U的一個(gè)模糊子集，記為：A=A(xi), xi 模糊子集可以用下式表示： x1,x2

3、,xn 稱(chēng)為模糊子集A的支持點(diǎn)（4）模糊集合的基本運(yùn)算：l 交集：l 并集：l 補(bǔ)集：l 模糊矩陣的乘積：C=A×B， Cij= (aik bkj)；3、模糊集合的水平截集 l 模糊子集本身沒(méi)有確定邊界，其水平截集有確定邊界，并且不再是模糊集合，而是一個(gè)確定集合。例：年齡的取值集合為 U=50歲,45歲, 40歲 ,35歲,30歲, 25歲模糊集“年青”可表示為：A=0/ 50歲+0.1 / 45歲 + 0.3/40歲 + 0.5/ 35歲 + 0.9/ 30歲 +1/ 25歲A的不同的水平截集為： =0 ， A0 =50歲，45歲, 40歲 ,35歲,30歲, 25歲 =0.1，

4、A0.1 =45歲, 40歲 ,35歲,30歲, 25歲 =0.2， A0.2 =40歲 ,35歲,30歲, 25歲 =0.3， A0.3 =40歲 ,35歲,30歲, 25歲 =0.5， A0.5 =35歲,30歲, 25歲 =0.7， A0.7 =30歲, 25歲 =0.9， A0.9 =30歲, 25歲 =1 ， A1 =25歲4、模糊關(guān)系及模糊矩陣（1）集合的笛卡兒乘積 設(shè)Ux,V=y為兩個(gè)集合，則它們的笛卡兒乘積集為： U×V=(x,y)|xU,yV, (x,y)是 U,V元素間的有序?qū)Α (x,y)是一種無(wú)約束有順序的組合，l 笛卡爾乘積的運(yùn)算不滿(mǎn)足交換律，l 特殊的笛

5、卡爾乘積：Ax，A×A(xi,xj)| xi,xj A（2）關(guān)系及其表示設(shè)Ux,V=y為兩個(gè)集合， R為笛卡爾乘積U×V的一個(gè)子集，則稱(chēng)其為U×V中的一個(gè)關(guān)系。l 關(guān)系R代表了對(duì)笛卡爾乘積集合中元素的一種選擇約束。關(guān)系的表示：l 集合表示法：R(x1,y2),(x2,y1),(x3,y3)l 描述表示法：R(x,y)| x>yl 圖形表示法：關(guān)系圖l 矩陣表示法：例：U張三，李四，王五，V數(shù)學(xué)，英語(yǔ)，政治則關(guān)系R（選課）可表示為：（3）模糊關(guān)系 如關(guān)系R是U×V的一個(gè)模糊子集，則稱(chēng)R為U×V的一個(gè)模糊關(guān)系，其隸屬度函數(shù)為R(x,y) l

6、隸屬度函數(shù)R(x,y)表示x,y具有關(guān)系R的程度l 該矩陣稱(chēng)為模糊矩陣?yán)?： x為身高， y為體重；x=（1.4,1.5,1.6,1.7,1.8）（單位m）y = (40,50,60,70,80) （單位kg）模糊關(guān)系“合乎標(biāo)準(zhǔn)”表示為： 40506070801.410.80.2001.50.810.80.201.60.20.810.80.21.700.20.810.81.8000.20.81也可記為：例2：樣本集X中各樣本之間的相似關(guān)系可表示為：二、 模糊模式識(shí)別方法1、最大隸屬度識(shí)別法（1）形式一： 設(shè) A1, A2,. ,An是U中的n個(gè)模糊子集， 且對(duì)每一Ai均有隸屬度函數(shù)i

7、(x) ，x0為U中的任一元素，若有隸屬度函數(shù) i(xo) =max1(xo), 2(xo),. n(xo)則 xoAil 若有了隸屬度函數(shù) (x)，我們把隸屬度函數(shù)作為判別函數(shù)使用即可。l 此法的關(guān)鍵是求隸屬度函數(shù)l U中的每一個(gè)元素，代表了樣本的一種取值情況，而Ai代表了不同的類(lèi)別例：體型判斷這一分類(lèi)問(wèn)題中，設(shè)樣本僅有一維特征，為體型指標(biāo)，分別有6種取值，取值域?yàn)閁5,10,15,20,25,30 ，三種體型類(lèi)別用模糊子集可以定義為：“偏胖”0/ 5+0.2 / 10 + 0.4/15 + 0.6/20 + 0.8/25+ 1/30“標(biāo)準(zhǔn)”0.4/ 5+0.6 / 10 + 0.8/15

8、+1/20 + 0.6/25+ 0.4/30 “偏瘦”1/ 5+0.8 / 10 + 0.6/15 + 0.4/20 + 0.2/25+ 0/30如果某人的體型指標(biāo)為15,則根據(jù)最大隸屬度原則，可分到“標(biāo)準(zhǔn)”這一類(lèi)。（2）形式二： 設(shè) A是U中的1個(gè)模糊子集， x1xn為U中的n個(gè)元素，若A的隸屬度函數(shù)中， (xk) =max(x1), (x2),. (xn)則A屬于xk對(duì)應(yīng)的類(lèi)別l U中的每一個(gè)元素對(duì)應(yīng)了一個(gè)類(lèi)別l A代表一個(gè)樣本，其隸屬度函數(shù)代表了這個(gè)樣本屬于不同類(lèi)別的程度l 此法不僅能得到樣本的分類(lèi)結(jié)果，還可以得到樣本與各個(gè)類(lèi)間的相似程度排序例：設(shè)U為5種空中飛行目標(biāo)的集合，U直升飛機(jī)，

9、大型飛機(jī)，戰(zhàn)斗機(jī)，飛鳥(niǎo)，氣球 ，根據(jù)對(duì)一個(gè)飛行物體的運(yùn)動(dòng)特征檢測(cè)，得到其模糊子集表達(dá)為：A0.7/直升飛機(jī)+0.3 / 大型飛機(jī) + 0.1/ 戰(zhàn)斗機(jī) + 0.4/ 飛鳥(niǎo) + 0.8/ 氣球根據(jù)最大隸屬度原則，可判斷該飛行物體為“氣球”。2、擇近原則識(shí)別法（1）貼近度： 貼近度是兩個(gè)模糊子集間互相靠近的程度，理想的貼近度應(yīng)當(dāng)具有以下性質(zhì)： 貼近度定義很多， 設(shè)A，B為U上的兩個(gè)模糊子集，可以將它們之間的貼近度定義為：（2）擇近原則識(shí)別法： 設(shè)U上有n個(gè)模糊子集A1, A2,. ,An及另一模糊子集 B。若貼近度l 樣本和類(lèi)都用模糊子集來(lái)表示l 取值范圍U中的每個(gè)元素代表了一個(gè)特征維度例：某氣象

10、臺(tái)對(duì)于當(dāng)日氣象條件的晨練指數(shù)預(yù)報(bào)分為三級(jí)，是用模糊集的方式，依據(jù)氣溫、風(fēng)力、污染程度三個(gè)指標(biāo)來(lái)決定的，具體隸屬度關(guān)系見(jiàn)下表：晨練指數(shù)級(jí)別對(duì)“標(biāo)準(zhǔn)氣溫”的隸屬度對(duì)“標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)力”的隸屬度對(duì)“有污染”的隸屬度適宜晨練0.70.90.2可以晨練0.50.60.6不適宜晨練0.40.50.8 某天的氣象條件用模糊集合來(lái)表達(dá)為： B=0.8/標(biāo)準(zhǔn)氣溫+0.7/標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)力+0.5/有污染請(qǐng)問(wèn)：該天的晨練指數(shù)應(yīng)該預(yù)報(bào)為哪一級(jí)？解：用a來(lái)代表“標(biāo)準(zhǔn)氣溫”，b代表“標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)力”，c代表“有污染”則該天的氣象條件可表示為：B=0.8/a+0.7/b+0.5/c用A1表示“適宜晨練”，A2表示“可以晨練”，A3表示“不適宜

11、晨練”則各晨練指數(shù)級(jí)別可表示為：A10.7/a+0.9/b+0.2/cA20.5/a+0.6/b+0.6/cA30.4/a+0.5/b+0.8/c分別求B和A1、A2、A3的貼近度B和A2的貼近度最大，根據(jù)擇近識(shí)別原則，BA2該天的晨練指數(shù)應(yīng)該預(yù)報(bào)為“可以晨練”。3、基于模糊等價(jià)關(guān)系的聚類(lèi)方法（1）等價(jià)關(guān)系 設(shè)R是Ux上一個(gè)關(guān)系，若滿(mǎn)足：（a）自反性： (x,x) R（b）對(duì)稱(chēng)性： 若(xi，xj) R，則有(xj，xi) R（c）傳遞性：若(xi，xj) R和(xj，xk) R ，則有(xi，xk) R 則稱(chēng)R是U上一個(gè)等價(jià)關(guān)系。l 等價(jià)關(guān)系定義了“等價(jià)”的概念；l 當(dāng)U上有一個(gè)等價(jià)關(guān)系R時(shí)

12、，并不是U中所有元素都有等價(jià)關(guān)系，而是U中的元素可以按等價(jià)關(guān)系分成若干類(lèi)。（2）模糊等價(jià)關(guān)系 設(shè)R是Ux上一個(gè)模糊關(guān)系，若滿(mǎn)足：（a）自反性： R(x,x) 1（b）對(duì)稱(chēng)性： R (xi，xj)R (xj，xi)（c）傳遞性： 對(duì)于任意xj U，有R (xi，xk) (R (xi，xj) R (xj，xk) 則稱(chēng)R是U上一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系。l 模糊等價(jià)關(guān)系具有傳遞閉包性：R×RR，l 不具有傳遞性的模糊關(guān)系稱(chēng)為模糊相似關(guān)系，可通過(guò)求R2，R4，R8來(lái)獲得一個(gè)逼近模糊等價(jià)關(guān)系的模糊關(guān)系。（3）等價(jià)關(guān)系定理： 若R是U上的一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系。則對(duì)任意閾值(0 1)則水平截集R也是U上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。（4）基于模糊等價(jià)關(guān)系的聚類(lèi) 利用等價(jià)關(guān)系定理，已知樣本集X上的模糊等價(jià)關(guān)系R，則可通過(guò)R的不同水平截集得到多種等價(jià)類(lèi)劃分，也就實(shí)現(xiàn)了樣本集在不同隸屬度要求下的聚類(lèi)。例：設(shè)X x1、x2、x3、x4、 x5