第一講三角函數(shù)的概念、同角關(guān)系式和誘導(dǎo)公式

1、第一講 三角函數(shù)的概念、同角關(guān)系式和誘導(dǎo)公式基本知識(shí)點(diǎn)：1. 弧度制：（1）定義（2）換算關(guān)系（3）弧度制下的弧長(zhǎng)、扇形的面積公式（4）有關(guān)角的集合2. 任意角的三角函數(shù) （1）定義（2）三角函數(shù)的符號(hào) （3）特殊角的三角函數(shù)值 （4）三角函數(shù)的定義域 （5）誘導(dǎo)公式（6）同角三角函數(shù)的關(guān)系式應(yīng)用舉例考點(diǎn)1 角的概念的推廣例1、設(shè)A =小于90的角，B =第一象限的角，則A B =（D ）A. 銳角B. 小于90的角C. 第一象限的角 D. 以上都不對(duì)練習(xí)1：已知角與的終邊相同，那么-的終邊位于 x 軸的非負(fù)半軸上 . 考點(diǎn)2 弧長(zhǎng)、扇形面積公式例2、若1弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，則該圓心角

2、所對(duì)的弧長(zhǎng)等于（C ） A. sin1 2B. 6C.1sin 12D. 2sin1 2練習(xí)2：某時(shí)鐘的秒針端點(diǎn)A 到中心點(diǎn)O 的距離為5cm ，秒針均勻地繞點(diǎn)O 旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)間t =0時(shí)，點(diǎn)A 與鐘面上標(biāo)12的點(diǎn)B 將A ，B 兩點(diǎn)間的距離d (cm表示成t (s的函60 (10sin 數(shù)，則d =_ _，其中t 0，t 60考點(diǎn)3 三角函數(shù)的定義例3、已知角終邊上一點(diǎn)P (sin,cos ，則的最小正角為（D ） A 23235 6B 2 3C5 3D11 6練習(xí)3：設(shè)a <0，角終邊上一點(diǎn)P (-3a ,4a ，那么sin +2cos 的值等于（A ） A2 5B -2 5C 1 5

3、D -1 5考點(diǎn)4 三角函數(shù)值的符號(hào) 例4、已知cos tan <0，那么角是（ C ） 第一或第二象限角 第三或第四象限角 第二或第三象限角 第一或第四象限角練習(xí)4：函數(shù)y =sin x cos x tan x的值域?yàn)? +|sin x |cos x |tan x |考點(diǎn)5 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式 例5、（1）已知是第四象限角，tan =-A 1 5B -1 55，則sin =（ D ） 125C13D -5 13（2） 已知cos(6- =52+則cos(+ -sin 2(- = （-） 36632練習(xí)5、若cos( 3sin (2sin (3cos (3cos (cos

4、(cos (4sin (2sin (3cos (3sin sin cos 解 原式cos (cos cos cos cos sin (1cos tan . cos (1cos 22cos( cos( cos ，cos . 為第一象限角或第四象限角332當(dāng)為第一象限角時(shí)，cos ，3sin 1cos ，3sin 55tan 原式cos 222當(dāng)為第四象限角時(shí)，cos ，35sin 1cos ，3sin 55tan ，原式cos 225綜上，原式2例6、已知tan =3. 求:4sin 2-2cos 24sin -2cos 22(1 ; (2 （3）2sin +sin cos -3cos ; 22

5、5cos +3sin 5cos +3sin (4 sin +2sin cos +3cos +2.答案:(122517; (2 ; 716(2919; (4 53sin 3(cos (練習(xí)6、已知cos 22sin 2，求 575cos 23sin 22sin ， 解 cos 22sin 2cos ，tan 2. sin 3(cos (sin 3cos (sin 3cos 575sin 3cos 5cos 23sin 25sin 3sin 2sin 2tan 3tan 11·1tan sin 3cos sin 2·tan 1sin cos 3cos 5sin 35tan 35

6、tan 35tan 2311213.3535×2考點(diǎn)6、綜合應(yīng)用例7、已知sin 、 cos 是方程x -1 x +m =0的兩根. （1）求m 的值； （2）求2sin cos 的值. +1-cot 1-tan 解：（1 ）由韋達(dá)定理，得sin +cos =1 sin cos =m 由得1+2sin cos =4- m =3 2再注意到 =-1 -4m 0, 即 m 123故所求m =2sin cos sin 2cos 2cos 2-sin 2（2）原式= +=+=cos sin sin -cos cos -sin sin -cos 1-1-sin cos =cos +sin =1

7、.練習(xí)7、已知sin 、cos 是關(guān)于x 的方程x 2ax a 0的兩個(gè)根(a R 1(1求sin 3cos 3的值； (2求tan 的值tan 解 (1由根與系數(shù)的關(guān)系知：sin cos a ，sin ·cos a . (sin cos 212sin cos ，a 212a .解得：a 12，a 12(舍 sin 3cos 3(sin cos (sin2sin cos cos 2 (sin cos (1sin cos a (1a 22.221sin cos sin cos (2tan tan cos sin sin cos 11112. sin cos a 12sin (32cos

8、 2，例8、是否存在角，22，(0， ，使等式3cos (2cos (同時(shí)成立若存在，求出，的值；若不存在，說明理由sin 2sin ， 解 由條件，得3cos 2cos . 22，得sin 23cos 22， 又因?yàn)閟in 2cos 21，12由得sin 2，即sin 22，所以或因?yàn)?2443當(dāng)時(shí)，代入得cos ，又(0， ，42所以，代入可知符合63當(dāng)cos ，又(0， ，42所以，代入可知不符合6綜上所述，存在46練習(xí)7、在ABC 中，若sin(2A 2sin(B 3cos A 2cos(B ，求ABC 的三個(gè)內(nèi)角解 由條件得sin A 2sin B ，3cos A 2cos B ，2

9、平方相加得2cos 2A 1，cos A 23又A (0， ，A .4433當(dāng)A 時(shí)，cos B <0，B 2， 42A ，B 均為鈍角，不合題意，舍去37A ，cos B B C .42612鞏固與提高A 組1. 若角的終邊與角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則 ( A B 180°C k ·360°，k Z D k ·360°180°，k Z解析：借助圖形可知，若角與的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則k ·360°180°. 答案：D2若角的終邊與60°角的終邊相同，在0°360°內(nèi)，終邊

10、與角的終邊相同的角為_3解析：k ·360°60°，k Z ，k ·120°20°，k Z. 又0， ，0°k ·120°3320°360°，k Z ，117k ，k 0,1,2. 此時(shí)得分別為20°，140°，260° . 故在0， 內(nèi)，與角6633邊相同的角為20°，140°，260°. 答案：20°，140°，260°3. 用弧度制表示下列終邊落在陰影部分的角的集合： 圖1圖2圖3（1）x

11、|-3+2k x +2k , k Z ；（2）x |+2k x +2k , k Z ；4624+2k x 2+2k , k Z 3（3）x |34如圖，設(shè)點(diǎn)A 是單位圓上的一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P 從A 出發(fā)在圓上按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)P 所旋轉(zhuǎn)過AP 的長(zhǎng)為l ，弦AP 的長(zhǎng)為d ，則函數(shù) 的弧d f (l 的圖象大致為( 解析：如圖取AP 的中點(diǎn)為D ，設(shè)DOA =，則d =2sin，l =2R =2， d =2sin答案：C5已知一扇形的中心角是，所在圓的半徑是R .(1若60°，R 10 cm，求扇形的弧所在的弓形面積；(2若扇形的周長(zhǎng)是一定值c (c 0 ，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形有最

12、大面積？ 解：(1設(shè)弧長(zhǎng)為l ，弓形面積為S 弓，10110160°，R 10，l (cm，S 弓S 扇S ××10×102×sin60°33232350(cm2 32(2法一：扇形周長(zhǎng)c 2R l 2R R，R c， 2l . 2121c 2c 21c 21c 2S 扇·R ( 222244241644c 2當(dāng)且僅當(dāng)2(2舍去 時(shí)，扇形面積有最大值.16c l 11c l 1法二：由已知2R l c ，R (l c ，S ·l (cl l 2222241c 2c 2(l 4216c c l 當(dāng)l 時(shí)，S max

13、，此時(shí)216R2c2c c 222，c 2當(dāng)扇形圓心角為2弧度時(shí)，扇形面積有最大值1626. 點(diǎn)P 從(1,0出發(fā)，沿單位圓x 2y 21逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)Q 點(diǎn)，則Q 的坐標(biāo)為3(13311331A ( B (， C ( D (，222222222213解析：根據(jù)題意得Q (cos，sin ，即Q (，答案：A33227在(0,2 內(nèi)使sin x cos x 成立的x 取值范圍是 ( 5， C. ，5 D. 5，3 , A. B. 424444424解析：用單位圓內(nèi)正弦線和余弦線來解答案：C1cos sin 8(2010·銀川模擬 若角的終邊落在直線y x 上，則的值等于cos

14、 1sin ( A 0 B 2 C 2 D 2tan 解析：因?yàn)榻堑慕K邊落在直線y x 上，k3，k Z ，sin ，cos 的符號(hào)相43反當(dāng)2k，即角的終邊在第二象限時(shí)，sin 0，cos 0；47當(dāng)2k，即角的終邊在第四象限時(shí)，sin 0，cos 0.41cos sin |sin|sin 所以有0. 答案：Acos |cos|cos 1sin 9sin 600+ tan 240的值是（B ） A. B. C. - 1+2D.1210.(1設(shè)90°180°，角的終邊上一點(diǎn)為P (x 5 ，且cos 2，求sin 與tan 的值； 4(2已知角的終邊上有一點(diǎn)P (x ，1(

15、x 0 ，且tan x ，求sin ，cos .解：(1r x 5，cos x 2xx ，解得x 0或x 3.4x 5x 590°180°，x 0，因此x 3.故r 2，sin tan .432231(2的終邊過點(diǎn)(x ，1 ，tan ，又tan x ，x 21，x ±1.x 當(dāng)x 1時(shí)，sin 22，cos 2222，cos . 22當(dāng)x 1時(shí)，sin 11. 若1sin x sin x cos x cos x 0，則x 不可能是 ( A 任何象限的角 B 第一、二、三象限的角 C 第一、二、四象限的角 D 第一、三、四象限的角解析：由已知得1sin x

16、83;|sinx |cos x ·|cosx |0，sin x 0，故x 不可能是第一、二、四象限的角 cos x 0，答案：C12若為第一象限角，則能確定為正值的是 ( A sin B cos C tan D cos2222解析：2k2k(k Z ，2kkk Z ，244k24k(k Z 可知是第一、第三象限角，sin 、cos 都可能取負(fù)值，只有tan22222是第一、第二象限角，cos2可能取負(fù)值 答案：C13設(shè)02，如果sin 0且cos20，則的取值范圍是 ( 33357A B. 2 D. 224444解析：02，且sin 0，2， 3又由cos20得2k22k223即kk

17、k Z ，44572，k 1，即的取值范圍是44答案：D14. sin(sin(2010的值等于666611111解析：原式( ( 22222答案：2115. 如果sin ·cos 0，且sin ·tan 0， 化簡(jiǎn)：cos 21sin2cos 21sin21sin21sin2sin 2解：由sin ·tan 0，得0，cos 0.cos 又sin ·cos 0，sin 0，2k2k(k Z ，2 即kkk Z 24當(dāng)k 為偶數(shù)時(shí)，2當(dāng)k 為奇數(shù)時(shí)，2原式2(1sin 222cos 22(1sin 22 2cos 21sin 1sin 2cos222co

18、s cos 22|cos|cos|cos2222 (在第三象限時(shí) 2B 組1. 集合M =x |x =A. M2 (在第一象限時(shí)2.k k , k Z 之間的關(guān)系是( A ±, k Z 與N =x |x =244N N M=N I N =2. 已知sin >sin ，那么下列命題成立的是（A ）若、是第一象限角，則cos >cos （B ）若、是第二象限角，則tg >tg （C ）若、是第三象限角，則cos >cos （D ）若、是第四象限角，則tg >tg 3. 若2k -(CA. 2sin 42k +4 (k Z , 則的化簡(jiǎn)結(jié)果為C. 2cos D

19、. -2cos B. -2sin 4. 2002年8月，在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖所示，它是由4個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中較小 5. 若A 、B 是銳角ABC 的兩個(gè)內(nèi)角，則點(diǎn)P （cos B sin A ，sin B cos A ）在（ B ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 若0<<<2則下列不等式不正確的是（D ）B. +sin <+sin D. sin <sin A. sin +sin <+ C. sin <sin 7. 已知f (x a sin(x b co

20、s(x ，其中a 、b 、都是非零常數(shù)，若f (2 0091，則f (2 010等于 ( A 1 B 0 C 1 D 2 解析：法一：f (2 009a sin(2 009 b cos(2 009 a sin( b cos( (a sin b cos 1，f (2 010a sin(2 010 b cos(2 010 a sin b cos 1. 法二：f (2 010a sin(2 010 b cos(2 010 a sin(2 009b cos(2 009 a sin(2 009 b cos(2 009 f (2 0091. 答案：C 8. 已知sin =m -34-2m , 其中, 則m 的值為. ,cos =m + 5m +529. 函數(shù)y =lg sin x +(0,3 10 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，一單位圓的圓心的初始位置在（0,1），此時(shí)圓上一點(diǎn)P 的位置在（0,0），圓在x 軸上沿正向滾動(dòng)。當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于（2,1）時(shí)，點(diǎn)P 的坐標(biāo)為_.解析：根據(jù)題意可知圓滾動(dòng)了 2 單位個(gè)弧長(zhǎng)，點(diǎn) P 旋轉(zhuǎn) 了 2 = 2 弧度，此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 1 = 2 - sin 2, 2 p y P = 1 + sin(2 - = 1 - cos 2, .