數(shù)列極限四則運(yùn)算法則的證明

1、數(shù)列極限四則運(yùn)算法則的證明設(shè)limAn=A,limBn=B,則有法貝U1:lim(An+Bn尸A+B法則2:lim(An-Bn尸A-B法則3:lim(An-Bn尸AB法則4:lim(An/Bn尸A/B.法則5:lim(An的k次方尸A的k次方(k是正整數(shù))(n-+8的符號(hào)就先省略了，反正都知道怎么回事.)首先必須知道極限的定義：如果數(shù)列Xn和常數(shù)A有以下關(guān)系：對(duì)于？0(不論它多么小，總存在正數(shù)N,使得對(duì)于滿足n>N的一切Xn,不等式|Xn-A|<e都成立，則稱常數(shù)A是數(shù)列Xn的極限，記作limXn=A.根據(jù)這個(gè)定義，首先容易證明：引理1:limC=C.(即常數(shù)列的極限等于其本身)法

2、則1的證明：limAn=A,對(duì)任意正數(shù)e存在正整數(shù)N?,使n>N加恒有|An-A|ve(極限定義)同理對(duì)同一正數(shù)e存在正整數(shù)N?,使n>N?時(shí)恒有|Bn-B|<&設(shè)N=maxN?,N?,由上可知當(dāng)n>N時(shí)兩式全都成立.此時(shí)|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|&|An-A|+|Bn-B|<£+£=2£.由于e是任意正數(shù)，所以2e也是任意正數(shù).即:對(duì)任意正數(shù)2£存在正整數(shù)N,使n>N時(shí)恒有|(An+Bn)-(A+B)|<2s.由極限定義可知，lim(An+Bn尸A+B.為了證明

3、法則2,先證明1個(gè)引理.引理2:若limAn=A,則lim(C-An)=C-A.(O常數(shù))證明:limAn=A,，對(duì)任意正數(shù)e存在正整數(shù)N,使n>N時(shí)恒有|An-A|<e(極限定義)式兩端同乘|C|,得：|C.An-CACe.由于e是任意正數(shù)，所以Ce也是任意正數(shù).即:對(duì)任意正數(shù)Ce存在正整數(shù)N,使n>N時(shí)恒有|CAn-CA|<Ce.由極限定義可知，lim(C-An)=C-A若C=0的話更好證)法則2的證明：lim(An-Bn)=limAn+lim(-Bn)(法則1)=limAn+(-1)limBn(引理2)=A-B.為了證明法則3,再證明1個(gè)引理.引理3:若limAn

4、=0,limBn=0,則lim(An.Bn)=0.證明：limAn=0,.對(duì)任意正數(shù)e存在正整數(shù)N?,使n>N?時(shí)恒有|An-0|<e(極限定義)同理對(duì)同一正數(shù)e存在正整數(shù)N?,使n>N?時(shí)恒有|Bn-0|<e設(shè)N=maxN?,N?,由上可知當(dāng)n>N時(shí)兩式全都成立.此時(shí)有|AnBn=|An-0|Bn-01V£-=$2.由于e是任意正數(shù)，所以£也是任意正數(shù).即:對(duì)任意正數(shù)£存在正整數(shù)N,使n>N時(shí)恒有|An-Bn-0|<£2.由極限定義可知，lim(An-Bn)=0.法則3的證明：令an=An-A,bn=Bn-B.

5、則liman=lim(An-A)=limAn+lim(-A)(法則1)=A-A(引理2)=0.同理limbn=0.1.lim(AnBn)=lim(an+A)(bn+B)=lim(anbn+Ban+Abn+AB)=lim(anbn)+lim(Ban)+lim(Abn)+limAB1)=0+B-liman+Alimbn+limAB(引理3、引理2)=BX0+AX0+AB(引理1)=AB.引理4:如果limXn=Lw0,則存在正整數(shù)N和正實(shí)數(shù)e使得對(duì)任何正整數(shù)n>N,有|Xn|>e.證明：取e=|L|/2>0,則存在正整數(shù)N,使得對(duì)任何正整數(shù)n>N,有|Xn-L|<e于

6、是有|Xn|>|L|-|Xn-L|>|L|-£=£引理5:若limAn存在，則存在一個(gè)正數(shù)M,使得對(duì)所有正整數(shù)n,有|An|<M.證明：設(shè)limAn=A,則存在一個(gè)正整數(shù)N,使得對(duì)n>N有|An-A|w1于是有|An|w|A|+1我們?nèi)=max(|A1|,.,|AN|,|A|+1)即可法則4的證明：由引理4,當(dāng)BWO時(shí)(這是必要條件),？正整數(shù)N1和正實(shí)數(shù)£0使得對(duì)？正整數(shù)n>N1,有|Bn|>£0.由引理5,又？正數(shù)M,K,使得使得對(duì)所有正整數(shù)n,有|An|<M,|Bn|<K.現(xiàn)在對(duì)？£>0,?正整數(shù)N2和N3,使得：當(dāng)n>N2,有|An-A|<£0*|B|*£/(M+K+1)當(dāng)n>N3,有|Bn-B|<£0*|B|*£/(M+K+1)現(xiàn)在，當(dāng)n>max(N1,N2,N3)時(shí)，有|An/Bn-A/B|=|An*B-Bn*A|/|B*Bn|=|An(B-Bn)+Bn(An-A)|/|B*Bn|0(|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A-An|)/(|B|*