四年級奧數(shù)：加法原理

1、四年級奧數(shù)：加法原理（一）例 1 從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船。一天中火車有4 班，汽車有3 班，輪船有2 班。問：一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同走法？分析與解： 一天中乘坐火車有4 種走法，乘坐汽車有3 種走法，乘坐輪船有2種走法，所以一天中從甲地到乙地共有：4 3 2=9（種）不同走法。例 2 旗桿上最多可以掛兩面信號旗， 現(xiàn)有紅色、 藍(lán)色和黃色的信號旗各一面， 如 果用掛信號旗表示信號，最多能表示出多少種不同的信號？分析與解： 根據(jù)掛信號旗的面數(shù)可以將信號分為兩類。 第一類是只掛一面信號旗，有紅、 黃、 藍(lán) 3 種； 第二類是掛兩面信號旗， 有

2、紅黃、 紅藍(lán)、 黃藍(lán)、 黃紅、 藍(lán)紅、藍(lán)黃 6 種。所以一共可以表示出不同的信號3 6=9（種）。以上兩例利用的數(shù)學(xué)思想就是加法原理。加法原理：如果完成一件任務(wù)有n 類方法，在第一類方法中有m1 種不同方法，在第二類方法中有 m2種不同方法 在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有N=m 1+m2+mn種不同的方法。乘法原理和加法原理是兩個(gè)重要而常用的計(jì)數(shù)法則， 在應(yīng)用時(shí)一定要注意它們的區(qū)別。 乘法原理是把一件事分幾步完成， 這幾步缺一不可， 所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各步方法數(shù)的乘積；加法原理是把完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)， 所以完成任務(wù)的不同

3、方法數(shù)等于各類方法數(shù)之和。例 3 兩次擲一枚骰子，兩次出現(xiàn)的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況有多少種？分析與解： 兩次的數(shù)字之和是偶數(shù)可以分為兩類， 即兩數(shù)都是奇數(shù)， 或者兩數(shù)都是偶數(shù)。因?yàn)轺蛔由嫌腥齻€(gè)奇數(shù)，所以兩數(shù)都是奇數(shù)的有3M=9 （種）情況；同理，兩數(shù)都是偶數(shù)的也有9 種情況。 根據(jù)加法原理， 兩次出現(xiàn)的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況有9+9=18 （種）。例4用五種顏色給右圖的五個(gè)區(qū)域染色， 每個(gè)區(qū)域染一種顏色，相鄰的區(qū)域染不 同的顏色。問：共有多少種不同的染色方法？分析與解：本題與上一講的例4表面上十分相似，但解法上卻不相同。因?yàn)樯弦?講例4中，區(qū)域A與其它區(qū)域都相鄰，所以區(qū)域A與其它區(qū)域的顏色都不相同

4、。 本例中沒有一個(gè)區(qū)域與其它所有區(qū)域都相鄰，如果從區(qū)域A開始討論，那么就要分區(qū)域A與區(qū)域E的顏色相同與不同兩種情況。當(dāng)區(qū)域A與區(qū)域E顏色相同時(shí)，A有5種顏色可選；B有4種顏色可選；C有3 種顏色可選；D也有3種顏色可選。根據(jù)乘法原理，此時(shí)不同的染色方法有5X4毛刈=180 （種）0當(dāng)區(qū)域A與區(qū)域E顏色不同時(shí)，A有5種顏色可選；E有4種顏色可選；B 有3種顏色可選；C有2種顏色可選；D有2種顏色可選。根據(jù)乘法原理，此時(shí) 不同的染色方法有5X4X3>2>2 = 240 （種）0再根據(jù)加法原理，不同的染色方法共有180+ 240=420 （種）。例5用1, 2, 3, 4這四種數(shù)碼組成五

5、位數(shù)，數(shù)字可以重復(fù)，至少有連續(xù)三位是1的五位數(shù)有多少個(gè)？分析與解：將至少有連續(xù)三位數(shù)是1的五位數(shù)分成三類：連續(xù)五位是1、恰有連 續(xù)四位是1、恰有連續(xù)三位是1。連續(xù)五位是1,只有11111 一種；恰有連募四位是1,有iTT值與垢田麗林情猊，其中A可以是2, "4中任一個(gè)，所以有3+3 = 6 （種）；恰有述續(xù)三位是1,有iT黃，盛市，KIT正三種情況，其中a, c可 以是2, 3, 4之一.詞麗,2, 3, 42-|之一所網(wǎng)于而醺節(jié)4 （加），對于國E府4乂？ （ft）,對于叢111C有3乂 3 （種），合起來有3X4+4耶+3M = 33 （種）由加法原理，這樣的五位數(shù)共有1+6+3

6、3= 40 （種）。在例5中，我們先將這種五位數(shù)分為三類，以后在某些類中又分了若干種情 況，其中使用的都是加法原理。例6右圖中每個(gè)小方格的邊長都是1。一只小蟲從直線AB上的。點(diǎn)出發(fā)，沿著 橫線與豎線爬行，可上可下，可左可右，但最后仍要回到 AB上（不一定回到O 點(diǎn)）。如果小蟲爬行的總長是3,那么小蟲有多少條不同的爬行路線？分析與解：如果小蟲爬行的總長是2,那么小蟲從AB上出發(fā)，回到AB上，其 不同路線有6條（見左下圖）；小蟲從與 AB相鄰的直線上出發(fā)，回到 AB上, 其不同路線有4條（見右下圖）。實(shí)際上，小蟲爬行的總長是3。小蟲爬行的第一步有四種情況：向左，此時(shí)小蟲還在AB上，由上面的分析，后

7、兩步有 6條路線；同理，向右也有6條路線；向上，此時(shí)小蟲在與AB相鄰的直線上，由上面的分析，后兩步有4條路線；同理，向下也有4條路線。根據(jù)加法原理，共有不同的爬行路線6 + 6 + 4 + 4 = 20 （條）練習(xí)201 .南京去上?？梢猿嘶疖?、乘飛機(jī)、乘汽車和乘輪船。如果每天有20班火車、6班飛機(jī)、8班汽車和4班輪船，那么共有多少種不同的走法？2 .光明小學(xué)四、五、六年級共訂 300份報(bào)紙，每個(gè)年級至少訂 99份報(bào)紙。問：共有多少種不同的訂法？3 .將10顆相同的珠子分成三份，共有多少種不同的分法？4 .在所有的兩位數(shù)中，兩位數(shù)碼之和是偶數(shù)的共有多少個(gè)?5 .用五種顏色給右圖的五個(gè)區(qū)域染色，

8、每個(gè)區(qū)域染一種顏色，相鄰的區(qū)域染 問：共有多少種不同的染色方法?6 .用1, 2, 3這三種數(shù)碼組成四位數(shù)，在可能組成的四位數(shù)中，至少有連續(xù)兩位是2的有多少個(gè)?7 .下圖中每個(gè)小方格的邊長都是1。有一只小蟲從。點(diǎn)出發(fā)，沿圖中格線爬 行，如果它爬行的總長度是3,那么它最終停在直線AB上的不同爬行路線有多少條?第21講加法原理（二）我們通常解題，總是要先列出算式，然后求解?？墒菍τ行╊}目來說，這樣 做不僅麻煩，而且有時(shí)根本就列不出算式。這一講我們介紹利用加法原理在圖上作業(yè)”的解題方法。例1小明要登上10級臺(tái)階，他每一步只能登1級或2級臺(tái)階，他登上10級臺(tái)階 共有多少種不同的登法？分析與解：登上第1

9、級臺(tái)階只有1種登法。登上第2級臺(tái)階可由第1級臺(tái)階上去， 或者從平地跨2級上去，故有2種登法。登上第3級臺(tái)階可從第1級臺(tái)階跨2 級上去，或者從第2級臺(tái)階上去，所以登上第3級臺(tái)階的方法數(shù)是登上第1級臺(tái) 階的方法數(shù)與登上第2級臺(tái)階的方法數(shù)之和，共有1+2=3 （種）一般地， 登上第n級臺(tái)階，或者從第（n-1）級臺(tái)階跨一級上去，或者從第（n-2）級臺(tái) 階跨兩級上去。根據(jù)加法原理，如果登上第（n-1）級和第（n-2）級分別有a 種和b種方法，則登上第n級有（a+ b）種方法。因此只要知道登上第1級和第 2級臺(tái)階各有幾種方法，就可以依次推算出登上以后各級的方法數(shù)。由登上第1級有1種方法，登上第2級有2種方

10、法，可得出下面一審數(shù)：1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89。其中從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都是它前面兩個(gè)數(shù)之和。登上第 10級臺(tái)階的方法數(shù)對應(yīng)這用數(shù)的第10個(gè)，即89。也可以在圖上直接寫出計(jì)算得出的登上各級 臺(tái)階的方法數(shù)（見下圖）。例2在左下圖中，從A點(diǎn)沿實(shí)線走最短路徑到B點(diǎn)，共有多少條不同路線?分析與解：題目要求從左下向右上走，所以走到任一點(diǎn)，例如右上圖中的D點(diǎn), 不是經(jīng)過左邊的E點(diǎn)，就是經(jīng)過下邊的F點(diǎn)。如果到E點(diǎn)有a種走法（此處a=6）,到F點(diǎn)有b種走法（此處b=4）,根據(jù)加法原理，到 D點(diǎn)就有（a+ b） 種走法（此處為6+ 4=10） o我們可以從左下角A點(diǎn)開始

11、，按加法原理，依次向 上、向右填上到各點(diǎn)的走法數(shù)（見右上圖），最后得到共有35條不同路線。例3左下圖是某街區(qū)的道路圖。從 A點(diǎn)沿最短路線到B點(diǎn)，其中經(jīng)過C點(diǎn)和D 點(diǎn)的不同路線共有多少條？分析與解：本題可以同例2一樣從A標(biāo)到B,也可以將從A到B分為三段，先 是從A到C,再從C至I D,最后從D到Bo如右上圖所示，從A到C有3種走 法，從C到D有4種走法，從D到B有6種走法。因?yàn)閺腁到B是分幾步走 的，所以應(yīng)該用乘法原理，不同的路線共有3MX6=72 （條）。例4沿左下圖中箭頭所指的方向從 A到B共有多少種不同的走法?分析與解：如右上圖所示，先標(biāo)出到 C點(diǎn)的走法數(shù)，再標(biāo)出到D點(diǎn)和E點(diǎn)的走 法數(shù)，然

12、后標(biāo)出到F點(diǎn)的走法數(shù)，最后標(biāo)出到 B點(diǎn)的走法數(shù)。共有8種不同的 走法。例5有15根火柴，如果規(guī)定每次取2根或3根，那么取完這堆火柴共有多少種 不同取法？分析與解：為了便于理解，可以將本題轉(zhuǎn)變?yōu)?上 15級臺(tái)階，每次上2級或3級， 共有多少種上法？ ”所以本題的解題方法與例1類似（見下表）。己眼嫖嶗t34$6Tg1)1 1123I已現(xiàn)履艱數(shù)g10J113145聚法數(shù)57qU注意，因?yàn)槊看稳?或3根，所以取1根的方法數(shù)是0,取2根和取3根的 方法數(shù)都是1。取4根的方法數(shù)是取1根與取2根的方法數(shù)之和，即0+ 1=1。 依此類t,取n根火柴的方法數(shù)是?。╪-3）根與取（n-2）根的方法數(shù)之和。所 以，

13、這用數(shù)（取法數(shù)）中，從第4個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都是它前面第3個(gè)數(shù)與前面第 2個(gè)數(shù)之和。取完15根火柴共有28種不同取法。練習(xí)211 .小明要登15級臺(tái)階，每步登1級或2級臺(tái)階，共有多少種不同登法？2 .小明要登20級臺(tái)階，每步登2級或3級臺(tái)階，共有多少種不同登法？3 .有一堆火柴共10根，每次取走13根，把這堆火柴全部取完有多少種不 同取法，4 .在下圖中，從A點(diǎn)沿最短路徑到B點(diǎn)，共有多少條不同的路線？5.左下圖是某街區(qū)的道路圖，C點(diǎn)和D點(diǎn)正在修路不能通過，那么從 A點(diǎn)到B點(diǎn)的最短路線有多少條?6.右上圖是八間房子的示意圖，相鄰兩間房子都有門相通。從A點(diǎn)穿過房間到達(dá)B處，如果只能從小號碼房間走向大號

14、碼房間，那么共有多少種不同的走法?練習(xí)201.38 種。2.10 種。提示：沒有年級訂99份時(shí)，只有三個(gè)年級各訂100份一種訂法；只有一個(gè) 年級訂99份時(shí)，另外兩個(gè)年級分別訂100份和101份，有6種訂法；有兩個(gè)年 級訂99份時(shí)，另外一個(gè)年級訂102份，有3種訂法。3.8 種。4.45個(gè)。提示：兩個(gè)數(shù)碼都是奇數(shù)的有 5X5 （個(gè)），兩個(gè)數(shù)碼都是偶數(shù)的有 4X5 （個(gè)）05.420 種。解：如右圖所示，按A, B, C, D, E順序染色。若B, D顏色相同，則有5X4X3X1M=180 （種）；若B, D顏色不同，則有5X4X3>2>2=240 （種）0共有不同的染色方法180+240=420 （種）o6.21 個(gè)。提示：與例5類似，連續(xù)四位都是2的只有1種，恰有連續(xù)三位是2的有4 種，恰有連續(xù)兩位是2的有16種。7.10 條。提示：第一步向下有5條，第一步向上有1條，第一步向左或向右各有 2<!-