九年級數學上冊小專題六線段等積式比例式的證明測試題新版湘教版2

1、1小專題（六）線段等積式、比例式的證明方法 1 三點定型法要證明的比例式的四條線段恰好是兩個三角形的對應邊時，可直接用“三點定型法”找相似三角形.針對訓練1.已知：如圖，/ ABC=ZADE 求證：AB- AE= AC- AD.證明：I /ABC=ZADE/A=ZA,ABSAADEAB ACAETAE，即 AB- AE= AC- AD.2.如圖，已知 ABC 中，點 D 在 AC 上，且/ ABD=/ C,求證：AB=AD- AC.證明：/ ABD=/ C,/A是公共角， ABD ACB.AADAC= AB AB = AD- AC.3.已知：如圖，在Rt ABC 中，/ ACT90, AB 的

2、垂直平分線交 AB 于 D,交 AC 于 E,交 BC 延長 線于F.求證：CD= DE- DF.證明：在RtAABC 中，/ ACB= 90, D 為 AB 中點,2/A+ZB=90,CD= AD./A=ZDCE.又TDF 垂直平分 AB,/BDF= 90.:丄B+ZF=90./ Dd F.又: Z CD FDCCD0AFDC.CD DE 剛帳右 DC 即CD= DE DF.4.如圖，在厶 ABC 中，AB= AC,點 D E、F 分別在 BC AB AC 上，ZEDF=ZB.求證：BD- CD= BE- CF.證明： ABC 中，AB= AC,ZB=ZC./ZB+ZBD+ZDEB= 180

3、,ZBD+ZEDF+ZFDC= 180,ZEDF=ZB,ZFDC=ZDEB.BD0ACFD.型 BECF=CD即 BD- CD= BE- CF.方法 2 等線段代換法從要證的結論難以找到相似三角形時，往往可用相等的線段去替換結論中的某些線段，再用“三點定型法”找相似三角形.針對訓練5.已知：如圖，在？ABCD 中，E 是 CB 延長線上一點， DE 交 AB 于 F.求證：AD- AB= AF- CE.3證明：/四邊形 ABCD 是平行四邊形,4/A=ZC, AB=CD, AD/ BC./ADF=ZE.AR AFCE= CD6 .如圖，在厶 ABC 中，點 D, E 在邊 BC 上,且厶 AD

4、E 是等邊三角形，/ BAC= 120,求證：DE = BD- CE.證明： ADE 是等邊三角形，DE= AD= AE/ADE=ZAED= 60/ADB=ZAEC= 120,/B+ZBAD 60.又/ BAC= 120, ZB+ZC=60. ZBAD=ZC. ABDACAE.AD荷 CE型 DEDE=CE即 DE = BD- CE.7.如圖，已知在 ABC 中，AB= AC, AD 是 BC 邊上的中線，CF/ BA BF 交 AD 于 P 點，交 AC 于 E 點.求證：Bh= PE- PF.AD AFCE=AB即 AD- AB= AF - CE.5證明：連接 PC.在厶 ABC 中， A

5、B= AC D 為 BC 的中點, AD 垂直平分 BC. PB= PC./PBC=ZPCB./ AB= AC,ABC=ZACB/ABC-/PBC=ZACB-/PCB即/ ABP=/ ACP.CF/ AB / ABP=/ F. / ACP=/ F.又 EPC=/CPFPC0APFC.PC PF荷 PC./ PC= PB,方法 3 等比代換法（找中間比）要證明的比例式無法直接通過平行或相似證出時，往往要找中間比進行過渡.針對訓練DP PE& 如圖，在厶 ABC 中，點 D、E、Q 分別在 AB AC BC 上 ,且 DE/ BC AQ 交 DE 于點 P.求證：-BQ= QC證明：在厶

6、ABQ 中，/ DP/ BQADPAABQ. DP：BQ= AP：AQ.同理 AEPAACQPB PFPE=PB即PB=PE- PF.6 PE：QC= AP：AQ.DP PE DP：BQ= PE：QC 即BQ=龍9.如圖，在？ABCD 的對角線 BD 上任取一點 P,過 P 點引一直線分別與 BA DC 兩邊的延長線交于 E、證明：在?ABCD 中,/ AB/ CD AD/ BCPJPB PF_PB PGTPDPH-PD翌 PFPG PH10.如圖，已知B、C、E 三點在同一條直線上， ABC 與厶 DCE 都是等邊三角形.其中線段BD 交 AC于點 G 線段 AE 交 CD 于點 F.求證：

7、ACEABCDAG AFCG-EF.證明：（1）ABC 與厶 DCE 都是等邊三角形, AC-BC, CE= CD/ACB=ZDCE= 60./DC&ZAC /ACBFZACD 即/ ACE=/ BCD.ACEABCD（SAS.G,又與 BC AD 兩邊交于 F、H,求證:PE PFB7/ ABC 與厶 DCE 都是等邊三角形， AB= AC, Ct ED, / ABC=/ DCE= 60.8/ABG=ZCDG/BAG/DCG.ABGACDG.方法 4 等積代換法（找中間積）針對訓練11.如圖，在 ABC 中，ADL BC 于 D, DEL AB 于 E, DF 丄 AC 于 F,求證

8、：AE- AB= AF - AC.證明： ADL BC DEL AB/ ADB= / AED 90.又/ DAB / BAD同理， ADFAACD AF - AC= AD. AE- AB= AF - AC.12.（崇明中考）如圖，ABC 中，點 D E 分別在 BC 和 AC 邊上，點 G 是 BE 邊上一點，且/ BAD / BGD =/AB ACCDED，AB/ DC.AG ABCG CD同理AF ACEF=ED，AG AFCGT愛 AEAET2即 AE- AB= AD.常用到基本圖形9C,連接 AG.求證：ABTAEAC證明：/BGD=ZC,ZDBG=ZEBCBGD BCE.BG BDBCTBE，即 BG- BE= BC- BD.又/BAD / C,ZABD / CBA ABBACBA.13.如圖，在 ABC 中，AD BF 分別是 BC AC 邊上的高，過 D 作 AB 的垂線交 AB 于E,交BF 于 G交 AC 的延長線于 H,求證：DE= EG- EH.證明： AD BF 分別是 BC AC 邊上高，DEL AB / AD=/ BED= 90. / EBDbZE