北京西城長安中學17-18點到平面距離的若干典型求法

1、點到平面距離的若干典型求法目錄1. 引言 12. 預備知識 13. 求點到平面距離的若干求法 33.1 定義法求點到平面距離 33.2 轉(zhuǎn)化法求點到平面距離 53.3 等體積法求點到平面距離 73.4 利用二面角求點到平面距離 83.5 向量法求點到平面距離 93.6 最值法求點到平面距離 113.7 公式法求點到平面距離 131 .引言求點到平面的距離是高考立體幾何部分必考的熱點題型之一，也是學生較難準確把握難 點問題之一。點到平面的距離的求解方法是多種多樣的， 本講將著重介紹了幾何方法（如體 積法，二面角法）、代數(shù)方法（如向量法、公式法）及常用數(shù)學思維方法（如轉(zhuǎn)化法、最值 法）等角度等七種

2、較為典型的求解方法，以達到秒殺得分之功效。2.預備知識（1）正射影的定義：（如圖1所示）從平面外一點P向平面引垂線，垂足為P，則點P叫 做點P在平面上的正射影，簡稱為射影。同時把線段 PP叫作點P與平面的垂線段。 點到平面距離定義：一點到它在一個平面上的正射影的距離叫作這點到這個平面的距離， 也即點與平面間垂線段的長度。(3) 四面體的體積公式1V Sh3其中V表示四面體體積，S、h分別表示四面體的一個底面的面積及該底面所對應的高。(4) 直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此 平面垂直。(5) 三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線

3、的射影垂直，那么它和這條斜線也垂直。(6) 二面角及二面角大?。浩矫鎯?nèi)的一條直線I把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形，叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面。圖2所示為平面與平面1所成的二面角，記作二面角:，其中I為二面角的棱。如圖在棱I上任取一點0，過點0分別在平面及 平面1上作I的垂線0A、0B，則把平面角 AOB叫作二面角:-的平面角，.AOB的 大小稱為二面角:- 一：的大小。在很多時候為了簡便敘述，也把.AOB稱作與平面1所 成的二面角?？臻g向量內(nèi)積：、，、呻屮代數(shù)定義：設兩個向量3=(為，,習)，b=(x2,y

4、2,Z2)，則將兩個向量對應分量的乘積之和 定義為向量a與b的內(nèi)積，記作a|_b，依定義有Ojb =x1x2 y1y2 z1z2幾何定義：在歐幾里得空間中，將向量a與b的內(nèi)積直觀地定義為0_b =| a |b | cos ： a, b .,向量內(nèi)積的這里兇、簡分別表示向量a、b的長度，：a,b.表示兩個向量之間的夾角。幾何意義為一個向量的模與另一個向量在這個向量正方向上投影向量模的乘積。當:&b =90°，即 a_b 時，0_b =| ；|b | cos ： a,b =| a |b |cos900 = 0。由余弦定理2OQ, C =PQ如圖3所示，設0、P、| c |2 =|

5、 a |2| b |2 -2 | a | b | cos ： a, bF面說明這兩種定義是等價的。再設 a=（為，yi,zj， b=（X2,y2,z2），貝U c =（« -冷，y? - 如，互一乙） 從而有(X2 -Xi)2(y2-yj2(Z2-zj2 = x2y；z2X；yfz2-2| a |b |cos ： a,b -即経 丫2 征=| a |b | cos ： a, b這就證得了兩個定義是等價的。3求點到平面距離的若干求法3.1定義法求點到平面距離（直接法）定義法求點到平面距離是根據(jù)點到平面的定義直接作出或者尋找出點與平面間的垂線段，進而根據(jù)平面幾何的知識計算垂線段長度而求得

6、點與平面距離的一種常用方法。定義法求點到平面距離的關鍵在于找出或作出垂線段，而垂線段是由所給點及其在平面射影間線 段，應而這種方法往往在很多時候需要找出或作出點在平面的射影。以下幾條結論常常作為尋找射影點的依據(jù)：兩平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于他們交線的 直線垂直于另一個平面。(2) 如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這個點在該平面內(nèi)的射影在 這個角的角平分線所在的直線上。(3) 經(jīng)過一個角的頂點引這個角所在平面的斜線。設斜線和已知兩邊的夾角為銳角且相等， 則這條斜線在這個平面的射影是這個角的角平分線。(4) 若三棱錐的三條棱長相等，則頂點在底

7、面上的射影是底面三角形的外心。例 如圖4所示，所示的正方體ABCD ABC» 棱長為a，求點A到平面AB D的距離。(注: 本文所有解法均使用本例)圖4解法一(定義法):如圖5所示，連結交BD 于點E，再連結AE，過點A作A H垂直于AE，垂足為H，下面證明 AH 平面AB D。AB圖5v AA 平面 A B C DBD _ AA又：在正方形ABC D 中，對角線BD_AC ，且AAflAC'A'AA 平面AAE, AC 平面AAE.由線面垂直的判定定理知道 B D 平面AAEv AH 平面AA EAH _ BD又由AH的作法知道AH _ AE，且有BD"

8、AE = E ,B D 平面ABD , AE 平面ABD.由線面垂直的判定定理知道 AH_平面ABD根據(jù)點到平面距離定義，A H的長度即為點A到平面AB D的距離，下面求AH的長度.AB D 中，容易得到AB'BDA =、.2a，從而.AB D為正三角形，.ABD = 6O0。進而在 Rt AB E 中，AE = AB sin . AB D =2asin 6O01 1由 s aaE AA AE AE A H 得到aV21aa*a"e aaacAEAH 二 AA 2 AE3從而A到平面ABD '的距離為一 a。33.2轉(zhuǎn)化法求點到平面距離或者由直接法作出的射影有時候限于

9、幾何體的形狀，不易直接尋找出點在平面的射影, 線段在所給幾何體中不易計算其長度，此時轉(zhuǎn)化法不失為一種有效的方法。轉(zhuǎn)化法即是將點 到平面的距離轉(zhuǎn)化為另一點到平面間的距離的方法。轉(zhuǎn)化法依據(jù)主要有以下兩點:(1)若直線I /平面，則直線I上所有點到平面的距離均相等。 若直線AB與平面交于點M，則點A、B到平面的距離之比為AM : BM。特別地， 當M為AB中點時，A、B到平面的距離相等。下面用轉(zhuǎn)化法重解上面例題解法二(轉(zhuǎn)化法)如圖6所示，連結AC、AC、AC、AB、AB，AC交BD于點E，連結AE交AC 于點H，延長A C至點G使得C G = 1 A C ，連結CG 。2DfAB圖6v CB _ 平

10、面 AAB B從而斜線AC在平面AABB的射影為ABv AB、AB 為正方形AABB對角線.AB _AB ,.由三垂線定理知道AB： AC同理可以得到AD 1AC又；AB "AD j，AB 平面 ABD，AD 平面 ABDA C _平面AB D AH _平面ABD，即點H為A在平面AB D的射影，AH的長度為所求11v AC/AC 即 AC/EG，且 EG =EC C G AC A C" = A C" = AC2 2四邊形ACGE為平行四邊形AE/CG在ACG由等比性質(zhì)有AH AE 1AC EG 3AH =-AC3而在正方體 ABCD -A BCD沖對角線AC A

11、 A2 AB2 BC2二.3a3在本例中，未直接計算垂線段 AH的長度，而是找出了其與正方體 ABCD-ABCD，中 對角線A C的數(shù)量關系，從而轉(zhuǎn)化為求正方體 ABCD -ABCD，對角線A C長度，而AC長度是極易計算的，故用這種轉(zhuǎn)化方法降低了運算量。本例運用的轉(zhuǎn)化方法與依據(jù)(2)類似，都是尋求所要求的垂線段與某一已知或易求線段的數(shù)量關系，從而簡化計算。3.3等體積法求點到平面距離用等體積法求點到平面的距離主要是一個轉(zhuǎn)換的思想，即要將所要求的垂線段置于一 個四面體中，其中四面體的一個頂點為所給點，另外三點位于所給點射影平面上，這里不 妨將射影平面上的三點構成的三角形稱為底面三角形。先用簡單

12、的方法求出四面體的體積， 然后計算出底面三角形的面積，再根據(jù)四面體體積公式v=2sh求出點到平面的距離h。在3常規(guī)方法不能輕松獲得結果的情況下，如果能用到等體積法，則可以很大程度上提高解題效 率，達到事半功倍的效果。特別是遇到四面體的有一條棱垂直于其所相對的底面時，首選此方法。下面用等體積法求解上面例子.解法三(等體積法)：如圖7所示，作A H垂直于平面AB D 于點H，則AB D長度為所 求。對于四面體AABD ，易見底面ABD 的高為AH，底面ABD 的高為AA。對四面體 AABD 的體積而言有：Va »BD - Va<ab D '11即有：AA S aBd A H

13、 S abd 3 3也即：AH=AA SABDs心b D '由AB'BDA，從而 ABD 為正三角形，.AB D丄60°，進而可求得Sabd =1aB AD sin ABD W（ 2a）2sin60° 二于a2又易計算得到Rt AB D 的面積為S .ABDa2所以 AH =AA s abdS AB1 2 _a a2丄3我們在使用等體積法求點到平面距離時使用的點與平面間的垂線段只是概念上的,不一定要知道點在平面射影的具體位置，從而也就不需要使用幾何方法尋找或者求作垂線 段，垂線段的長度在這種方法上只是作為幾何體高的意義而存在的。3.4利用二面角求點到平面距離

14、如圖8所示，I為二面角-1 - '的的棱，.AOB為二面角-1 - 1的一個平面角。下0A _ I、OB _ I又；0A“0B =0I -平面A0B又t BH 平面A0BBH _1又；BH _0A，0Ani=0，0A 二平面：，I-平面： BH _平面:-在RVQBH中，有BH =0Bsin B0H 這個公式就建立點到平面距離與二面角的一個數(shù)量關系。 從而如果能將點與平面置于一個二 面角中，則可利用通過所給點關于平面的一條斜線及二面角計算點與平面間的距離。下面利用二面角法求解上面例子。解法四（二面角法）：如圖9所示，連結A B、AB，A B與AB相交于點0 ,連結D Ov AB與AB

15、為正方形ABB A的對角線二AB丄ABH （即AO丄AB 0為ABH中點又 v ABD 中 AD '： = BDD 0 _ AB-AOD 為二面角A -AB -D 的平面角設A到平面AB D的距離為d，0A是過點A的關于平面AB D的一條斜線，又上面 得到的公式有d =OAsin AOD易見，DA 平面ABBA，從而DAlOA.在Rt AOD 中有tan NA "OD ' =-AD = f = 42oa42a2從而點A到平面ABD 的距離為d = OA sin _AOD 'asin（arctan、2）=3.5向量法求點到平面的距離向量法求點到平面的距離主要是依

16、據(jù)如下結論：點到平面的距離等于這個與平面上任 一點所連接的向量與該平面法向量方向上的單位向量數(shù)量積的絕對值。證明：如圖10所示，P為平面：外一點，Q為平面上任意一點，P0 平面于點0,n為平面：.的單位法向量PQn斗 pqn cos <：PQ,n >=iPQicos <Q, n >"pQ_n.|PO|=| PQfcos. QPO =|PO 冃 PQn |這個公式將點到平面的距離轉(zhuǎn)化為了過所給點的任意斜線上的起點和終點分別在所給 點及所給平面上一點的向量與平面法單位法向量的內(nèi)積。F面用向量法從新求解上面例子解法五(向量法)如圖11所示以D點為原點，DA，DC，D

17、D所在的正方向分別x, y，z軸的正方向建立空間直角坐標系圖11由所給條件知道坐標點 A(a,0,0)、A(a,0,a)，B (a,a,a)，D (0,0, a)，從而有 AB(0,a,a)，AD(-a,0,a)，AA：(0,0, a)。設平面ABD的任意一個法向量為n0=(x,y,z),則有n0 _ AB，n0 _ AD ,即代入已知得到ay az = 0-ax az = 0這是一個關于x, y, z的不定方程，為了方便起見，不妨設 z=1，這樣上式變?yōu)閍y a = 0-ax a = 0解該式得到x =1,y - 一1這樣就得到平面ABD 的一個法向量為，將其單位化得到平面 AB D的一4個

18、單位法向量為；二！，_）。設點A到平面ABD的距離為d，結合式所給 m | V3 V3 V3出的結論有d =| 人人£|=|010a -t |3V3v3v3 3即點A到平面ABD的距離為山。3用向量法求解點到平面的距離比之前面提供的幾種幾何方法而言，這種方法不需要大量的幾何證明，而主要是較為機械地進行代數(shù)運算。因而在實際使用這種方法時，第一步建立 空間直角坐標系常常成為最為關鍵的步驟，如果所建立的坐標系不能確定所給幾何圖形中關 鍵點（所給平面外點及所給平面上不共線的任意三個點）在建立的坐標系的坐標，則無法進 行后續(xù)步驟；如果所建立的坐標系雖然能夠表示的關鍵點的坐標，但在所建立的坐標系

19、中得 到關鍵點坐標的計算過程復雜，或者得到的關鍵點坐標表達式復雜， 都將會導致繁瑣的的計 算。因此，選擇恰當?shù)闹苯亲鴺讼祵τ谑褂帽痉椒昂喕嬎愣际窍喈斨匾摹?.6利用最值求點到平面距離在介紹最值法之前，先介紹一個簡單的知識，即點到平面的距離是點與平面上任意點連 線的最小值。以下對這點做簡要說明。如圖12所示，平面外一點P在平面的射影為點P , Q為平面上任意一點若Q不與P重合，則PQ = 0 , PPQ構成三角形。因PP1平面:,P Q 平面PPI PQ ,三角形PPQ為直角三角形，從而由勾股定理有PQ PP2 PQ2 PP這樣就證得了結論有了上面這個結論，那么只要找到平面外一點到平面上任

20、意一點的距離的函數(shù)表示，再求出該函數(shù)的最小值，則由上面結論即可知該最小值即為點到平面的距離。一般構造函數(shù)沒有確定的方法，不同的角度構造出的函數(shù)表示很可能是不一樣的， 不過這并不影響最終結果。 下面用常用的向量構造方法構造函數(shù)求解上面例子中點到平面的距離.解法六(最值法)如圖13所示，E為平面ABD上任意一點，以D點為原點，DA，DC， -HDD所在的正方向分別x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系。圖13由所給條件知道A(a,0,0)、A(a,0,a)，B(a,a, a)，D (0,0, a)從而有 AB =(0,a,a)AD 十a(chǎn),0, a)，AA = (0,0,設點E在所建立的坐標系下的坐

21、標為E(x,y,z)，因E在平面ABD 上，從而向量AE =（x -a, y,z）可由相交向量AB、AD 線性表示,不妨設AE二 AB AD則因此AE = AA AE 二 AB AD（a ）2 （a，aa）2二 a. 2-2 22 2- 2 ' -211 2 , 1 2 1, ,1 1f2（ ' 一3）2（一 3）2（ W）3-3a1（當且僅當時取等號）33R從而A到平面ABD 上點的距離最小值為 a，也即點A到平面AB D的距離為 a。33最值方法提供了求解點到平面距離的一種較為新穎的方法，同時這種方法是建立在對點到平面距離的深入理解的基礎上的，也有助于加深理解點到平面距離的

22、概念。不過這種方 法對使用者的代數(shù)知識素養(yǎng)要求較高，要將幾何圖形中的幾何關系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關系，構造 出平面外點到平面上點的函數(shù)關系，而且對函數(shù)最值的求法也需要較高的變形技巧，否則 即使構造出平面外點到平面上點的函數(shù)關系也難求出函數(shù)最值，故一般這種方法對水平較 高的讀者比較適用。3.7利用點到平面的距離公式求點到平面的距離點到平面的距離公式主要是利用解析幾何的知識，將所給點及平面均給予代數(shù)表式，從 而用代數(shù)方法得到的點與平面距離的統(tǒng)一的代數(shù)表示。 點到平面的距離公式的推導方法有相 當多，如直接用兩點間距離公式推導、利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何性質(zhì)推導、 利用球的 切平面性質(zhì)推導、利用極值法推導等等

23、。公式法的實質(zhì)是幾何量代數(shù)化的結果，因此絕大多 數(shù)求解點到平面距離的幾何方法轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言都可以得到一般意義上的點到平面的距離 公式。限于本文篇幅，就不對這些方法一一介紹了，下面僅從利用兩點間距離公式的角度給 出點到平面的距離公式一種推導。如圖14所示，平面外一點P在平面的射影為點P在某空間直角坐標系下，設平面 :的代數(shù)方程為：Ax By Cz 0P(xo, yo,zo)0將平面的方程改寫為，點P的坐標為A(x -X。) B(y y°) C(z - Zo) = -(Ax。 By。 Cz° D)又由PP _平面及直線PP過點P(x), y0,z0)知道直線PP的方程為X - Xoy - yo Z - ZoF面不妨設x 一 x°y - y°4=t將代入中得到 Ax. Byo Czo D2 2 2ABC顯然P 的坐標P (x, y, z)在直線PP 上，從而滿足，即有x -x0 = AtA(AXo By。Czo D)A2 B2 C2y 一 yo = BtB(Axo Byo Czo D)A2 B2 C2C(Ax。 Byo Czo D)A2 B2 C2進而根據(jù)兩點間的距離公式d =|PP F .,(x-xo)2 (y-y。)2 (y-y。)2(A2 B2 C2)(Axo Byo Cz° D)2(A2 B2 C2)2| Axo By。Cz