多變量經(jīng)濟(jì)模型

1、第八章再談多變量模型經(jīng)濟(jì)學(xué)是一門關(guān)于選擇的科學(xué)，要實(shí)現(xiàn)一個(gè)特定的經(jīng)濟(jì)目標(biāo)，譬如要實(shí)現(xiàn)一個(gè)特定水平的產(chǎn)出，通常有許多可供選擇的方式。但在這諸多選擇中，按照某一標(biāo)準(zhǔn)，會(huì)有一種方式比其他方式更好，根據(jù)所規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)，選擇適宜的方式，這就是最優(yōu)化問題的實(shí)質(zhì)。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中最常見的選擇標(biāo)準(zhǔn)是最大目標(biāo)（如廠商利潤最大化、消費(fèi)者效用最大化、廠商或一國增長率最大化等）或最小化目標(biāo)（如在給定產(chǎn)出下使成本最低等）。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，這類最大化問題和最小化問題統(tǒng)歸為最優(yōu)化問題。在數(shù)學(xué)中，求最優(yōu)化的問題就歸為求極值的問題。在前面的討論中，最優(yōu)化問題一直限制在目標(biāo)函數(shù)具有單一選擇變量或至多兩個(gè)選擇變量的框架內(nèi)。在上一章，我們將目標(biāo)

2、函數(shù)的形式進(jìn)行了拓展，研究了指數(shù)目標(biāo)函數(shù)和對(duì)數(shù)目標(biāo)函數(shù)。現(xiàn)在我們繼續(xù)擴(kuò)展思路，研究具有多選擇變量的目標(biāo)函數(shù)的極值問題。第一節(jié)多變量極值的條件討論當(dāng)目標(biāo)函數(shù)出現(xiàn)個(gè)選擇變量時(shí)，盡管我們?nèi)钥梢哉劶?n+1)為空間中的超平面，但不可能繪出函數(shù)的圖形。在這種不能圖形化的超平面中，仍可能存在(n+1)維的類似的峰頂和谷底。我們?nèi)绾握J(rèn)識(shí)他們呢？極值的一階條件我們具體考察一個(gè)具有三個(gè)選擇變量的函數(shù)：其一階偏導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，。利用楊氏定理，我們有。我們前面的討論表明，要得到的極大值或極小值，必須是對(duì)于不同時(shí)為零的任意值，。因?yàn)榈弥F(xiàn)在為：且因?yàn)槭遣煌瑫r(shí)為零的任意（無窮?。┳兓淖宰兞?，所以確保的唯一方法是。因此

3、，同兩變量情形一樣，極值的必要條件仍是所有一階偏導(dǎo)數(shù)均為零。二階條件假設(shè)在點(diǎn)及其鄰域內(nèi)有連續(xù)的一、二階偏導(dǎo)數(shù)，由泰勒公式可以得到：由于在點(diǎn)滿足一階條件，一階偏導(dǎo)數(shù)都為零，則 =這個(gè)括號(hào)里的表達(dá)式是三個(gè)變量、的二次型如果，即對(duì)任意鄰近的組合，它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值發(fā)都小于所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，因此必為極大值。把上述二次型進(jìn)行改寫：利用行列式，還可以進(jìn)一步改寫為顯然，上式是帶有系數(shù)的三個(gè)平方和。如果這些系數(shù)全部為負(fù)，則必定為負(fù)。因此，如果有則為負(fù)值。類似的，如果為正，則必為極小值。即如果有則為正值。這里應(yīng)該看到，我們推導(dǎo)出來的二階條件為充分條件而非必要條件。因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)的和為負(fù)并不一定要求每一個(gè)都為負(fù)；同樣三個(gè)

4、數(shù)的和為正也不要求每一個(gè)數(shù)都為正。求微分可以得到的表達(dá)式。在微分過程中，我們應(yīng)將導(dǎo)數(shù)作為變量，將微分作為常量對(duì)待。因此，我們有：在確定是正定或負(fù)定時(shí)，把視為可取任意值但不同時(shí)為零的變量，而把導(dǎo)數(shù)看作施加某些限制的系數(shù)。系數(shù)產(chǎn)生的海塞行列式其逐次主子式可表示為因此，根據(jù)上面討論的正定和負(fù)定的行列式判斷標(biāo)準(zhǔn)，我們可將的極值的二階充分條件表述如下：如果 為極大值： 為極小值： n-變量的情況 當(dāng)存在個(gè)變量時(shí)，目標(biāo)函數(shù)可以表示為全微分則為所以極值的必要條件(對(duì)任意)意味著務(wù)要求所有的一階偏導(dǎo)數(shù)等于零。二階微分還是一個(gè)二次形，其推導(dǎo)過程類似于(11.18)，并可以用一個(gè)陣列來表示。適當(dāng)重排該矩陣的系數(shù)，

5、可得到對(duì)稱海塞行列式；其主子式的定義如前。同以前一樣，極值的二階充分條件是：對(duì)于的極小值，所有個(gè)主子式為正；對(duì)于的極大值，第一個(gè)主子式為負(fù)，其他主子式符號(hào)交替改變?？偠灾?，若我們集中于行列式檢驗(yàn)，則我們把檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)列于表中，對(duì)于有任意選擇變量的目標(biāo)函數(shù)，這些標(biāo)準(zhǔn)均是有效的。在特殊情況下，我們可能有或。當(dāng)時(shí)，目標(biāo)行數(shù)為，最大化條件，可簡化為，類似的，當(dāng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)為，因而極大值的一階條件為，而二階條件變?yōu)?和 表. 相對(duì)極值的行列式檢驗(yàn)：條 件 極大值 極小值一階必要條件 二階充分條件 第二節(jié)經(jīng)濟(jì)應(yīng)用在上一節(jié)中，我們集中討論了多變量求極值的方法以及推導(dǎo)過程。在前幾章的求極值的討論中，我們也是側(cè)重

6、于研究其數(shù)學(xué)計(jì)算的方法。有了適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法，我們就得到了解決現(xiàn)實(shí)問題的鑰匙。下面，我們把目光轉(zhuǎn)向具體的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中來，總體地看一下這種方法在不同的經(jīng)濟(jì)條件下的運(yùn)用。多產(chǎn)品廠商問題例1 完全競爭條件下的兩產(chǎn)品廠商：因?yàn)槭峭耆偁幨袌觯詢缮唐返膬r(jià)格必然是外生的，在這里分別以和表示。據(jù)此，廠商的收益函數(shù)為 其中表示單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)品的產(chǎn)出水平。假設(shè)廠商的成本函數(shù)為注意 （第一個(gè)產(chǎn)品的邊際成本）不僅是的函數(shù)，而且是的函數(shù)。類似的，第二個(gè)產(chǎn)品的邊際成本也與，都有關(guān)系。因此，在給定的成本函數(shù)中，這兩個(gè)商品在生產(chǎn)上存在技術(shù)的相關(guān)性?，F(xiàn)在可將此假定廠商的利潤函數(shù)寫成它是兩個(gè)選擇變量，以及兩個(gè)價(jià)格參數(shù)的函數(shù)。現(xiàn)在

7、，我們的任務(wù)是求出使最大化的產(chǎn)出水平和的組合。先來考察一階條件：令得到聯(lián)立方程組解得以上，我們求得的是利潤最大化的必要條件。二階條件海塞矩陣為負(fù)定，因此，為利潤最大化的點(diǎn)。在此我們注意到二階海塞矩陣是確定的，與何處計(jì)值無關(guān)，在本例中處處負(fù)定。因此只要求得滿足一階條件的，就必然是使得利潤最大化的點(diǎn)。例2 接下來，我們把這個(gè)模型移植到壟斷市場環(huán)境中，在這一新的市場結(jié)構(gòu)假設(shè)中，收益函數(shù)需要做相應(yīng)的改變：兩產(chǎn)品價(jià)格將隨其產(chǎn)出的變化而變化，即，不再是固定的常數(shù)，而是和的函數(shù)。假設(shè)對(duì)壟斷廠商的需求函數(shù)如下：這個(gè)方程給我們傳遞了這樣一個(gè)信息:這兩種商品在消費(fèi)中存在著某種聯(lián)系。具體地說，他們是替代品。這是因?yàn)?/p>

8、它表明一種商品價(jià)格的提高將增大對(duì)另一種商品的需求。反過來說，也就是一種商品價(jià)格的降低將增大對(duì)本商品的需求而削弱對(duì)另一種商品的需求。這也就是市場上價(jià)格戰(zhàn)的根源。新聞?wù)浿袊孰娛袌鳊埢⒍芳尤肴掌?2005-10-28 提起彩電市場，近幾個(gè)月來可謂是熱鬧非凡，先是國內(nèi)彩電行業(yè)龍頭老大長虹電器公司作出驚人之舉：從3月26日起，在全國范圍內(nèi)降低43厘米至74厘米規(guī)格長虹彩電的售價(jià)，降幅為8一18，單機(jī)降價(jià)額為100850元。一石激起干層浪，長虹大幅度降價(jià)的舉動(dòng)立即引起社會(huì)各界尤其是家電行業(yè)的巨大反響。緊隨其后的是TCI公司，該公司宣布對(duì)社會(huì)實(shí)施“擁抱春天”大讓利行動(dòng)，每臺(tái)彩電降價(jià)幅度為120300元不

9、等；天津市彩電業(yè)亦作出相應(yīng)舉動(dòng)，宣布北京牌彩電和長城畫龍彩電的三種規(guī)格、十余種型號(hào)產(chǎn)品同時(shí)降價(jià)，每臺(tái)彩電價(jià)格平均降幅為100元，新一輪彩電價(jià)格大戰(zhàn)已是狼煙四起。 時(shí)過兩個(gè)月，國產(chǎn)彩電業(yè)的另一“霸主”康佳集團(tuán)亦宣布降價(jià)讓利措施：從6月6日起，康佳彩電在全國范圍內(nèi)實(shí)行大幅讓利銷售，從37厘米至74厘米所有品種，全面讓利，最高讓利金額為1200元臺(tái)，最大讓利幅度達(dá)20。而且康佳作出承諾：所有康佳彩電，從出售三日起，實(shí)行三年免費(fèi)保修，全天候服務(wù)快車，24小時(shí)售后熱線電話等等?？导训倪@一舉措使得原本不平靜的彩電市場變得更加動(dòng)蕩起來。兩個(gè)多月來，原本處于淡季的彩電市場一路旺銷，雖然部分品牌銷售受阻怨聲四起

10、，但得實(shí)惠的消費(fèi)者卻笑逐顏開。資料來源：在這里，我們既可以把，表示成和的函數(shù)，也可以把，表示成和的函數(shù)。在這里，可以把，表示成和的函數(shù)要更方便一些。將,視為參數(shù)，我們可以應(yīng)用克萊姆法則解：=因而，廠商的總收益函數(shù)可以寫成=+ +70再假設(shè)成本為 +那么利潤函數(shù)就成為+70一階條件：解得 （將此結(jié)果代入， 可以求得二階條件海塞矩陣為， 海塞矩陣負(fù)定，因此此時(shí)為極大值，意味著在處，利潤最大化達(dá)到。價(jià)格歧視（）即便在單一產(chǎn)品廠商中，也會(huì)涉及兩個(gè)或多個(gè)選擇變量的最優(yōu)化問題。下面我們來考慮這樣的情況：一個(gè)壟斷廠商在兩個(gè)或多個(gè)隔離的市場中銷售同種產(chǎn)品，因此需要確定向每個(gè)市場分別供給的數(shù)量以使利潤最大化。一

11、般而言，這幾個(gè)不同的市場會(huì)有不同的需求條件，如果在不同的市場中需球彈性不同，利潤最大化就會(huì)涉及價(jià)格歧視問題。例3 假設(shè)存在三個(gè)隔離的市場，即這次我們選擇三個(gè)變量。那么 其中這里符號(hào)表示第個(gè)市場的收益函數(shù)，每個(gè)收益函數(shù)的需求結(jié)構(gòu)一般來說是不同的。而對(duì)于廠商而言，由于它銷售的是同種產(chǎn)品，每個(gè)產(chǎn)品的成本是一樣的，因此總成本可以看成是總產(chǎn)量的函數(shù)。利潤函數(shù)為一階條件令上述方程全等于零，就得到即這表示廠商所選擇的在三個(gè)市場的各自供給水平、應(yīng)使得每個(gè)市場的邊際收益等于總產(chǎn)出的邊際成本。每個(gè)市場的邊際收益是第個(gè)市場的點(diǎn)彈性，通常為負(fù)。所以與之間的關(guān)系可以表示成由于廠商的為正，一階條件要求廠商在為正的水平上經(jīng)

12、營，因此相應(yīng)的要求廠商所選擇的銷售水平必須使該市場中相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)彈性大于一。即現(xiàn)在，一階條件可以表示為=上式說明在某一特定市場中，在產(chǎn)出水平已經(jīng)確定的情況下，廠商要獲得最大利潤，越小，在該市場收取的價(jià)格就會(huì)越高，這就是生活中普遍存在的價(jià)格歧視。價(jià)格歧視是利潤最大化壟斷者的理性戰(zhàn)略。通過對(duì)不同的顧客收取不同的價(jià)格，壟斷者可以增加利潤。實(shí)際上，價(jià)格歧視壟斷者向不同顧客收取不同的價(jià)格會(huì)比一種價(jià)格時(shí)更接近顧客的支付意愿，也就是奪取了部分或全部的消費(fèi)者剩余。對(duì)廠商來說要進(jìn)行價(jià)格歧視需要一些條件：1廠商必須面對(duì)向下傾斜的需求曲線。2兩個(gè)或兩個(gè)以上的購買集團(tuán)必須能在某一個(gè)成本下區(qū)別開來，該成本不超過來自區(qū)別他

13、們的貨幣收益。3必須阻止賤買貴賣的轉(zhuǎn)賣。4兩個(gè)或更多購買集團(tuán)對(duì)產(chǎn)品的需求價(jià)格彈性必須不同，并且為廠商所知，至少從序數(shù)的角度看，它對(duì)第三級(jí)價(jià)格歧視是必要的。價(jià)格歧視可以分為一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)價(jià)格歧視： 一級(jí)價(jià)格歧視MP如果廠商對(duì)每一單位產(chǎn)品都按照消費(fèi)者所愿意支付的最高價(jià)格出售，這就是一級(jí)價(jià)格歧視，也稱完全價(jià)格歧視。當(dāng)廠商銷售第一單位產(chǎn)品時(shí)，消費(fèi)者愿意支付的最高價(jià)格為，于是廠商按照此價(jià)格出售第一單位產(chǎn)品。當(dāng)廠商銷售第二單位產(chǎn)品時(shí)，廠商按照消費(fèi)者愿意支付的最高價(jià)格出售第二單位產(chǎn)品。依此類推，直到廠商銷售量為為止。這時(shí)，壟斷廠商得到的總收益相當(dāng)于圖中的面積。而如果廠商不實(shí)行價(jià)格歧視，都按同一個(gè)價(jià)格出售時(shí)

14、，總收益僅為的面積。（）0在上面的右圖中，壟斷廠商根據(jù)原則確定的均衡價(jià)格為，均衡數(shù)量為。當(dāng)存在價(jià)格歧視時(shí)，在產(chǎn)量小于的范圍內(nèi)，消費(fèi)者為每一單位產(chǎn)品所愿意支付的最高價(jià)格均大于，所以廠商增加產(chǎn)量就可以增加利潤。在產(chǎn)量達(dá)到后，消費(fèi)者為每一單位產(chǎn)品所愿意支付的最高價(jià)格仍均大于，所以廠商增加產(chǎn)量還可以增加利潤。因此，廠商始終有動(dòng)力增加產(chǎn)量，一直增加到水平為止。廠商獲得了最大利潤，消費(fèi)者剩余全部被壟斷廠商所占有，轉(zhuǎn)化為廠商收益的增加量。此外，在圖中可以看出，在的產(chǎn)量上，有，說明此時(shí)的和竟然等于完全競爭時(shí)均衡價(jià)格和均衡產(chǎn)量。所以，一級(jí)價(jià)格歧視下的資源配置是有效率的，盡管此時(shí)壟斷廠商剝奪了全部的消費(fèi)者剩余。

15、二級(jí)價(jià)格歧視二級(jí)價(jià)格歧視只要求對(duì)不同的消費(fèi)數(shù)量段規(guī)定不同的價(jià)格。實(shí)行二級(jí)價(jià)格歧視的壟斷廠商利潤會(huì)增加，部分消費(fèi)者剩余被壟斷者占有。此外，壟斷者有可能達(dá)到的有效率的資源配置的產(chǎn)量。 三級(jí)價(jià)格歧視三級(jí)價(jià)格歧視就是壟斷廠商對(duì)同一種產(chǎn)品在不同的市場上或?qū)Σ煌南M(fèi)群收取不同的價(jià)格。包括性別、年齡、就業(yè)崗位、地域差異等。本題的分析就是屬于這種價(jià)格歧視。對(duì)價(jià)格變化反應(yīng)不敏感的消費(fèi)者制定較高的價(jià)格，而對(duì)價(jià)格變化反應(yīng)敏感的消費(fèi)者制定較低的價(jià)格。我國金融市場呈現(xiàn)明顯的“寡頭壟斷”格局，尤其在銀行信貸市場更是如此，市場集中度相當(dāng)高。2001年，四大國有商業(yè)銀行的存款、貸款、資產(chǎn)所占市場份額分別為72.51%，66

16、.28%，78.82%。    在這種寡頭壟斷的市場中，作為銷售者的金融企業(yè)有條件通過對(duì)客戶和市場的細(xì)分來施行價(jià)格歧視，以獲取最大利潤。施行價(jià)格歧視的方法是多種多樣的，比如：    （一）客戶細(xì)分定價(jià)法    企業(yè)按照不同的價(jià)格，把同一種產(chǎn)品或勞務(wù)賣給不同的顧客，這一點(diǎn)在銀行對(duì)不同客戶提供的貸款利率上表現(xiàn)尤為突出。    （二）產(chǎn)品細(xì)分定價(jià)法    企業(yè)對(duì)不同型號(hào)或形式的產(chǎn)品分別制定不同的價(jià)格，但價(jià)格之間的差額和成本費(fèi)用之間的差額并不成比例。例如

17、，銀行發(fā)放的信用卡，分金卡、銀卡、普通卡和借記卡，成本相差無幾，只是形式不同，銀行對(duì)它們的收費(fèi)差別卻很大。    （三）地點(diǎn)細(xì)分定價(jià)法    企業(yè)對(duì)于處在不同位置的產(chǎn)品或服務(wù)分別制定不同的價(jià)格，即使這些產(chǎn)品或服務(wù)的成本費(fèi)用沒有任何差異。    （四）時(shí)間細(xì)分定價(jià)法    企業(yè)對(duì)于不同季節(jié)、不同時(shí)期甚至不同鐘點(diǎn)的產(chǎn)品或服務(wù)也分別制定不同的價(jià)格。比如隨著對(duì)銀行服務(wù)收費(fèi)管制的放松，銀行在不同的開業(yè)時(shí)間所提供的服務(wù)收費(fèi)不同，節(jié)假日或非正常開業(yè)時(shí)間收費(fèi)提高，以滿足那些對(duì)提供服務(wù)的時(shí)間有

18、特殊需求的顧客。    總之，銀行應(yīng)依據(jù)客戶和市場特點(diǎn)，實(shí)行靈活的多層次定價(jià)機(jī)制。通過對(duì)市場的細(xì)分，有效隔離用戶，提高產(chǎn)品的差別化，降低顧客對(duì)產(chǎn)品的需求價(jià)格彈性，借助于用戶支付習(xí)慣和用戶體驗(yàn)等讓顧客心甘情愿地買單。例如，對(duì)銀企關(guān)系密切的客戶，以客戶為對(duì)象考慮其對(duì)銀行的綜合貢獻(xiàn)，可就部分產(chǎn)品或服務(wù)給予其較大幅度的優(yōu)惠；對(duì)有高層次服務(wù)需求的潛在客戶，通過對(duì)一般服務(wù)的讓利和優(yōu)惠來吸引其購買高附加值服務(wù)；對(duì)中低端客戶，注重客戶的承受能力，以保本和薄利為定價(jià)依據(jù)來擴(kuò)大客戶規(guī)模；對(duì)處于市場引入期的服務(wù)品種，將通過較低的價(jià)格來增加對(duì)客戶的吸引力；對(duì)處于市場成熟期的服務(wù)品種，應(yīng)注

19、重對(duì)服務(wù)質(zhì)量的保證以贏得客戶的忠誠，并針對(duì)客戶需求及時(shí)推出新的業(yè)務(wù)。新聞?wù)涱櫩驮脚衷奖阋伺c“價(jià)格歧視” 2005年07月17日00:21   近日，在南京瑞金路一家大型超市，一兔肉商家為了吸引人氣，竟然根據(jù)購買者的肥胖程度來確定是否打折。據(jù)悉，男性體重須達(dá)80公斤、女性67公斤、兒童50公斤，購?fù)萌饪上硎?折優(yōu)惠。若超過100公斤，不論何人，均可按5折購買，此外，當(dāng)日體重最重的購買者，還能吃一個(gè)月免費(fèi)兔肉。（7月16日南京晨報(bào)）二階條件的檢驗(yàn)因此若要二階條件完全滿足，需要：1.即的斜率要小于的斜率。再根據(jù)對(duì)稱性，可以知道和 2.3.顯然，后兩個(gè)條件的經(jīng)濟(jì)意義并不

20、明了。但是，如果我們假設(shè)一般的函數(shù)為凹函數(shù)，函數(shù)為凸函數(shù)，那么 為凹函數(shù)，從而海塞矩陣一定負(fù)定，避免了檢驗(yàn)而階條件的必要性。廠商的投入決策例4 假定：1. 廠商運(yùn)用生產(chǎn)要素和生產(chǎn)單一產(chǎn)品2. 投入的要素價(jià)格 和以及商品的價(jià)格都是外生變量，不由廠商控制，我們將其表示為，3. 生產(chǎn)過程要年才能完成，所以在將銷售收益與現(xiàn)在發(fā)生的投入成本進(jìn)行比較之前，需要將其完全貼現(xiàn)為現(xiàn)值。在連續(xù)的基礎(chǔ)上，假定貼現(xiàn)率為。由上面的假設(shè)我們可以得到一組方程于是 是關(guān)于的方程一階條件令為零，得到 這表示投入要素的邊際產(chǎn)出（VMP）的現(xiàn)值應(yīng)該等于投入要素的價(jià)格。注意：由于，以及均為正值，要滿足上式，邊際物質(zhì)產(chǎn)品和必須同時(shí)為正

21、。按照等產(chǎn)量曲線，它具有非常重要的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋。等產(chǎn)量線是能獲得同樣產(chǎn)出水平的投入組合的軌跡，在平面圖形上是一組平行的凸向原點(diǎn)的曲線，由于每一等量線代表一個(gè)固定的產(chǎn)出水平，在任一等量曲線上，就有由此可以得到 等產(chǎn)量線的斜率要使和均為正，必須把廠商的投入選擇限定在等產(chǎn)量曲線斜率為負(fù)的弧段內(nèi)。等量線脊線N在圖中，經(jīng)營的相關(guān)領(lǐng)域是由兩條“脊線”所確定的陰影區(qū)域。在陰影區(qū)域之外，等產(chǎn)量曲線的斜率為正，一種投入要素的邊際產(chǎn)品必定為負(fù)。例如，由投入組合M移至N，表明投入保持不變時(shí)增加投入，會(huì)使我們達(dá)到更低的等產(chǎn)量線，即產(chǎn)出減少，為負(fù)。類似地，移至表明為負(fù)。在陰影區(qū)域面積內(nèi)，每一個(gè)等產(chǎn)量曲線可以視為的函數(shù)，因

22、為在這一區(qū)域內(nèi)對(duì)于每一個(gè)等產(chǎn)量線和是一一對(duì)應(yīng)的，即對(duì)于每一個(gè)可接受的值，等產(chǎn)量線確定了一個(gè)唯一的值。二階條件從上式可以看出 ， 表明當(dāng)廠商固定一種投入要素而改變另一種要素的投入量時(shí)，MPP（邊際產(chǎn)品）在選定的投入水平是遞減的。然而要注意和的遞減并不足以確保二階條件的滿足，還要考慮的大小，它度量當(dāng)一種投入的數(shù)量變化時(shí)，另一種投入的MPP的變化率。進(jìn)一步考察，等產(chǎn)量曲線的曲率與二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有關(guān)。將再對(duì)求導(dǎo) 這里 得到 代入第二行括號(hào)中的表達(dá)式是兩個(gè)變量和的二次型。如果二階充分條件得到滿足，那么 >0則上述二次型必然為負(fù)定，為正。因此二階充分條件的滿足意味著相關(guān)的（斜率為負(fù)）等產(chǎn)量線在選定的

23、投入組合中為嚴(yán)格凸。 在這里要特別注意區(qū)分等產(chǎn)量曲線 與生產(chǎn)函數(shù)的凹凸性。是在二維平面中繪出來的，而則在三維空間中繪出來的。為了滿足二階條件，適當(dāng)?shù)囊?guī)定是在三維空間中為嚴(yán)格凹，而規(guī)定相關(guān)的等產(chǎn)量曲線在二維空間中為嚴(yán)格凸（呈U形或U形的一部分）。例5 假設(shè)利息按季度計(jì)算復(fù)利，已知每季度利率為，還假設(shè)生產(chǎn)過程恰好需要一季度完成。利潤函數(shù)：一階條件二階條件與前面的推導(dǎo)類似，這里不再贅述。作為一個(gè)具體的實(shí)例分析，我們來看一下柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)。例6 同樣假定投入的要素價(jià)格 和以及商品的價(jià)格都是外生變量，不由廠商控制，我們將其表示為，這里生產(chǎn)函數(shù)變?yōu)?成本函數(shù)為總利潤 一階條件得到 兩式相除可以進(jìn)一

24、步得到 是產(chǎn)出對(duì)勞動(dòng)力的彈性參數(shù) 是產(chǎn)出對(duì)資本的彈性參數(shù) 由此我們可以看出，在使廠商利潤最大化的點(diǎn)處，與的比例是各自要素價(jià)格之比和各要素對(duì)產(chǎn)出彈性之比的積的倒數(shù)。要素的價(jià)格越高，對(duì)產(chǎn)出的彈性越大，那么這種生產(chǎn)要素的投入量就會(huì)越小。同時(shí)我們看到，當(dāng)都確定時(shí)，也是確定的，是一個(gè)與本身無關(guān)的值。當(dāng)我們給定了一個(gè)生產(chǎn)函數(shù)和成本函數(shù)，就給定了與的最優(yōu)比例。二階條件 由于 因此如果 則海塞矩陣負(fù)定，處取得極大值，能夠?qū)崿F(xiàn)利潤最大化。如果 則不是極值。如果 則為零，還需要進(jìn)一步判定。從上面的分析中可以看到，一階必要條件要求要使廠商獲得最大利潤，勞動(dòng)力和資本的投入必須遵循同一比率。如果，表示規(guī)模報(bào)酬遞減(di

25、seconomies of scale)，當(dāng)廠商以相同比例增加勞動(dòng)力和資本的投入時(shí)，產(chǎn)出增加不到倍，即生產(chǎn)彈性是小于的，那么滿足一階條件的即為使廠商利潤最大化的點(diǎn)。如果，表示規(guī)模報(bào)酬遞增（economies of scale），當(dāng)廠商以相同比例增加勞動(dòng)力和資本的投入時(shí)，產(chǎn)出增加 大于倍，說明增加投入對(duì)廠商是有利可圖的，在這里由于我們沒有考慮其他的一些限制條件，譬如擴(kuò)大規(guī)模增加的管理協(xié)調(diào)費(fèi)用等等，所以沒有利潤的極大值。在新的經(jīng)濟(jì)增長理論中，我們看到促進(jìn)產(chǎn)出增長的不僅有勞動(dòng)力和資本，還有技術(shù)的進(jìn)步。傳統(tǒng)的新古典經(jīng)濟(jì)增長理論把技術(shù)進(jìn)步假定為不受經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)內(nèi)任何變量影響的外生變量，好像技術(shù)進(jìn)步是從天上掉

26、下來的。而新增長理論則建立了一個(gè)理論框架，認(rèn)為支配生產(chǎn)過程的內(nèi)部體系可以比外部體系對(duì)經(jīng)濟(jì)的持續(xù)增長發(fā)揮更重要的作用，試圖從經(jīng)濟(jì)體系內(nèi)部因素解釋技術(shù)進(jìn)步，并結(jié)合當(dāng)前世界各國經(jīng)濟(jì)發(fā)展的現(xiàn)實(shí)提出了技術(shù)內(nèi)生化的思路：即先把技術(shù)進(jìn)步具體化為人力資本積累。由于人力資源積累的外部效應(yīng)，即全社會(huì)平均的人力資本水平提高使生產(chǎn)要素的收益和規(guī)模收益遞增，從而使經(jīng)濟(jì)保持長期增長。全國專業(yè)技術(shù)人員*按職稱系列分類(19982003)千人   1998 1999 2000 2001 2002 2003 合計(jì) Total 20913 21430 21651 21698 21860 21740 工程技術(shù)人員 Eng

27、. Personnel 5657 5655 5551 5316 5289 4993 農(nóng)業(yè)技術(shù)人員 Agri. Personnel 636 654 670 675 667 683 衛(wèi)生技術(shù)人員 Medical personnel 3255 3330 3372 3390 3402 3441 科學(xué)研究人員 Sci. researchers 291 284 275 266 263 275 教學(xué)人員 Teachers 11075 11508 11783 12051 12239 12347 資料來源：中國科技統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（）例7 下面我們來看一個(gè)三個(gè)生產(chǎn)要素的生產(chǎn)函數(shù)：是資本， 是勞動(dòng)（工人數(shù)目）， 是人力資

28、本（大學(xué)畢業(yè)生人數(shù)）那么，該廠商的利潤函數(shù)即為：利潤最大化的一階條件：可以解得 從上式我們可以看到，各個(gè)生產(chǎn)要素在生產(chǎn)函數(shù)和要素價(jià)格給定的情況下投入比例是固定的，即要使廠商利潤最大化，各個(gè)生產(chǎn)要素必須按已定的比例進(jìn)行投入。二階條件從上式可以看出，要滿足二階條件達(dá)到廠商利潤的最大化，還需要 即根據(jù)對(duì)稱性我們還可以得出 以及 這說明，在三個(gè)投入要素的柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)情況下，廠商要實(shí)現(xiàn)利潤最大化，除了一階的必要條件，還要滿足任意兩個(gè)要素的規(guī)模報(bào)酬遞減，三個(gè)要素的整體生產(chǎn)函數(shù)規(guī)模報(bào)酬也遞減。我們把結(jié)論總結(jié)如下：在以 柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)和我們假設(shè)的成本函數(shù)為模型的生產(chǎn)廠商情況下一階條件要求各個(gè)

29、生產(chǎn)要素的投入必須滿足一個(gè)特定的比例，這個(gè)數(shù)值和它們各自的要素價(jià)格以及各要素對(duì)總產(chǎn)出的貢獻(xiàn)率有關(guān)。二階條件當(dāng)生產(chǎn)函數(shù)滿足對(duì)任意個(gè)投入要素組合的規(guī)模報(bào)酬遞減時(shí)，廠商利潤達(dá)到最大。當(dāng)生產(chǎn)函數(shù)滿足對(duì)某個(gè)投入要素組合中規(guī)模報(bào)酬遞增時(shí)，廠商利潤沒有極值。當(dāng)生產(chǎn)函數(shù)滿足對(duì)某個(gè)投入要素組合的規(guī)模報(bào)酬不變時(shí)，是否達(dá)到利潤最大化還需要進(jìn)一步判別。我們看下面的一個(gè)具體的例子：例8 假設(shè)廠商的成本函數(shù)為 那么，該廠商的利潤函數(shù)即為：利潤最大化的一階條件：可以解得 二階條件我們可以看出，因?yàn)檫@里的柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)是規(guī)模報(bào)酬不變的，所以第三個(gè)順序主子式是等于零的。那么滿足一階必要條件的生產(chǎn)要素組合（按一定比例）能

30、否使廠商利潤最大化就需要用其他辦法進(jìn)一步判別。在這里，我們需要說明：以上我們討論的求極值的方法，一階必要條件和二階充分條件并不能解決所有的求極值的問題。當(dāng)函數(shù)不可導(dǎo)或者海塞矩陣為零的時(shí)候，上述方法就無能為力了。第三節(jié)最優(yōu)化的比較靜態(tài)最優(yōu)化作為一種特殊類型的比較靜態(tài)分析，自然也可以用于研究比較靜態(tài)方面的問題。其思想仍然是求出任意參數(shù)的變化將如何影響模型的均衡狀態(tài)；在這里模型的均衡狀態(tài)是指選擇變量的最優(yōu)值，從而目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值。我們?cè)谶@里研究的變化是從一個(gè)均衡狀態(tài)到另一個(gè)均衡狀態(tài)的改變，是在滿足均衡狀態(tài)的條件下的比較靜態(tài)。簡化型解在上節(jié)例1中，包含兩個(gè)參數(shù)（或外生變量）和，因此這個(gè)兩產(chǎn)品廠商的最優(yōu)

31、產(chǎn)出水平可嚴(yán)格得按照這兩個(gè)參數(shù)表示： 和 這兩個(gè)是簡化型解，可以直接求出模型的比較靜態(tài)性質(zhì)：要獲得最大利潤，當(dāng)某產(chǎn)品的價(jià)格上升或另一種產(chǎn)品的價(jià)格下降時(shí)，廠商應(yīng)擴(kuò)大該產(chǎn)品的產(chǎn)量。 這些結(jié)論僅在所研究模型的特定假設(shè)下才成立，變化對(duì)的影響、變化對(duì)的影響是假設(shè)兩產(chǎn)品在生產(chǎn)方面存在技術(shù)相關(guān)性的結(jié)果。當(dāng)不存在這種技術(shù)相關(guān)性時(shí)，我們有：一般函數(shù)模型應(yīng)用隱函數(shù)定理，在目標(biāo)均衡中，我們利用最優(yōu)化的一階條件：假設(shè)函數(shù)和擁有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，如果此方程對(duì)內(nèi)生變量的雅可比行列式在初始均衡時(shí)不為零，則可以應(yīng)用隱函數(shù)定理。因此，若我們假設(shè)利潤最大化的二階充分條件得到滿足，則在初始均衡或極值處，必定為正，也為正。所以，根據(jù)隱函數(shù)定

32、理，我們可以寫相互以下兩個(gè)隱函數(shù)以及以下兩個(gè)恒等式為研究此模型的比較靜態(tài)性質(zhì)，首先取每個(gè)恒等式的全微分。暫時(shí)我們?cè)试S外生變量變化，所以全微分的結(jié)果將包含，以及，和。如果我們將等號(hào)左邊僅放置那些包含和的項(xiàng)，則結(jié)果為我們應(yīng)該注意到，和左邊的系數(shù)正好是雅可比行列式的元素。并且我們可以看到這里比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)一共有十個(gè)，分別為：要導(dǎo)出具體的比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)，每次僅允許一個(gè)外生變量發(fā)生變化。譬如，假設(shè)只有變化，則，但 我們可以解得矩陣方程由克萊姆法則，可以求得下面我們來分析比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)。一階條件可以推出： 二階條件可以推出： 又因?yàn)橐欢檎虼?，?，即增加一種投入要素將提高另一種投入要素的MPP，我們

33、就可以得到 和 均為正，這意味著產(chǎn)品價(jià)格的提高，會(huì)導(dǎo)致均衡時(shí)兩種投入要素使用量的增加。若 導(dǎo)數(shù)的符號(hào)還要取決于各個(gè)偏導(dǎo)的具體值。一階和二階條件的符號(hào)限制在計(jì)算比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)時(shí)仍然是有用的。因?yàn)樗梢愿嬖V我們、的符號(hào)以及在初始均衡最優(yōu)值處雅可比行列式的符號(hào)。習(xí)題：1. 求下列函數(shù)的極值，運(yùn)用行列式檢驗(yàn)判定它們是極大值還是極小值。2. 一個(gè)兩產(chǎn)品的廠商的需求函數(shù)和成本函數(shù)如下：（a） 求滿足利潤最大化一階條件的產(chǎn)出水平。（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）（b） 檢驗(yàn)二階充分條件。你能斷定此題只有一個(gè)絕對(duì)極大值嗎？ （c） 最大利潤為多少？ 3. 在第二節(jié)例3均衡價(jià)格和均衡利潤的基礎(chǔ)上，計(jì)算需求的點(diǎn)彈性。哪個(gè)市場的需求彈性最高？哪個(gè)市場上的需求彈性最低？4. 設(shè)某國對(duì)兩種