大學物理科學出版社質點運動學

1、第一章 質點運動學一、 基本要求1 掌握位矢、位移、速度、加速度，角速度和角加速度等描述質點運動和運動變化的物理量。2 能借助于直角坐標計算質點在平面內運動時的速度、加速度。3 能計算質點作圓周運動時的角速度和角加速度，切向加速度和法向加速度。4 理解伽利略坐標，速度變換。二、 基本內容1 位置矢量（位矢）位置矢量表示質點任意時刻在空間的位置，用從坐標原點向質點所在點所引的一條有向線段表示。 的端點表示任意時刻質點的空間位置。同時表示任意時刻質點離坐標原點的距離及質點位置相對坐標系的方位。位矢是描述質點運動狀態(tài)的物理量之一。注意：（1）瞬時性：質點運動時，其位矢是隨時間變化的，即；（2）相對性

2、：用描述質點位置時，對同一質點在同一時刻的位置，在不同坐標系中可以是不相同的。它表示了的相對性，也反映了運動描述的相對性；（3）矢量性：為矢量，它有大小，有方向，服從幾何加法。在直角坐標系Oxyz中質點運動時， （運動方程矢量式）（運動方程標量式）。位移 的模。注意：（）與：前者表示質點位置變化，是矢量，同時反映位置變化的大小和方位；后者是標量，反映質點位置離開坐標原點的距離的變化。（）與：表示時間內質點通過的路程，是標量，只有質點沿直線運動時兩者大小相同或時，。3. 速度 是描述位置矢量隨時間的變化。在直角坐標系中的方向：在直線運動中，v>0表示沿坐標軸正向運動，v<0表示沿坐標

3、軸負向運動。在曲線運動中， 沿曲線上各點切線，指向質點前進的一方。注意：（1）瞬時性，質點在運動中的任一時刻的速度是不同的；（2）矢量性，速度為矢量，具有大小，方向，求解速度應同時求得其大小和方向；（3）相對性：運動是絕對的，但運動描述是相對的，所以必須明確參照系，坐標系，在確定的坐標系中求質點的速度；（4）疊加性，因為運動是可疊加的，所以描述運動狀態(tài)的物理量速度也是可疊加的；（5）要注意區(qū)別速度和速率，注意與，與的區(qū)別。4 加速度 ，描述質點速度矢量隨時間的變化，其中包括速度的大小和方向隨時間的變化。不論速度的大小變化，或者是速度方向的變化，都有加速度。加速度為矢量。在直角坐標中，其中，。在

4、自然坐標系中 ，其中，加速度的方向與速度方向無直接關系。在直線運動中，若與同向，則質點作加速運動，與反向，則質點作減速運動。在曲線運動中，方向總是指向曲線凹的一側的。5圓周運動的角速度、角加速度角速度 角加速度 角量與線量的關系：，6加利略速度變換 其中為運動物體相對固定參照系的速度，稱為絕對速度；為運動物體相對運動參照系的速度，稱為相對速度；為運動參照系相對固定參照系的速度，稱為牽連速度。三、典型例題：【例11】 如圖11（a），在離水面高為的岸邊，有人通過滑輪用繩拉船靠岸，設人收繩的速率恒定為，求當船到滑輪的距離為時，繩上點距離為的點速度？ （a） （b）例11圖解: 分析：在收繩過程中，

5、段內繩上各點的運動情況（軌跡、速度大小和方向）各不相同，繩上各點速度的大小和收繩速率也是兩個不同的概念。下面用坐標法求解，以為原點建立平面直角坐標系如圖11（b）點的運動方程為 點的速度 由圖知：，利用 可得：將代入式得：討論：（1）式表明，繩上不同點得速度大小、方向均不相同。當時，則此即船速，“”號說明船的運行方向水平向左。（2）如果用極坐標法求解，則求得的速度的兩個分量分別為徑向分量和橫向分量，其中徑向分量是指速度沿繩方向的分量，其大小即為收繩速率。橫向分量是指速度垂直于繩方向的分量。（3）從圖11(b)的示意圖中可以定性地看出，繩上各點（除點）的運動軌跡為曲線，可知繩上各點具有加速度。由

6、加速度定義式，運用在直角坐標系中的表達式不難求得繩上各點加速度大小和方向的定量表達式。說明：大學物理和中學物理的一個重要區(qū)別是開始把高等數(shù)學作為研究物理解決物理問題的一個重要手段，從而使學習的內容上了一個臺階。便于應用微積分運算的坐標法，是在大學物理課程中定量研究物理問題的一個重要方法。這種方法的一個特點是解題過程的程序化，當物理量（如速度、加速度等）不是恒量而是隨時間變化的一般情形時，運用坐標法解這類較復雜的問題顯得尤為方便?！纠?2】 如圖12所示。一質點在平面內運動，其運動方程為（SI）。求時，質點運動的速度、切向加速度的大小、法向加速度的大小和此時質點所在處軌道的曲率半徑。例12圖解：

7、分析：已知運動方程的坐標表達式，用坐標法求解較為方便。速度 （SI）加速度 (SI)當時， (SI)由式得 (SI)由定義，切向加速度為（SI）當時，而質點在該處軌道的曲率半徑為說明：運用高等數(shù)學中求曲線的曲率半徑，要代入公式運算比較繁瑣（同學們自己完成），這里運用法向加速度和切向加速度公式求解，要簡捷得多?！纠?3】空中打靶如圖13，當子彈從點射出時，小球（目標）開始自由下落，若要保證子彈在目標落地之前擊中它，求子彈出射速度的方向和速度大小的范圍。已知點得高為，距點的水平距離為。例13圖解：分析：子彈擊中目標得必要條件是：（1） 子彈和靶的軌道在地面以上相交。（2） 子彈和靶同時到達交點。為

8、此可用坐標法求解該題，但根據(jù)相對運動的理論運用矢量圖解法解本題更為簡潔：在任一時刻，子彈的速度為而靶作自由落體運動，速度為由相對運動速度公式，子彈相對于靶的速度上式表明，子彈相對于靶作勻速直線運動，因此，為擊中靶，最初槍必須瞄準射擊，使的方向指向靶，即仰角應滿足相對靶，子彈沿直線運動，擊中靶的時間為而靶自由下落到地面所用的時間為為保證子彈在靶落地之前擊中，應小于或等于，即：得大小范圍為請同學們用坐標法解此題，并比較這兩種解法，希望大學在熟練掌握坐標法這一基本方法的基礎上能靈活運用矢量圖解法求解一些特殊的問題。四、 習題選解1-1 從原點到P點的位置矢量。而P點到Q的位移。求從原點到Q點的位置矢

9、量，并作圖表示。解： 由位移定義 設Q點坐標為（x，y）則 而 顯然 故 題1-1圖1-2 設質點沿x軸運動，其運動方程為（式中 x以m計，t以s計）。求（1）質點在3 s末的速度和加速度；（2）質點在1.5 s是作加速運動還是作減速運動；（3）第1 s末到第3 s末時間內的位移和路程。解： （1） 以 t=3 s代入上兩式分別得（2） t=1.5 s代入v、a表達式分別得a與v反向，質點作減速運動。（3）位移由 得 即t=2 s時質點瞬時靜止，其后反向運動。故路程 1-3 一質點在Oxy平面內運動，運動方程為。求：（1） 質點的軌道方程；（2） t時刻質點的位置矢量，速度矢量；（3） 什么時

10、刻質點的位置矢量與其速度矢量恰好垂直？（4） 什么時刻質點離原點最近？求這一距離。解： （1）由消去t得軌道方程為 （x>0）（2） 而 故 （3） 時 則 即得 （4） 取極小值，由 得 （舍去）但 故 t=3 s時質點離原點距離最近，其距離為6.08 m。1-4 一質點具有恒定加速度。時，質點速度為零，位置矢量。求（1） 質點在任意時刻的速度和位置矢量；（2） 質點的軌跡方程。解： 由題意知：（1） 而 同理 即而 由此可得 （2） 軌道方程由消t得 即1-5 消防水槍噴出的水的流量是。水的流速。若水槍豎直向上噴射，水流上升的高度是多少？在任一瞬間空中有多少升水？解： 豎直上拋的最大

11、高度水上升到最大高度的時間，由 （令，為上升到最高點的速度） 得 則 水在空中運動5.2 s 噴向空中水 （升）噴向空中水 （升）1-6 一升降機以加速度上升，當上升速度為 時，有一螺帽自升降機的天花板上松落，天花板與升降機的底面相距。計算：（1）螺帽從天花板落到底面所需的時間；（2）螺帽相對升降機外固定柱子下降的距離。解： 以地面為參照系，坐標原點選在升降機以速度上升時刻機外固定柱上對應升降機地板所在處，向上為正。（1）螺帽在=0 時，從處以初速為作上拋運動。其運動方程為 地板在=0時，以初速，從原點作加速運動，其方程為 螺帽落地時 （2）螺帽下降的距離1-7 如圖所示，有人在離水面高h處通

12、過滑輪用繩子拉船靠岸。 設人用勻速收繩子拉船，求當船與滑輪的水平距離為x時，船的速度和加速度的大小重要。解： 由圖可知 題1-7圖示 人以勻速收繩拉船 的方向沿x軸負方向船的加速度 的方向沿x軸負方向 1-8 如圖所示，一人站在山坡上，山坡與水平面成 a 角。他扔出一個初速為的小石子，與水平面成 q 角（向上），求（1）如空氣阻力不計，試證小石子落在斜坡上距離為s處 題1-8圖（2）由此證明，對于給定的與a 值，s在時有最大值：解： 以斜面方向為x軸，垂直于斜面為y軸，扔出點為原點建立xOy坐標系。（1） 小石子落地時 y=0落地時間小石子落在斜坡上的距離（2） 對于給定的和 a 值由上式可知

13、，小石子落在斜坡上距離s 最大值的條件是 故 1-9 一個人扔石頭的最大出手速度為，他能擊中一個與他的手水平距離為l=50m，高h為13m處的一個目標嗎？在這個距離上他能擊中的目標的最大高度是多少？解： 以出手點為原點，建立xOy坐標，設出手速度與x軸夾角為，忽略空氣阻力有消去t，得石頭運動軌道方程 題1-9圖代入 當時y取極值 故當時，y在L=50m處最高高度為： 所以不能擊中目標，能擊中的最大高度是12.3m。1-10 一質點沿直線運動，其坐標x與時間t如下關系， （A，b皆為常數(shù)）。 求（1）任意時刻t質點的加速度；（2）質點通過原點的時刻t。解： 質點運動方程 （1）速度 （2）加速度

14、（3）質點通過原點時 由于  k=0,1,2, t= k=0,1,2,1-11 一質點沿半徑為R的圓周運動，其路程s隨時間t變化的規(guī)律為 式中b、c為大于零的常數(shù)，且。求（1）質點運動的切向加速度和法向加速度； （2）的時刻t。解： 質點作圓運動 （1）速率 切向加速度 法向加速度 （2）切向加速度 法向加速度當時 1-12 一質點沿半徑為R的圓周按路程為的規(guī)律運動，其中都是常量，求：（1）t時刻質點的加速度；（2）t為何時，加速度的大小等于b？（3）當加速度為b時，質點沿圓周運動了多少圈？解： 質點作圓周運動 （1）速率 切向加速度 法向加速度 質點的加速度大小為 與的夾角 （2）

15、當a=b時 （3）a=b時， 質點沿圓周運行的圈數(shù) 1-13 一質點沿半徑為0.1m的圓周運動，用角坐標表示其運動方程為 求： （1）t=2s時質點切向加速度和法向加速度的大小；（2） 當q 等于多少時，質點的加速度和半徑的夾角成45°。解： 質點作圓周運動 （1）角速度 角加速度 切向加速度 法向加速度 （2）質點的加速度和半徑的夾角為45°，即與成45°角，此時質點的角位移 1-14 一個半徑為R=1.0m的圓盤，可以繞一水平軸自由轉動，一根輕繩繞在盤子的邊緣，其自由端栓一物體A，如圖所示。在重力作用下，物體A從靜止開始勻加速的降，在Dt=2.0s內下降的距離

16、h=0.4m。求物體開始下降后3s末，邊緣上任一點的 切加速度與法向加速度。書館 題1-14圖解： 在豎直方向建立 x 坐標，t=0時，物體由靜止開始勻加速下降，設加速度為a，圓盤邊緣一點的切向加速度法向加速度 ， 1-15 從同一地點，以相同速率朝不同方向把許多石子扔向空中，由運動學公式證明這些石子在空中相同高度處有相同速率（不計空氣阻力）。證： 設某一石子的拋射角為q，初速率為。在任一時刻t，石子沿x軸和y軸的速度分量為石子在t時刻的高度 故作拋體運動的石子在任一時刻的速率與拋射角q無關，只取決于高度H和初速。這些石子在相同高度處有相同速率。1-16 如圖所示，在一平坦高地上安放一門炮地邊

17、緣是一向下的陡壁，炮位距離陡壁l=8100m，陡壁下面的地平面低于炮位h=100m。用炮轟擊掩蔽在陡壁后面的目標。如果炮彈出口速率為， 忽略空氣阻力 ，求： 題1-16圖 （1）離陡壁最近的炮彈彈著點距陡壁的距離d；（2）這時炮彈出口速度與水平面的夾角q 。解：炮彈著地點若離陡壁最近，則炮彈會經過高地邊緣。炮彈作拋體運動的軌道方程炮彈經陡壁邊緣 =炮彈出口速度與水平面夾角炮彈落地點 1-17 如圖所示，一氣象氣球自地面以勻速v上升到天空，在距離放出點為R處的A點用望遠鏡對氣球進行觀測。記錄得氣球的仰角q為時間t的函數(shù)。（1）求出用h和R表示仰角q 的公式；（2）求出作為時間的函數(shù)的公式；（3）

18、試證當上升時間時，將按趨近于零。 題1-17圖解：（1）由圖可知，任一時刻t 氣球勻速上升 （2）等式 ，兩邊對時間t求導（3）當上升時間時，當，趨于零。1-18 為轉播電視而發(fā)射的地球同步衛(wèi)星，它在赤道上空的圓形軌道上運動，周期等于地球自轉周期T=24h。求衛(wèi)星離開地面的高度和衛(wèi)星的速率（距地球中心r處的重力加速度，是地球半徑）解：由題知同步衛(wèi)星作圓周運動的角速度，向心加速度， 。 又 向心力由萬有引力提供，所以 衛(wèi)星高度 衛(wèi)星速率 1-19 一飛輪的角速度在5s內由均勻地減到。求（1）角加速度；（2）在此5s內的總轉數(shù)；（3）再經多長時間，輪將停止轉動。解：飛輪作勻減速運動，在t=5s內角

19、速度由減至，角位移為。設角加速度為（1）由勻速圓周運動速度方程 （2）由 （3）又經時間，飛輪停止轉動 又 1-20 北京正負電子對撞機的儲存環(huán)的周長為240m，電子要沿環(huán)以非常接近光速的速率運行。這些電子運動的向心加速度是重力加速度的幾倍？解：電子以接近光速c的速率作圓周運動，儲存環(huán)的周長為L半徑為R。向心加速度 1-21 一無風的下雨天，一火車以的速度前進，車內旅客看見玻璃窗上的雨滴和鉛垂線成75°角下降，求雨滴下落的速度（設下降的雨滴作勻速運動）。解：以地面為參照系，火車相對地面運動的速度為，雨滴相對于地面的運動速度為，旅客看到雨滴下落的速度為雨滴相對于火車的運動速度。 題1-21圖 1-22 飛機A以的速率（相對地面）向南飛行。同時另一架飛機B以的速率（相對地面）向東偏南3