湖北省洪湖市曹市鎮(zhèn)慶豐中學(xué)鄧志超（教學(xué)論文）

1、三角形的邊與角一章中，關(guān)系角之間的計(jì)算規(guī)律微探湖北省洪湖市曹市鎮(zhèn)慶豐中學(xué)鄧志超在教學(xué)三角形的邊與角一章時(shí)，有幾類與三角形的邊與角有關(guān)的題型，這些題目都有比較明顯規(guī)律可循，特別是在學(xué)生做選擇填空題時(shí)，更可以大大提高解答的速度，在解答題中，也可為學(xué)生指明分析的方向，并可以作為判斷解題的結(jié)果正確與否的依據(jù)。對(duì)于三角形的角之間的關(guān)系，最根本的依據(jù)是三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180º；三角形內(nèi)角和定理的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；與之有關(guān)的即特殊的三角形直角三角形中兩個(gè)銳角互余及有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。以此為基礎(chǔ)的相關(guān)題目中，能找出規(guī)律的最典型的題目如

2、下：一、三角形中，過同一頂點(diǎn)的高與角平分線夾角的計(jì)算。題目一：（2010年春 相城區(qū)期末）如圖1-1，ABC中，AD是BC邊上的高，AE是三角形BAC的角平分線.（1）若B=40°，C=70°，則DAE為多少度？（2）若B=，C=，且>，請(qǐng)用和表示出DAE.題目二：（2014年秋 中江縣期中）如圖1-2，ABC中，AD是BC邊上的高，AE是三角形BAC的角平分線.（1）若B=40°，ACB=110°，則DAE為多少度？（2）若B=，ACB=，且>，請(qǐng)用和表示出DAE.圖1-2圖1-1在題目一中，第（1）題可利用三角形的內(nèi)角和等于180

3、6;，在已知B=40°，C=70°，可先求BAC=70°，再利用AE是BAC的角平分線，可求EAC=35°，在RtADC中，利用直角三角形中兩個(gè)銳角互余且C=70°，可求出DAC20°，從而可求DAE=15 °本題利用了三角形內(nèi)角和定理、角平分線定理同理，第（2）題可以按同樣的方法得出：DAE（）.題目二也可利用同樣的方法得出：DAE（）.由解答過程可知總體的規(guī)律：在三角形中，過同一頂點(diǎn)的角平分線與高的夾角，等于過另兩個(gè)頂點(diǎn)的內(nèi)角差的一半。二、三角形外角知識(shí)運(yùn)用中的角的計(jì)算。（1）翻折后所構(gòu)成的夾角和問題。（2012 北辰區(qū)

4、一模）如圖2，ABC中，A=50°，點(diǎn)E、F在AB、AC上，沿EF向內(nèi)折疊AEF，得DEF，求圖中1+2的度數(shù).圖2因?yàn)榉矍昂?，圖形的形狀和大小均未改變，所以AD，先連接AD得到兩個(gè)三角形：AED和AFD，可利用三角形內(nèi)角和定理的推論得出結(jié)論：1+22A100°. 不難看出，如果將A=50°換成A=，則1+22，即三角形的一角沿某條直線翻折后，原來的兩邊分成的兩條線段構(gòu)成的夾角之和，等于這個(gè)角翻折前的兩倍.（2）等腰三角形中等角的運(yùn)用。（2006 江陰市自主招生）如圖3-1，在ABC中，ABAC，BAD20°，且AEAD，求CDE的度數(shù).圖3-1圖3-

5、2在小學(xué)階段，學(xué)生已明白等腰三角形的兩個(gè)底角相等，因而在本題的計(jì)算過程中，已能加以運(yùn)用，所以，如圖42中，學(xué)生已能找到相關(guān)的等式：BC，23，再利用三角形內(nèi)角和定理的推論可得出：31+C （）；1+2B+4（）.由這幾式之間的關(guān)系可得1+1+CC+4，整理可得421，即2120°，故110°，正好是BAD度數(shù)的一半。不過，若題目中條件不變，若點(diǎn)D在BC的延長線或反向延長線上，如圖3-3和圖3-4，結(jié)論是否仍然成立呢？經(jīng)過同樣方法的推理，可以發(fā)現(xiàn)，圖3-3中，BAD與CDE同樣滿足這一條件，即BAD2CDE。不過，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時(shí)，解答如下：如圖3-5，在ABC中，5

6、180°23 在CDE中，41+E1+（1+2）21+2 在ACD中，6180°24180°2 （21+2）180°2122 在ECD中，DCE180°1（1+2）180°2123 5180°2（180°212）41+22180° 由+可得 5+621，即BAD2CDE.圖3-5圖3-4圖3-3因而，不管BAD的大小如何變化，學(xué)生都能一口氣回答出CDE的度數(shù)，即在等腰ABC中，ABAC，若點(diǎn)D為邊BC所在直線上的一點(diǎn)，點(diǎn)E為射線AC上一點(diǎn)，且當(dāng)ADAE時(shí)，BAD2CDE.三、“8字型”的兩個(gè)三角形之間內(nèi)角

7、和的關(guān)系計(jì)算及運(yùn)用。如圖4-1，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形圖4-1的圖形稱之為“8字形”圖4-2圖4-1利用三角形內(nèi)角和定理不難得出，A+DC+B，雖然看起來這個(gè)結(jié)論很簡單，但在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，“8字型”的圖形會(huì)經(jīng)常得到運(yùn)用，特別是在比較復(fù)雜的幾何圖形中，包括與平面直角坐標(biāo)系結(jié)合的相關(guān)題目中。這里只舉一個(gè)與八年級(jí)上冊(cè)有關(guān)的一個(gè)題目：如圖4-2，在圖4-1的條件下，DAB和BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N試解答下列問題：（1）在圖4-2中，若DAO=50°，OCB=40°，P=35°，試求D的度數(shù)；（2）在圖

8、4-2中，若設(shè)D=，B=，其它條件不變，試求P的度數(shù)其解答過程如下：解：（1）由題可知，12DAO=25°，34OCB=20°， 在ADM和CPM中，（“8字型”） 1+D+AMD=3+P+CMP， AMD =CMP，（對(duì)頂角相等）1+D =3+P D =3+P120°+35°25°30°；（2）AP、CP是DAB、BCD的平分線，1=2，3=4，在ADM和CPM中，（“8字型”）AMD=CMP，（對(duì)頂角相等）1+D+AMD =3+P+CMP，1+D=3+P，31=DP；同理，在APN和CBN中，（“8字型”）2+P=4+B，42=P

9、B；D-P=P-B，P=（D+B）；即P=（+）結(jié)論：在“8字型”的兩個(gè)三角形中，除對(duì)頂角外的另兩角和相等。四、三角形內(nèi)角和定理在凹四邊形外角計(jì)算中的運(yùn)用。在初中階段研究四邊形，若沒特別說明，均是凸四邊形，但也有一個(gè)特例，它就是與三角形內(nèi)角和定理有關(guān)的一種四邊形，學(xué)生們喜歡稱其為“飛鏢形”。題目一：（2001 呼和浩特）如圖5-1，在ABC中，A50°，D是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且120°，230°.求BDC的度數(shù).圖5-4圖5-3圖5-2圖5-1如圖5-2，延長BD交AC于點(diǎn)E，則可利用三角形內(nèi)角和定理的推論得出BDCDEC+21+A+220°+50

10、6;+30°100°如果在圖5-1中，擦去線段BC，就成了圖5-3，也就是學(xué)生們稱之為“飛鏢形”的圖形，在求其外角BDC的度數(shù)時(shí)，學(xué)生即可一口氣回答出結(jié)果了。其變式題略舉一例：（2010 梅州模擬）如圖5-4，求A+B+C+D+E的度數(shù)和.“飛鏢形”凹角的計(jì)算規(guī)律：“飛鏢形”的凹角的度數(shù)等于與它不相鄰的三個(gè)內(nèi)角之和。五、與三角形的角平分線間的夾角的計(jì)算。1、三角形的內(nèi)角平分構(gòu)成的夾角計(jì)算。圖6（人教版數(shù)學(xué)教材<2013年審訂>八年級(jí)上冊(cè)P17第9題）如圖6，12，34，A100°.求x的值.本題中，利用三角形的內(nèi)角和得：1+2+3+4+A180

11、6;，變形得22+2480°，2+440°，故x140.若原題中其它條件不變，令A(yù)，那么x也可用含的代數(shù)式表示出來，不難得出x°90°+.2、三角形的一個(gè)內(nèi)角平分與一個(gè)外角平分線所構(gòu)成的夾角計(jì)算。（2013春 吉州區(qū)期末）如圖7-1，在ABC中，內(nèi)角平分線AP和外角平分線CP相交于點(diǎn)P，若BAC50°，求P的度數(shù).由圖7-2可知，3+4A+1+2，34，12，24A+22，那么4A+2，由三角形內(nèi)角和定理的推論可得4P+2，PA25°.由此可知，若A，則BAC的平分線與ACB的外角平分線的夾角P.圖7-2圖7-1其變式題略舉一例：（2

12、014春 張家港初一期末）如圖7-3所示，ABC中，A=96°（1）BA1平分ABC，CA1平分ACD，請(qǐng)你求A1的度數(shù)；（2）BA2平分A1BC，CA2平分A1CD，請(qǐng)你求A2的度數(shù)；（3）依此類推，直接寫出An與A的關(guān)系式；（4）如圖7-4，小明同學(xué)用下面的方法畫出了角：作兩條互相垂直的直線MN、PQ，垂足為O，作PON的角平分線OE，點(diǎn)A、B分別是OE、PQ上任意一點(diǎn)，再作ABP的平分線BD，BD的反向延長線交OAB的平分線于點(diǎn)C，那么C就是所求的角，求的度數(shù)圖7-3圖7-43、三角形的兩個(gè)外角平分線所構(gòu)成的夾角計(jì)算。（菁優(yōu)網(wǎng)）如圖8-1，在ABC中，A，ABC的外角平分線與A

13、CB的外角平分線交于點(diǎn)O，求O與BAC的關(guān)系. 如圖8-2，1+2A+6，4+5A+3，1+2+4+5A+3+A+6，即22+252A+3 +6，3 +6180°A，22+25180°+A，即2+590°+A，O180°（90°+A）90°A90°.圖8-2圖8-1從以上三道例題不難看出，三角形的內(nèi)、外角平分線的夾角有如下規(guī)律：當(dāng)一內(nèi)角的度數(shù)為時(shí)：另兩內(nèi)角的平分所構(gòu)成的夾角度數(shù)為90°+；另一內(nèi)角與第三個(gè)角的外角平分線的夾角度數(shù)為 ；另兩外角的平分線所構(gòu)成的夾角度數(shù)為90°.當(dāng)然，與三角形的角有關(guān)的計(jì)算還有許多