關于線性代數(shù)的核心問題分析

1、關于線性代數(shù)的核心問題分析摘要回憶線性代數(shù)的歷史根底上，分析了關于線性代數(shù)的幾個核心問題：第一介紹了幾種關于線性代數(shù)根本構造問題的看法；第二介紹了關于線性代數(shù)的兩個根本問題，即“線性和“線性問題；第三介紹了線性代數(shù)的研究對象；第四分析了線性代數(shù)的構造體系。關鍵詞線性代數(shù)；線性運算；線性問題上世紀80年代以來，隨著計算機應用的普及，線性代數(shù)理論被廣泛應用到科學、技術和經濟領域，因此線性代數(shù)也成為高等院校理工科各專業(yè)的一門根底課程，文章簡述線性代數(shù)的相關核心核心問題。一、線性代數(shù)的歷史二、關于線性代數(shù)根本構造問題的看法線性代數(shù)根本構造問題，學者們歷來有許多不同的看法，較為常見的是以下幾種：第一種是

2、以矩陣為中心。這一看法認為整個線性代數(shù)以矩陣理論為核心，將矩陣理論視為各個內容聯(lián)絡的紐帶。在求線性方程組、斷定方程組的解以及研究線性空間問題時，矩陣理論是重要工具。例如正交矩陣和對稱矩陣主要應用于歐氏空間和二次型方程問題中?？梢姡灰獙仃囍R有了全面系統(tǒng)的理解后，就能將各種問題都化解為矩陣理論中的一部分，引申為矩陣問題。第二種是以線性方程組為中心。這一關觀點認為線性方程組是線性代數(shù)研究的根本問題。詳細操作過程中，將線性方程組的理論和方法應用到各個章節(jié)，由此引出矩陣、行列式、向量等理論，最后列出方程組、求解，然后進一步應用，串聯(lián)起各部分內容。這一理論較為系統(tǒng)、科學，常常被初學者采納。第三是一種

3、線性代數(shù)體系，以線性變換和線性空間為核心，在學習線性代數(shù)之前，學生要先掌握關系、集合、環(huán)、群、域等概念，形成對高等數(shù)學的研究對象、知識構造、表達方式的初步認識。線性代數(shù)體系依次安排了線性空間、內積空間、線性變化、矩陣概念和性質等章節(jié)。掌握線性變換根底后，再教學線性方程組求解知識，在此根底上，進一步引出特征向量、特征值和二次型理論。整個體系以線性代數(shù)為核心，內容介紹、理論講解及方法系統(tǒng)化為一個整體。第四是以向量理論為核心。對二維、三維直角坐標系的研究是線性代數(shù)的起源。學生在中學時就已經理解了關于平面向量的一些根本知識，因此，將向量作為整個線性代數(shù)知識的核心，有利于使各部分內容的聯(lián)絡更加親密、理論

4、體系更加完好完善，學生的空間概念也能得以加強。矩陣、行列式、線性方程組一般為研究維向量空間所必須的表示工具、向量的線性相關性的判別工具和未知向量的計算工具，從宏觀講它們獨立于體系之外，從微觀講它們也是維向量空間的一些詳細內容。而二次型僅僅是對稱雙線性函數(shù)的一個簡單應用。三、線性和線性問題“線性這個數(shù)學名詞在中學數(shù)學課程中，學生從未接觸過。而這一課程是大學數(shù)學的根底課程，學生剛進入大學，對這一詞匯的詳細內容知之甚少。所以在學習之前，學生必須對什么是“線性有所理解，在“線性代數(shù)這一課程中有對于“線性概念的明確介紹。這是學習線性代數(shù)要解決的第一個根本問題，即什么是“線性。從整個數(shù)學全局來看線性代數(shù)，

5、可將涉及到的數(shù)學問題分為兩類：即線性問題和非線性問題。其中，對于線性問題的研究，歷來有最完善的理論和最多的研究成果；并且，許多非線性問題往往也可以轉化為線性問題解答。所以解決詳細的數(shù)學問題時，首先應判斷該問題是否屬于線性問題，假設是線性問題該采用怎樣的解決方法，假設不是線性問題，應考慮如何將其轉化為線性問題。這是學習線性代數(shù)要解決的第二個根本問題：什么是“線性問題，如何處理“線性問題？理解了什么是“線性、什么是“線性問題后，離完成線性代數(shù)的教學目的還有很長一段間隔 。如今的高校教育，一味灌輸給學生行列式、向量、矩陣、線性變換等空洞的數(shù)學定理，指導學生用這些理論來考慮線性代數(shù)的根本構造、詳細應用

6、等問題。教師在教學線性代數(shù)問題時更是一味強調理論的選擇與應用，卻無視了學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的才能的培養(yǎng)。四、線性代數(shù)的研究對象略微觀察一下我們可以發(fā)現(xiàn)，中學的初等代數(shù)就是線性代數(shù)的前身，只是在其根底上的進一步抽象化。初等代數(shù)研究的多是詳細的問題，運用加減乘除的運算方法即可解決問題；線性代數(shù)中那么引入了許多新的概念，如向量、向量空間、集合、空間、矩陣等等，問題展現(xiàn)的形式發(fā)生了變化，要想解決問題，我們的思維方式也應該發(fā)生變化。涉及到新概念的數(shù)學問題往往都很抽象，如向量指的是既有數(shù)值又有詳細方向的量；向量空間是許多量組成的集合，這一集合中的元素全都符合特定的運算規(guī)那么；集合是具有某種屬性

7、的事物的總和；矩陣理論那么是一種更加抽象化的理論，因此我們的研究方法和思維方式都要隨之進展改變。如初等代數(shù)中的根本運算法那么在線性代數(shù)中經常會失效，線性代數(shù)的研究對象是向量運算、矩陣運算和線性變換，解決問題時，需要采用一種特殊的運算方法。綜上所述，線性代數(shù)的學習中應重點培養(yǎng)兩個方面的才能：一個是知識掌握的才能的培養(yǎng)。介紹知識時應堅持從易到難、循序漸進。先掌握好中學的運算法那么，再漸漸學習向量、矩陣知識，之后學習線性變換，最后綜合學習線性運算。學生經過中學階段的學習，完全掌握了加法和乘法這兩種根底運算法那么，簡單理解了向量運算。矩陣知識相對于前者更加抽象，因此應放在之后學習。線性變換那么是線性代

8、數(shù)教學中的重點和難點所在，也是最容易被無視的地方。由于線性變換可結合映射知識學習，而映射知識在中學數(shù)學和微積分教學中都有詳細的介紹，在此根底上學生更容易理解線性變換及運算的相關知識，更容易解決矩陣特征值問題、線性方程組問題及二次型問題等。另外一個是思維才能的培養(yǎng)。在學習中，注意引導學生帶著問題學習，并在學習中進一步發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，這是最有效的思維方式和學習方法。前文提到了學習線性代數(shù)必須先理解的兩個根本問題：什么是“線性、什么是“線性問題。這兩個根本問題應該始終貫穿在線性代數(shù)的學習過程中。無論在什么階段的學習，都要注重理論知識和實際問題的有效結合。學生在掌握了一定的理論知識后，可嘗試去解決相關的實際問題。在這一過程中，學生會加深對理論知識的理解，并進一步發(fā)現(xiàn)自身知識儲藏的缺乏之處。假設單單追求知識的應用，而不加深自己的理論素養(yǎng)，最終也無法具備良好的思維才能。所以，在學習線性代數(shù)時，要培養(yǎng)好兩方面的才能，使之相輔相成、互相促進。結語20世紀后50年計算技術的高速開展，推動了大規(guī)模工程和經濟系統(tǒng)問題的解決，使人們看到，線性代數(shù)和相關的矩陣模型是如微積分那樣的數(shù)學工具，無所不在的線性代數(shù)問題，等待著各層次的工程技術人員快速準確地去解決相關線性代數(shù)問題。因此絕大對工科學生而言，數(shù)學課應該使他們有宏觀的使用數(shù)學