2011暑期高一物理競賽講義第6講力的基本性質(zhì)教師版

1、第六講力的基本性質(zhì)本講導(dǎo)學(xué)Congratulations, young ones! 我們開始學(xué)習(xí)靜力學(xué)了，英文叫 statics。一看就知道，我們研究的是靜止，或者更加廣泛的平衡情況下所滿足的力學(xué)。在學(xué)習(xí)的過程中，我們可以掌握最基本的力學(xué)的物理量的描述和計算推演 。這些當然也是后面學(xué)習(xí)其他知識的基礎(chǔ)。提示1. 物體間的相互作用物體，受力物體，作用力與反作用力、大小、方向、作用點，作用效果這幾方面的概念、：N作用效果改變物體的 效果（涉及動力學(xué)）改變物體的形狀關(guān)于力的定義：很多種說法，比如用 度來定義，用動量的變化率來定義，等等。思考：如果我們用 度來定義力，那么我們?nèi)绾味x力的大小呢？思考：如

2、何確定兩個力相等呢？講述高端的，真正的物理學(xué)4高一·物理競賽暑期班·第 6 講·教師版2. 重力：由于地球吸引產(chǎn)生的力物體：地球大?。?G = mg ，g = 9.8m / s2受力物體：在地球上的任何物體方向：豎直向下 反作用力：物體對地球的吸引力等效作用點：重心質(zhì)心和重心：質(zhì)心是質(zhì)量的等效中心其計算 ：cx = 2mi xi2micy = 2mi yi2micz = 2mi zi2mi其中（ xc ， yc ， zc ）是質(zhì)心的坐標， mi 是系統(tǒng)中第i 個質(zhì)點的質(zhì)量，（ xi ， yi ， zi ）是第i 個質(zhì)點的坐標注意質(zhì)心不僅和物體幾何形狀有關(guān)，還與其質(zhì)

3、量分布相關(guān)重心是重力的等效作用點當物體所在位置處的重力 度 g 是常量時，重心就是質(zhì)心若物體很大，以致各處的 g 并不能認為相同，則重心不等同于質(zhì)心另外，質(zhì)心也有很多其他的用途，比如在研究慣性力的過程中，在研究動量的過程中等，我們后面會有學(xué)習(xí)例題精講【例1】 求一塊均勻三角板的重心位置，三邊長 a 、b 、c 【 】在三條中線的交點上證明 ：法，把三角形分成無數(shù)個 。每個 都是重心是中點， 起來就是中線?！纠?】 求由三根均勻桿的三角形的重心位置，其中三桿長度為a ，b ，c ，其中 a2 + b2 = c2【 】設(shè)密度為l ，并以直角邊建立坐標系，把三根棒可以看成三個質(zhì)點a 棒： la &#

4、230; 0a öç ， ÷è2 øb 棒： lbæ b ，0 öç 2÷èøc 棒： lcæ ba öç ， ÷重心： xè 22 øla × 0 + lb × b + lc × b2=22 = 1 × b+ bccla + lb + lc2 a + b + cla × a + lb × 0 + lc × a2y =22 = 1 × a + ac

5、 cla + lb + lc2 a + b + c思考如果， a 、b 、c 不能組成直角三角形呢？在三邊中點組成的角形的內(nèi)心上。證明略?！纠?】 求下面陰影的重心【 】設(shè)面密度為s：解 大圓是實心，質(zhì)心在O 點，質(zhì)量為 R2s ，小圓的質(zhì)量為負的（即控去的） -r2s ，質(zhì)量心在O¢ 點，兩質(zhì)心相距l(xiāng) ，設(shè)O 點為原點O : R2s ， (0，0)O¢: -r2s質(zhì)心：(-l ，0)R2s × 0 + (-r2s )×(-l )R2s - r2s=r2l R2 - r2ær2löèøç R2 - r2

6、，0÷ 【例4】 平面上放有不動的窄管，一條蛇一半爬進管里，另一半任意盤曲在水平面上，把蛇看作是長為l 的均勻細繩，求整條蛇重心所在的可能范圍俄羅斯中學(xué)物理賽題 P31 （2）。和和本來是學(xué)術(shù)交流的好哥們，相互通信，討論問題對的最巨大的幫助就是糾正了關(guān)于天體運行的理解開始時候認為天體的運行是在引力和離心力兩個力作用下進行的（沒錯，不知道慣性力的概念，他不知道離心力不是實際的力。） 示了之后，才開始嘗試平方反比力和橢圓軌的研究。提示3. 彈力：當相互接觸的物體發(fā)生形變時所產(chǎn)生的恢復(fù)形變的力稱為彈性力，定律表明，當物體形變不太大時，彈性力與形變成正比，彈簧的彈性力 F 與彈簧相對于的形變

7、（拉伸或壓縮） x 成正比， 方向指向平衡位置，即F = -kx式中比例系數(shù)k 稱為彈簧的倔強系數(shù)，也叫勁度系數(shù)，負號表示彈性力與形變反方向 對于彈性力須說明三點： 繩子的張一種彈性力繩子和與之連接的物體之間有相互作用時，不僅繩子與物體之間有彈性力，而且在繩子內(nèi)部也因發(fā)生相對形變而出現(xiàn)彈性力這時，繩子上任一橫截面兩邊互施作用力，這對作用力和反作用力稱為繩子的張力 情況下，與繩子相應(yīng)的比例系數(shù) k 很大， 因而形變很小，可以忽略所以繩子的張力不是由繩子的形變規(guī)律確定，而是由求解力學(xué)問題時確定因而，在物理中，我們 抽象出柔軟不可伸長的輕繩 在光滑面（平面或曲面）上 的物體受到的支撐力也是一種彈性力

8、這種由物體與支撐面相互作用而發(fā)生形變產(chǎn)生的彈性力，也是一種使物體約束在該支撐面上的約 ，通常把物體所受到的約 稱為約束反力，約束反力的方向總是與支撐面垂直與繩子的張力一樣，由于相應(yīng)的 k 很大，因而形變很小，可以忽略，約束反力的大小由求解物體的來確定，若支撐面是粗糙的，則物體除受約束反力外，還要考慮該表面的摩擦力 彈簧串連： 1 = 1 + 1 +L+ 1k串k1k2kn當然這兩個公式在實際解題中往往會變形，關(guān)鍵要抓住各彈簧是彈力一致還是形變量一定彈簧并連： k并 = k1 + k2 +L+ kn（形變量一定）例題精講【例5】 ，兩根勁度系數(shù)分別為 k1 和 k2 的輕彈簧豎直懸掛，下端用光滑

9、細繩連接，把一光滑的輕滑輪放在細繩上，求當滑輪下掛一重為 G 的物體時，滑輪下降的距離多大？【】 k × x = k × x = G12222下降， x1 + x2 = G × æ 1 + 1 ö24 ç kk ÷è 12 ø【例6】 的一個升降機，體重為 P1 = 60kg 的人在升降機中，手執(zhí)一繩使平衡于空中，升降機底坐重 P2 = 30kg ，求這人手中應(yīng)使多大的力？【 】座底： P2 + F4 = F1 + F3人： P1 = F3 + F4輪 B： F1 = 2F3 輪 A： F2 = 2F1F

10、 = 1 (P + P ) = 22.5kg3412和“天下大事，分久必合，合久必分?！眱蓚€人的合作基本也就到此為止了。兩個人同時宣布證明了平方反比力就是橢圓軌道的兩個人都沒有提出材料證明的觀點。后來，這個論點。發(fā)表了論就悲劇了，他，也就是自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理的前身，徹底的論證了微積分，用平面幾何證明太繁瑣，不被認同；在科學(xué)院中，地位跌入低谷。提示4. 摩擦力摩擦力也是一種接觸力，當相互接觸的物體作相對或有相對趨勢時，接觸面間會產(chǎn)生一種阻礙相對或相對 趨勢的力，這種力稱為摩擦力，前者稱為滑動摩擦力，后者稱為靜摩擦力摩擦定律指出：滑動摩擦力與正 成正比，與兩物體的接觸面積無關(guān)當相對速度不太大時，滑

11、動摩擦力與速度無關(guān)靜摩擦力的大小為0 與最大值（稱為最大靜摩擦力）之間的某一值，此值由相對趨勢的程度而定，最大靜摩擦力也與正成正比摩擦 f滑 = mNfmax靜 = m0 N，式中 m 和 m0 分別稱為滑動摩擦系數(shù)和靜摩擦系數(shù)，m0 與 m 近似相等 情況下，可認為 m0 與 m相等，統(tǒng)稱為摩擦系數(shù)從另一個角度來說，力也可以分成兩種：第一類叫做主動力。例如重力、彈簧的彈力、滑動摩擦力等。這些力的特點是，受力由當前系統(tǒng)的位置或者外界條件直接給定。第二類叫做約 。這些 約束條件引起的，不由外界條件直接確定，只能通過體系內(nèi)部的平衡方程解得。例如支持力、靜摩擦力、鉸鏈對桿的作用力、繩子的拉力等。每個

12、約束都會使得描述約的變量加 1。例如支持力帶來一個約束，描述支持力需要一個參數(shù)：支持力的大?。ㄒ驗橹С至Φ姆较虼怪庇诮佑|面）；靜摩擦力帶來一個約束，描述靜摩擦力需要一個參數(shù)；二里的鉸鏈帶來兩個約束，描述鉸鏈的作用需要兩個參數(shù)（Fx，F(xiàn)y）?；瑒幽Σ敛粠砑s束，所以滑動摩擦力約 處理，其大小由正和摩擦系數(shù)決定，一定意義上是“由外界條件直接給定”，所以滑動摩擦力被當作主動力。如果繩子一端是用手拉著，那么相當于沒有約束，拉力大小由手決定，這種情況繩子的拉力就被當作主動力。例題精講【例7】 ，木板 A 質(zhì)量為 M ，以相對地面的速度v 在水平面上向北，木板上放一質(zhì)量為 m 的板 B ，各接觸面間滑動摩

13、擦因數(shù)均為 m ，當木塊 B 也有相對地面向東的速度v 時，試分析木塊 B 的受摩擦力的情況【 】 B 相對于 A 有速度 2v 向東南方向所以 B 受 A 對 B 的摩擦力向西北方向摩擦力阻礙的是相對講述高端的，真正的物理學(xué)5高一·物理競賽暑期班·第 6 講·教師版摩擦力產(chǎn)生的所有的表面，即使是看起來很光滑的表面，從微觀上看都是粗糙的。如果你通過掃描隧道顯看放大的 體的 ，那么 層次上晶體表面的不規(guī)則性就會 無遺。當兩個表面接觸的時候，每個表面上的突出點就會碰到并暫時粘合在一起，這就是靜摩擦力和動摩擦力的起因。這個過程的詳細情形目前還不清楚，因而它仍然是物理學(xué)和

14、工程學(xué)上面研究的一個課題。提示1力作為矢量和速度一樣，可以作矢量的與分解uuruuruuur三角形法則： F1 + F2 = F合 ，如圖uuruuruuur平行四邊形法則： F1 + F2 = F合 ，如圖特別注意力的正交分解，建立直角坐標系( x，y) ，可以把任意一個力分解到 x 、 y 方向例題精講【例8】 ，有五個力 F1 、 F2 、 F3 、 F4 、 F5 作用于一點O ，一個正六邊形的兩鄰邊和三條對角線.設(shè) F3 = 10 N ，試求這五個力的合力.講述高端的，真正的物理學(xué)6【 】依據(jù)正六邊形的幾何性質(zhì)及平行四邊形定則，不難看出 F1 和 F4 這兩個力的 定與 F3 重合，

15、 F2 和 F5 這兩個力的合力也與 F3 重合，如圖.這樣，所求五個力的合力，就等效為求三個方向相同、大小相等且同一直線上的三個力的合力，即五個力的合力大小為3F3 = 30 N ，方向與 F3 相同.【例9】 求擋板在何角度時對小球的支持力最小，【】 此時支持力最小，q = 90° 時和后來加劇，發(fā)表了自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理。把各種前人的成果總結(jié)起來，運用微積分，建立了經(jīng)典力學(xué)。 為沒有領(lǐng)會微積分這個工具，嘗試運用平面幾何，雖然巧妙，但是逐漸被人們遺忘了。后來原理賣的太好了，不斷再版，內(nèi)容也不斷修改。一方面迫于 的 加入了上帝的概念；另一方面 對 的貢獻也采取了逐漸抹殺的態(tài)度。從“令

16、人尊敬的 先生”到后來的“ ”。其實看過原理的人都知道，里面大部分的東西的證明很多的平面幾何證明都是仿照幾何原本的公理體系，也運用了。這個故事告訴我們：1. 不要和數(shù)學(xué)比好，而且心眼小的人爭論。2.平面幾何不如微積分，前者太巧妙，不好用，不好想；后者好想好用。提示2 分解應(yīng)用摩擦角：滑動摩擦角定義為j = arctan f滑 把支持力和滑動摩擦力考慮成一個力（即全uuuruuuruurN uuuruur反力），則 F合 = f滑 + N ，由于 f滑 = Nm F合 與 N 夾角q = arctgm例題精講這個角度的特點是大小保持不變，雖然這個“全反力”的大小可能根據(jù)情況的變化而變化【例10】

17、一架均勻梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在豎直的墻上，梯子與地面及梯子與墻的靜摩擦因數(shù)分別為 m1 、m2 ，求梯子能平衡時與地面所成的最小夾角【 】 tgj1 = m1tgj2 = m2重力與兩個全反力共點（三力共點，可讓學(xué)生課后思考）tgq = BC = DH - DE ACAH + HC= æ DH - DE ö´ 1èøç AHHC ÷ 2講述高端的，真正的物理學(xué)7= 1 (ctgj - tgj )212= 1- m1m2 2m1【例11】筷子夾雞蛋，摩擦緊鎖問題，設(shè)筷子與雞蛋的摩擦系數(shù)為 m ，求筷子多大角度時

18、在不平桌面上始終 把雞蛋滑出【 】筷子 雞蛋給雞蛋兩個力，支持力 N 和摩擦力 f 、用全反力考慮，此時雞蛋僅受兩個全反力， F 與 N 夾角為arctg m ， N 與高一·物理競賽暑期班·第 6 講·教師版y 軸夾角為a ，若cagrtm > a ，則兩全反力的合力始終指向-x 方向，則雞蛋 滑出，筷子夾 2arctg m 時，雞蛋始終滑出【例12】木箱重為G ，與地面間的動摩擦因數(shù)為 m ，用斜向上的力 F 拉木箱使之沿水平地面勻速前進， ，問角a 為時拉力 F 最小?這個最小值為多大?Fa【 】這個題目可以講解的非常精彩！ 1 三角函數(shù)公式法：對木箱

19、進行受力分析 ，由物體做勻速直線 的平衡條件有：F cosa = mFNFNFF faGFN + F sina = G聯(lián)立得： F cosa + mF sina = mG ， F =mGm sina + cosa令 m = tanj （摩擦角）代入得：F =tanjG= sinjG tanj sina + cosacos(j - a )當a = j = arc tan m 時， F 有最小值 Fmin= G sinj =mG 1 + m2 2 二次方程法：設(shè)這個力的水平分量為 Fx ，豎直分量為 FyìF = m Nï x則有： íFy + N = Gï

20、F 2 + F 2 = F 2由前兩個方程消掉 N 得到： Fx = m(G - Fy ) 帶入第三個方程后îï xy我們得到關(guān)于 Fy 的一元二次方程：講述高端的，真正的物理學(xué)8m 2 (G - F )2 + F 2 = F 2 化簡得到： (1+ m2 )F 2 - 2Gm2 F + m2G2 - F 2 = 0yyyy一定有解，則有： D = 4G2m4 - 4(1+ m2 )(m2G2 - F 2 ) ³ 02m 2G2m高一·物理競賽暑期班·第 6 講·教師版解得 F³ 1+ m2 因此有 Fmin = G1+ m

21、 2 3 二次函數(shù)法：yy前面同 2，得到 F 2 = (1+ m2 )F 2 - 2Gm2 Fy+ m2G2 把這個當成關(guān)于 F 的二次函數(shù)，顯bGm 2然它在 Fy = - 2a = (1+ m 2 ) 時候有極值æ Gm 2ö2Gm 2F2min= (1+ m 2 ) ç÷è (1+ m 2 ) ø- 2Gm 2+ m 2G2(1+ m 2 )= -G2m 4 + (1+ m 2 )m 2G2 =m 2G2因此得到 Fmin(1+ m 2 )(1+ m 2 )1+ m 2=mG 4 擾動法：在極值附近的一個角度a 變化一個很小合

22、適的角度Da 一定可以滿足 F(a) = F(a + Da)由于 F =mG所以只要分母保持不變即可m sina + cosa因此有m sina + cosa = m sin(a + Da ) + cos(a + Da )m sina + cosa = m sina cos Da + m cosa sin Da + cosa cosDa - sina sin Dam cosa sin Da = sina sin Dam = tana1+ m 2代入回原來的式子得到： Fmin=mG 5 矢量分析法：把支持力和摩擦 成一個力，則這個力的大小未知，但是方向確定，和豎直方向成夾角j = arctan

23、 m因此原來的問題就轉(zhuǎn)化成三力平衡問題1+ m 2顯然當支持力和摩擦力的合力與拉力互相垂直的時候拉力最小，并且最小值為：講述高端的，真正的物理學(xué)9FminGjFmin= sinjG = mG，：，由此可見，數(shù)學(xué) 和物理方向相比起來，繁瑣程度不是一個量級的動摩擦力公式 f = m N大家都學(xué)過了動摩擦力的公式。其實在歷史上很多科學(xué)家都自然的認為摩擦力和支持力是應(yīng)該有正比例的真正做實驗證實這個公式的卻是我們著名的“定律”的發(fā)現(xiàn)人。他一生成就很多定律和 f = m N 是他最大的成就。其中前者如此的重要， 在關(guān)于定律的證明的實驗等等方面的貢獻如此之大，大家就忽略了他對于摩擦力的研究了。知識要點3.

24、繩法例題精講【例13】如圖，在一個置于水平面上的表面光滑的半徑為 R 的半圓柱面上，置有一條長為 xR 的均勻鏈條，鏈條的質(zhì)量為 m ，其兩端剛好分別與兩側(cè)的水平面相接觸，求此鏈中張力的最大值【 】一：線密l = mRF上 - ×cosqi = lgDh ， 有 F上i = F下(i+1) F上1 - F下N = lg (Dh1 +L+ DhN )F下N 即最低點、 F上 即最高點F下N = 0 ， F上1 = F講述高端的，真正的物理學(xué)11高一·物理競賽暑期班·第 6 講·教師版 F = l gR = mg二：力矩平衡，求對0 點的力矩，一個是在最高點

25、的張力產(chǎn)生，一個是重力產(chǎn)生MF = F × RMG = åDmi g × R cosqi = åRglDhi = RglRiiMG = MFÞ F = mg【例14】半徑為 R 的剛性球固定在水平桌面上，有一個質(zhì)量為 M 的圓環(huán)狀均勻彈性繩圈，2a ， a = R 繩圈的彈性系數(shù)為 R （繩圈伸長 s 時，繩中2彈性張力為 ks ）將繩圈從球的正上方輕放到球上，并用手扶著繩圈使之保持水平并最后停留在某個靜力平衡位置，設(shè)此時繩圈的長度為 2xb ，b = 2a ，考慮重力，忽略摩擦，求繩圈的彈性系數(shù) k = ？（用 M 、R 、 g 表示， g 為重力加速度）【 】一： 法：q = b =2a2a =2a2 ， q = 45°2用法，僅考慮小段繩子Dl 受力，繩子線密度為l N × cosq = llgaÞ lDlg = TaN × sinq = 2T ×q = Ta2a = 1 × Dl mg1 Dl2 bÞ× Dlg = k × 2x(b - a)× ×T = k × 2x (b - a)T = k × 2x