北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)直角三角形----知識(shí)講解(提高)含答案解析

1、直角三角形一-知識(shí)講解（提高）責(zé)編：杜少波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .掌握勾股定理的內(nèi)容及證明方法、勾股定理的逆定理及其應(yīng)用.理解原命題與其逆命題,原定理與其逆定理的概念及它們之間的關(guān)系.2 .能夠運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，會(huì)運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題；能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長(zhǎng)判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形3 .能夠熟練地掌握直角三角形的全等判定方法（HL）及其應(yīng)用.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為222a, b ,斜邊長(zhǎng)為c,那么a b c .要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系（2）利用勾股定理

2、，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長(zhǎng)為未知數(shù)后，根據(jù)題目中已知線段的長(zhǎng)可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，達(dá)到了解決問(wèn)題的目的（3）理解勾股定理的一些變式：a2c2b2,b2c2a2,c2a b 2 2ab.（4）勾股數(shù)：滿足不定方程 x2 y2 z2的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù)（又稱(chēng)為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以X、V、z為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數(shù)，對(duì)解題會(huì)很有幫助： 3、4、5; 5、12、13; 8、15、17; 7、24、25; 9、40、41 如果a、b、c是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時(shí)，以at、bt、ct為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形 必為直角三角形. n2 1, 2n, n

3、2 1 ( n1,n是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng);82n2 2n,2n 1,2n2 2n 1 （ n是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；m2 n2,m2 n2,2mn （m n,m、n是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng) .要點(diǎn)二、勾股定理的證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中*詆才35=S+“二1屆,所以/ +加=/ .方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形圖（2）中牙海河mb=3=9-? + 4x，所以/ =層+J方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形Q榭皮aa吟”叫所以一.:,!.要點(diǎn)三、勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊

4、長(zhǎng)a, b, c ,滿足a2 b2c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過(guò)計(jì)算來(lái)判定一個(gè)三角形是否為直 角三角形.要點(diǎn)四、如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形（1） 首先確定最大邊（如 c）.（2） 驗(yàn)證c2與a2 b2是否具有相等關(guān)系.若c2 a2 b2,則 ABC是/ C= 90。的22.2直角二角形；右 c a b ,則4 AB5是直角三角形.要點(diǎn)詮釋?zhuān)寒?dāng)a2 b2 c2時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng) a2 b2 c2時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中c為三角形的最大邊.要點(diǎn)五、互逆

5、命題與互逆定理如果兩個(gè)命題的題設(shè)與結(jié)論正好相反，則稱(chēng)它們?yōu)榛ツ婷}.如果把其中一個(gè)叫原命題，則另一個(gè)叫做它的逆命題.如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理稱(chēng)為互逆定理，其中一個(gè)定理稱(chēng)為另一個(gè)定理的逆定理要點(diǎn)詮釋?zhuān)涸}正確，逆命題未必正確；原命題不正確，其逆命題也不一定錯(cuò)誤；正確的命題我們稱(chēng)為真命題，錯(cuò)誤的命題我們稱(chēng)它為假命題.一個(gè)定理是真命題，每一個(gè)定理不一定有逆定理，如果這個(gè)定理存在著逆定理，則一定是真命題要點(diǎn)六、直角三角形全等的判定（HL）在兩個(gè)直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)稱(chēng)“斜邊、直角邊”或“ HL”).這個(gè)判定方法

6、是直角三角形所獨(dú)有的，一般三角形不具備 要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1) “HL從順序上講是“邊邊角”對(duì)應(yīng)相等，由于其中含有直角這個(gè)特殊條件，所以三角 形的形狀和大小就確定了 .(2)判定兩個(gè)直角三角形全等的方法共有5種：SAS ASA AAS SSS HL.證明兩個(gè)直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.(3)應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個(gè)直角三角形全等的過(guò)程中要突出直角三角形這個(gè)條件， 書(shū)寫(xiě)時(shí)必須在兩個(gè)三角形前加上“Rt” .【典型例題】類(lèi)型一、勾股定理C1、(2016春?盧龍縣期末)已知兩條線段的長(zhǎng)為3cm和4cm,當(dāng)?shù)谌龡l線段的長(zhǎng)為 cm 時(shí)，這三條線段能組成一個(gè)直

7、角三角形.【思路點(diǎn)撥】本題從邊的方面考查三角形形成的條件，涉及分類(lèi)討論的思考方法，即：由于“兩邊長(zhǎng)分別為3和5,要使這個(gè)三角形是直角三角形，”指代不明，因此，要討論第三邊 是直角邊和斜邊的情形.【答案】5或折.【解析】解：當(dāng)?shù)谌吺侵苯沁厱r(shí)，根據(jù)勾股定理，第三邊的長(zhǎng)=ym=5,三角形的邊長(zhǎng)分別為 3, 4, 5能構(gòu)成三角形；當(dāng)?shù)谌吺切边厱r(shí)，根據(jù)勾股定理，第三邊的長(zhǎng)=“ - 32s，三角形的邊長(zhǎng)分別為 3, 丁，喉亦能構(gòu)成三角形；綜合以上兩種情況，第三邊的長(zhǎng)應(yīng)為5或市,故答案為5或.【總結(jié)升華】本題考查了勾股定理的逆定理，解題時(shí)注意三角形形成的條件：任意兩邊之和第三邊，任意兩邊之差第三邊，當(dāng)題

8、目指代不明時(shí)， 一定要分情況討論，把符合條件的保留下來(lái)，不符合的舍去.臣2、(2015春?黔南州期末)長(zhǎng)方形紙片ABCM, AD=4cm AB=10cm按如圖方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF,求DE的長(zhǎng).I I |I I IC【思路點(diǎn)撥】 在折疊的過(guò)程中，BE=DE從而設(shè)BE即可表示AE.在直角三角形 ADE中，根 據(jù)勾股定理列方程即可求解.【答案與解析】解：設(shè) DE=xcm 貝U BE=DE=x AE=AB- BE=10- x, ADE中，DEAE;+Ad,即 x2= (10 x) 2+16. x= ( cm). 5答：DE的長(zhǎng)為上Im.【總結(jié)升華】注意此類(lèi)題中，要能夠發(fā)現(xiàn)折疊的對(duì)應(yīng)線

9、段相等.類(lèi)型二、勾股定理的逆定理ADC33、如圖所示，四邊形 ABC邛,ABAD, AB= 2, AD= 2萬(wàn),CD= 3, BC= 5,求 的度數(shù).解： ABXAD,/A= 90 ,在 RtABD中，BD2 AB2 AD222 (273)2 16 .BD =4,1 AB - BD ,可知/ ADB= 30 , 2在4BDC中，BD2 CD216 32 25 , BC252 25 ,222BD CD BC ,/BDC= 90 ,/ADC= / ADB吆 BDC= 30 +90 =120 .【總結(jié)升華】 利用勾股定理的逆定理時(shí)，條件是三角形的三邊長(zhǎng)，結(jié)論是直角三角形，即由 邊的條件得到角的結(jié)論，

10、所以在幾何題中需要進(jìn)行邊角的轉(zhuǎn)換時(shí)要聯(lián)想勾股定理的逆定理. 舉一反三：【高清課堂勾股定理逆定理例4】【變式1】4ABC三邊a, b, c滿足a2b2 c2 338 10a 24b 26c,貝 SABG(A.銳角三角形 B.鈍角三角形【答案】D;22提不：由題息 a 5 b 12C.等腰三角形D.直角三角形2c 130, a 5, b 12, c 13,因?yàn)閍2 b2 c2,所以 ABC為直角三角形.【變式2(2015春?廈門(mén)校級(jí)期末)在四邊形 ABCM, AB=AD=2 / A=60 , BC=2右，CD=4求 /ADC的度數(shù).【答案】解：連接BD . AB=AD=2 Z A=60 , .AB

11、D是等邊三角形， .BD=2 Z ADB=60 ,. BC=2, CD=4則 BD2+c6=22+42=20, BC2= (2) 2=20, . .BD2+cD=Bd,/ BDC=90 , ./ADC=150 .一只爬下樹(shù)走到離樹(shù)池塘A處，另外一只爬到樹(shù)頂 D后直接躍到A處，距離的直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的20 m處的距離相等，試問(wèn)這棵樹(shù)有多高?【思路點(diǎn)撥】 其中一只猴子從 B- 8 A共走了(10+20)=30 m ,另一只猴子從 B-AA也共 走了 30 m,并且樹(shù)垂直于地面，于是這個(gè)問(wèn)題可化歸到直角三角形中利用勾股定理解決.【答案與解析】解：設(shè)樹(shù)高 CD為 X,則 BD= X -10

12、, AD= 30( x 10)=40x,在 RtACD中，202 X2 (40 x)2,解得：X = 15.答：這棵樹(shù)高15m .【總結(jié)升華】本題利用距離相等用未知數(shù)來(lái)表示出DC DA然后利用勾股定理作等量關(guān)系列方程求解.舉一反三:【變式】如圖，有一個(gè)圓柱，它的高等于12cm ,底面半徑等于 3cm ,在圓柱的底面 A?(兀點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面上與 A點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)的食物，需要爬行的最短路程是多少取3)解：如圖所示,AA 12,在 RtAAA由題意可得：1 AB 23 92B中，根據(jù)勾股定理得:_22_2_2_2 AB2 AA2 A B2 122 92 225則 AB= 15.所以需要爬

13、行的最短路程是 15cm.35、（2015春?武昌區(qū)期中）某港口位于東西方向的海岸線上.“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里，“海天”號(hào)每小日航行12海里.它們離開(kāi)港口 1小時(shí)后相距20海里.如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方 向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？【答案與解析】解：1小時(shí)“遠(yuǎn)航”號(hào)的航行距離：OB=16 1=16 海里；1小時(shí)“海天”號(hào)的航行距離：OA=12 1=12 海里，因?yàn)锳B=20海里，所以 ABOB+OA,即 202=162+122,所以4OAB是直角三角形，又因?yàn)? 1=45 ,所以 / 2=45。，故“海天”號(hào)沿

14、西北方向航行或東南方向航行.B【總結(jié)升華】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系， 進(jìn)而作出判斷.類(lèi)型四、原命題與逆命題66、下列命題中，逆命題錯(cuò)誤的是（）A.平行四邊形的對(duì)角線互相平分B.有兩對(duì)鄰角互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形C.平行四邊形的一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等D.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形【答案】C;【解析】解：A的逆命題是：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.由平行四邊形的判定可知這是真命題；B的逆命題是：平行四邊形的兩對(duì)鄰角互補(bǔ)，由平行四邊形的性質(zhì)可知這是真命題；C

15、的逆命題是：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形，也可能是等腰 梯形，故是錯(cuò)誤的；D的逆命題是：平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等地，由平行四邊形的性質(zhì)可知這是真命 題；故選C.【總結(jié)升華】分別寫(xiě)出每個(gè)命題的逆命題，再判斷其真假即可.此題主要考查學(xué)生對(duì)逆命題 的定義的理解，要求學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)牢固掌握.舉一反三：【變式】下列命題中，逆命題是真命題的是（）A.對(duì)頂角相等B.如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方數(shù)相等C.等腰三角形兩底角相等D.兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等【答案】C;解：A的逆命題是：相等的角是對(duì)頂角是假命題，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，B的逆命題是：如果兩實(shí)數(shù)的平方相等，那么兩實(shí)數(shù)相等是假命題，

16、故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，C的逆命題是：兩底角相等的三角形是等腰三角形是真命題，故本選項(xiàng)正確，D的逆命題是：對(duì)角線相等的兩個(gè)三角形是全都三角形是假命題，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤， 故選C.類(lèi)型五、直角三角形全等的判定一一“ HL臣7、已知：如圖， AB=AC點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，AB平分/ DAE AH BE,垂足為 E. 求證：AD=AE【思路點(diǎn)撥】 證明線段相等，可證線段所在的三角形全等，結(jié)合本題，證4AD主4AEB即可.【答案與解析】證明：: AB=AC點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)， ，/ADB=90 ,AE EB, ./ E=Z ADB=90 , . AB平分/ DAE .Z EAB土 DAB 在 ADB AEB 中，E A

17、DB 90EAB DABAB ABAD=AE【總結(jié)升華】此題考查線段相等，可以通過(guò)全等三角形來(lái)證明，要判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件.C8、如圖，已知在 ABC中，AB=AC / BAC=90 ,分別過(guò)B、C向過(guò)A的直線作垂線， 垂足分別為E、F.(1)如圖過(guò) A的直線與斜邊 BC不相交時(shí)，求證：EF=BE+CF(2)如圖過(guò)A的直線與斜邊BC相交時(shí)，其他條件不變，若 BE=1Q CF=3求：FE長(zhǎng).【答案與解析】(1)證明：BE! EA, CF AF, / BACh BEA=/ CFE=90 , / EAB+Z CAF=90 , / EBA+Z EAB=90 , / CAFW EBA在 ABE和 CAF中，/ BEA之 AFC=90 , / EBA之 CAR AB=AC. AB CAF EA=FC BE=AF EF=EA+AF （2）解：: BE! EA, CF AF, / BA